El Principio de Inducción D EFINICIÓN Un conjunto A se llama inductivo sii satisface las siguientes dos propiedades i)0  A ii)  n  A se tiene n+1 

Presentación del tema: "El Principio de Inducción D EFINICIÓN Un conjunto A se llama inductivo sii satisface las siguientes dos propiedades i)0  A ii)  n  A se tiene n+1 "— Transcripción de la presentación:

1 El Principio de Inducción D EFINICIÓN Un conjunto A se llama inductivo sii satisface las siguientes dos propiedades i)0  A ii)  n  A se tiene n+1  A Principio de Inducción Si A es un subconjunto inductivo de IN, entonces A = IN. Primer Principio de Inducción Suponga que se tiene una proposición S(n) con n  IN. Si (1) Paso básico: S(1) es verdadera y Si (2) Paso inductivo: S(k) es verdadera implica que S(k+1) es verdadera; k  IN. Entonces S(n) es verdadera  n  IN. Referencia: Duarte, A. & Cambronero, S. (2007, p. 89). Referencia: Mora, M. & Arias, F. (2004, p. 46). El conjunto IN se define mediante las siguientes tres condiciones: (1)1 pertenece a IN (2)IN es cerrado bajo la operación ‘sumando 1’. Esto es, si n pertenece a IN, entonces n+1 también. (3)De todos los conjuntos que satisfacen (1) y (2), IN es el más pequeño. Esto es, IN es la intersección, de todos esos conjuntos. Teorema 1. El Principio de Inducción Sea S un conjunto de números (enteros positivos). Si (1) S contiene a 1, y Si (2) S es cerrado bajo la operación ‘sumando 1’, Entonces (3) S contiene todos los números enteros positivos. Referencia: Moise, E. (1990, p. 9).

2 El Principio de Inducción D EFINICIÓN Un conjunto A se llama inductivo sii satisface las siguientes dos propiedades i)0  A ii)  n  A se tiene n+1  A Principio de Inducción Si A es un subconjunto inductivo de IN, entonces A = IN. Primer Principio de Inducción Suponga que se tiene una proposición S(n) con n  IN. Si (1) Paso básico: S(1) es verdadera y Si (2) Paso inductivo: S(k) es verdadera implica que S(k+1) es verdadera; k  IN. Entonces S(n) es verdadera  n  IN. Referencia: Duarte, A. & Cambronero, S. (2007, p. 89). Referencia: Mora, M. & Arias, F. (2004, p. 46). Teorema 1. El Principio de Inducción Sea S un conjunto de números (enteros positivos). Si (1) S contiene a 1, y Si (2) S es cerrado bajo la operación ‘sumando 1’, Entonces (3) S contiene todos los números enteros positivos. Referencia: Moise, E. (1990, p. 9). Teorema 2. Sea P 1, P 2,... una secuencia de proposiciones. (1)Si P 1 es verdadera (2)Si la veracidad de P n implica la veracidad de P n+1 Entonces todas las proposiciones P 1, P 2,... son verdaderas.

3 El Principio de Inducción Axioma de Peano Si A  IN y verifica: (1)0  A (2)n  A  sig(n)  A. Entonces A = IN. Teorema 5.1 Principio de Inducción Matemática Sea p(n) una proposición que depende de un número natural n. Si: (1)p(0) es verdadera y (2)Para todo k  IN, si se cumple p(k) entonces se cumple p(sig(k)) Entonces la proposición p(n) es válida para todo número natural n  IN. Referencia: Trejos, J. (2013, pp. 84-85).

4 El Principio de Inducción D EFINICIÓN Un conjunto A se llama inductivo sii satisface las siguientes dos propiedades i)0  A ii)  n  A se tiene n+1  A Principio de Inducción A Si A es un subconjunto inductivo de IN, entonces A = IN. Principio de Inducción B Suponga que se tiene una proposición S(n) con n  IN*. Si (1) Paso básico: S(1) es verdadera y Si (2) Paso inductivo: S(k) es verdadera implica que S(k+1) es verdadera; k  IN. Entonces S(n) es verdadera  n  IN*.