Planificación de la Producción

Presentación del tema: "Planificación de la Producción"— Transcripción de la presentación:

1 Planificación de la Producción
1. Introducción 2. Modelos lineales de planificación 3. Modelos con costes fijos y variables 4. Planificación jerarquizada

2 1. Introducción Elementos de los planes de producción:
La planificación de la Producción consiste en la descripción de las cantidades a producir y almacenar de las líneas de productos finales en cada período del horizonte de planificación, sin vulnerar las limitaciones de capacidad de las instalaciones y disponiendo de suficientes productos para satisfacer la demanda de los mismos a mínimo coste Elementos de los planes de producción: Horizonte de planificación y periodos Capacidad de producción instalada Tasa de producción Stocks o inventarios en almacenes

3 1. Introducción Características de la Planificación de la Producción:
Restricciones  responder a la demanda y cumplir limitaciones de capacidad Criterio de economía  minimizar costes totales Nivel de decisión  agregado Consideraciones generales: En el horizonte de planificación, la capacidad instalada se supone básicamente constante y los planes de producción han de respetarla Los pedidos deben satisfacerse sin retraso, por lo que no deben planificarse situaciones en las que existan pedidos pendientes por no haber suficientes unidades disponibles de producto

4 1. Introducción EJEMPLO Mes (t) Demanda (Dt) Días 1 183 21 2 161 19 3
104 20 4 74 12 5 164 6 231 7 249 14 8 139 9 50 10 91 11 149 255 16 1850 216 Inventario Inicial (I0) = 30 Inventario Final (I12) = 0 Mes (t) Demanda efectiva (Dt) Días Dem. Acum. Días Acum. 1 153 21 2 161 19 314 40 3 104 20 418 60 4 74 12 492 72 5 164 656 93 6 231 887 112 7 249 14 1136 126 8 139 1275 138 9 50 1325 158 10 91 1416 179 11 149 1565 200 255 16 1820 216

5 1. Introducción

6 1. Introducción Tasa Prod. Diaria=1820/216=8.43 Tasas Prod. Diaria=
1275/138=9.24 ( )/( )=6.99 T.P. 1 T.P. 2 Mes (t) Tasa Prod. (Xt) Prod. Acum. Stocks 1 177 24 194 41 2 160 337 23 176 370 56 3 169 506 88 185 554 136 4 101 607 115 111 665 173 5 784 128 859 203 6 944 57 1035 148 7 118 1062 -74 129 1164 28 8 1163 -112 1275 9 1331 140 1415 90 10 1508 92 147 1561 145 11 1685 120 1708 143 12 135 1820 112 652

7 1. Introducción

8 1. Introducción DATOS: Coste unitario de producción: p=90 €/unid
Coste unitario de mantenimiento: h=24 €/unid·año Coste unitario de cambio de tasa: s=700 €/cambio Coste unitario de retraso: B=12 €/unid retrasada ALTERNATIVAS ESTUDIADAS: T.P.1 (tasa constante): CT = 90 · · (652 / 12) · · 186 = €/año T.P.2 (tasa variable): CT = 90 · · (1164 / 12) · · 0 = €/año Se elige el segundo plan de producción

9 1. Introducción Costes de Planificación
Costes de Producción Costes de Mantenimiento de Stocks Costes de Ruptura de Stocks Costes de la Variación de la Capacidad Costes de la Variación de la Tasa de Producción Costes de Mano de Obra Consideraciones sobre los Costes Difícil acceso a datos de costes en las empresas: sólo costes fijos y variables a nivel contable; diferente a costes incrementales del plan Costes marginales (por unidad de producto fabricado y almacenado) se representan como costes lineales respecto a producción y stock Costes de preparación al iniciar series son no lineales; se han de considerar si superan el 10% de los costes totales Si se trabaja al límite de la capacidad, los costes son no lineales

10 1. Introducción Modelos de Planificación
Se usan para analizar los diversos planes alternativos de producción Consideran todos los planes que satisfacen la demanda prevista sin sobrepasar la capacidad disponible El modelo selecciona entre los planes de producción con el criterio de valoración de los costes relevantes Elementos de los Modelos de Planificación Horizonte de planificación Parámetros: demanda y consumo marginal de capacidad Variables: tasa de producción Relaciones: entre producción y demanda; inventarios Capacidad Especificaciones: signos de variables

11 2. Modelos lineales de planificación
Características: Todas las relaciones son lineales Los costes que intervienen son marginales El uso de la capacidad es lineal

12 2. Modelos lineales de planificación
Modelo 1: Un concepto de producto y una fuente de producción Variables Xt : cantidad a producir en el período t It : inventario al final del período t Parámetros Dt : demanda a satisfacer en el período t I0 : inventario inicial en el primer período IL : inventario al final del horizonte de planificación Limitaciones de capacidad Kt : número máximo de unidades que se pueden producir en el período t IM : capacidad máxima de almacenamiento entre períodos Costes marginales pt : coste de producir una unidad en el período t ht : coste de mantener en almacén una unidad durante el período t

13 2. Modelos lineales de planificación
Min Σ (ptXt + htIt) s.a. It-1 + Xt – It = Dt 0  Xt  Kt para t = 1, 2, ... ,L 0  It  IM para t = 1, 2, ... ,L I0,IL fijados t=1

14 2. Modelos lineales de planificación
Representación mediante grafo del modelo Se muestra un nodo por cada período del horizonte que es un sumidero de las cantidades correspondientes a su demanda. Cada uno de ellos está relacionado con un nodo que es la fuente de producción. Existen arcos, que ligan los nodos de los períodos, por los que circula el inventario resultante en cada período El problema es encontrar un flujo que satisfaga las limitaciones de circulación por los arcos al mínimo coste

15 2. Modelos lineales de planificación
Fuente Periodos Cliente 1 I1 (IM, h1) D1 X1 (k1, p1) 2 X2 (k2, p2) D2 I2 (IM, h2) F C It-1 (IM, ht-1) Dt Xt (kt, pt) t It (IM, ht) DL XL (kL, pL) L IL (IM, hL)

16 2. Modelos lineales de planificación
Modelo 2: Un concepto de producto y varias fuentes de producción Intervienen los mismos conceptos de antes más la diversidad que introduce la consideración de las N fuentes (j = 1,2,...,N), es decir, formas de obtener el producto a distinto coste unitario Sea así: Xjt : cantidad obtenida en el período t de la fuente j Kjt : número máximo de unidades que se pueden obtener de la fuente j en el período t pjt : coste de obtener una unidad de la fuente j en el período t SSt : stock de seguridad al final de t por debajo del cual no queremos situarnos

17 2. Modelos lineales de planificación
Min Σ (Σ pjtXjt + htIt) s.a. It-1 + Σ Xjt – It = Dt t = 1,...,L 0  Xjt  Kjt j=1,...,N; t = 1,...,L SSt  It  IM t = 1,...,L I0,IL fijados t=1 j=1 j

18 2. Modelos lineales de planificación
Representación mediante grafo del modelo Los nodos de la izquierda son fuentes Los nodos de la derecha son de transbordo, en los cuales han de quedarse las cantidades Dt Sobre los arcos que unen los nodos de producción con los de consumo circula la producción Xjt, y en ellos se indica la capacidad del arco Kjt, y el coste unitario pjt por cada unidad que discurre por él En los arcos que unen nodos sucesivos de consumo circulan los inventarios It. En ellos se indican tres cantidades: IM (capacidad de almacenaje), SSt (stock de seguridad mínimo) y ht (coste unitario de inventario)

19 2. Modelos lineales de planificación
Fuentes Periodos Cliente X11 (0, k11, p11) 1 Xj1 (0, kj1, pj1) 1 j XN1 (0, kN1, pN1) I1 (IM, SS1, h1) N D1 X1t (0, k1t, p1t) 1 It-1 (IM, SSt-1, ht-1) Xjt (0, kjt, pjt) t Dt j XNt (0, kNt, pNt) C It (IM, SSt, ht) N DL-1 1 X1L-1 (0, k1L-1, p1L-1) XjL-1 (0, kjL-1, pjL-1) L-1 j XNL-1 (0, kNL-1, pNL-1) DL N IL-1 (IM, SSL-1, hL-1) X1L (0, k1L, p1L) 1 XjL (0, kjL, pjL) L j XNL (0, kNL, pNL) IL (IM, SSL, hL) N

20 2. Modelos lineales de planificación
Modelo con demanda efectiva dt recoge las necesidades efectivas de producto en cada período Si en algún período t, el valor de la demanda efectiva saliera negativo, se hace dt igual a cero; debiendo tenerse en cuenta el stock resultante (tras satisfacer la demanda) para calcular el valor de la demanda efectiva del siguiente período La demanda efectiva del primer período es: d1 = D1 – I0 + SS1 La demanda efectiva de los períodos intermedios es: dt = Dt + SSt - SSt-1 La demanda efectiva del último período es: dL = DL + IL + SSL - SSL-1

21 2. Modelos lineales de planificación
Min Σ (Σ pjtXjt + htI’t) + Σ ht SSt s.a. I’t-1 + Σ Xjt – I’t = dt t = 1,...,L 0  Xjt  Kjt j=1,...,N ; t = 1,...,L 0  I’t  IM’ t = 1,...,L I’0 = I’L = 0 siendo: I’t = It - SSt ; IM’ = IM - SSt t=1 j=1 t=1 N J=1

22 2. Modelos lineales de planificación
EJEMPLO Datos por período Datos de las fuentes de producción Capacidad de almacenamiento: 75 unidades Coste de mantenimiento en stock: u.m./unidad·período Período Demanda Stock seguridad 1 174 8 2 118 12 3 257 16 4 310 14 5 212 15 Fuentes Coste Prod. Unitario Capacidad Producción 1 14 156 2 21.5 53 3 23 50

23 2. Modelos lineales de planificación
Para resolverlo, se calcula la demanda efectiva del cliente para cada periodo desde el primero al último L, sucesivamente El método es iterativo desde el primer periodo hasta el último. Cuando se complete un periodo, se puede pasar al siguiente. En cada uno de los periodos, actúan como fuentes las que corresponden a ese período, y las de los anteriores que puedan emplearse porque no se agotaron. Para elegir las fuentes más adecuadas de cada periodo, se consideran los costes unitarios de producción incrementados con los costes de mantenimiento cuando proceden de stocks correspondientes a producciones realizadas en períodos anteriores al considerado. Se elegirán por orden de menor coste, agotando sus capacidades hasta completar la demanda efectiva. La capacidad no usada de una fuente se podrá usar como capacidad de producción disponible en el siguiente periodo. Sin embargo, la capacidad de almacenamiento limita dicha capacidad no usada, de forma que no se puede superar el total. En tal caso, se eliminarán las capacidades disponibles más costosas. La capacidad de almacenamiento considera el stock de seguridad.

24 2. Modelos lineales de planificación
Período Demanda efectiva Per. ,Fte. Coste Orden Capacidad en t Usados en t Capacidad disp. t+1 Cap. alm. t+1 1 D1=174 SS1=8 174+8= 182 1,1 1,2 1,3 14 21.5 23 2 3 156 53 50 26 --- 27 40 75-8= 67 D2=118 SS2=12 = 122 2,1 2,2 2,3 30 31.5 4 5 34 29 75-12= 63 D3=257 SS3=16 = 261 3,1 3,2 3,3 22.5 18 32 75-16= 59 D4=310 SS4=14 = 308 4,1 4,2 4,3 38.5 17 10 75-14= 61 D5=212 SS5=15 = 213 5,1 5,2 5,3 47 46 75-15= 60

25 2. Modelos lineales de planificación
Para cada periodo desde el primero hasta el último: En la segunda columna se calcula la demanda efectiva para cada periodo En la tercera columna se indican las fuentes de producción disponibles y desde qué periodos se pueden obtener (en el periodo 1 sólo desde el periodo 1, pero en el periodo 2 se puede desde el periodo 2 o desde el periodo 1 almacenando) La cuarta columna indica el coste unitario por unidad producida, incluyendo si es preciso el coste de mantenimiento en almacén, asociado a la correspondiente fuente de la columna anterior La columna 5 indica el número que la corresponde en la ordenación de las fuentes de menor a mayor coste. En dicho orden se calculará la columna 7 La columna 6 indica la capacidad de producción disponible de esa fuente en ese periodo La columna 7 indica la producción asignada de esa fuente en ese periodo y se calcula usando las fuentes de la columna 3 en el orden de la columna 5 hasta que se satisfaga la demanda efectiva de la columna 2 sin superar la capacidad de la columna 6 La columna 8 indica la capacidad no consumida de una fuente y que puede ser usada en períodos posteriores (la columna 8 es la diferencia entre las columnas 6 y 7 sin superar el total el valor de la columna 9) La columna 9 indica la capacidad de almacenamiento disponible (inventario máximo menos stock de seguridad en cada periodo)

26 2. Modelos lineales de planificación
Las 182 unidades demandadas en el primer período se producen a partir de la fuente 1 (156 unidades) y de la fuente 2 (las 26 restantes), quedando agotada la capacidad de la fuente 1 La capacidad disponible de las fuentes 2 y 3 para períodos futuros son de 27 y 50 unidades La capacidad de almacenamiento en el período 1 será la máxima (75) menos el stock de seguridad del período, es decir, 67 unidades. Por ello la capacidad de producción disponible para el siguiente período de la fuente 3 será 40 (27+40=67) en lugar de 50 ya que si no fuese así podría ocurrir que la producción al final del período no cabe físicamente en el almacén En el segundo período están disponibles las tres fuentes más las fuentes del período anterior que quedaron con capacidad disponible A los costes de estas últimas habrá que añadirle el coste de mantenimiento en stock Plan de producción (de la columna 7) Inventarios (del Grafo) X11=156 X21=26 X31=0 I1=8 X12=156 X22=17 X32=0 I2=63 X13=156 X23=53 X33= I3=65 X14=156 X24=53 X34= I4=14 X15=156 X25=53 X35=4 I5=15 Coste del Plan CT= 14 ( ) + 21,5 ( ) + 23 ( ) + 8,5 ( ) = ,5

27 2. Modelos lineales de planificación
Fuentes Periodos Cliente 0=I0 156 1 26 1 2 3 8=I1 156 = 1 174=D1 17 2 2 3 118=D2 63=I2 156 1 53 3 257=D3 C 2 50 = 18+32 3 310=D4 65=I3 156 1 212=D5 53 4 2 50 3 14=I4 1 156 53 5 2 4 3 15=I5

28 2. Modelos lineales de planificación
Modelo 3: Varias líneas de productos y limitaciones de capacidad Xit : cantidad obtenida de la línea i en el período t ; siendo i=1,2,...M líneas de productos y t=1,2,...,L períodos en la planificación Kt : capacidad disponible en el período t mi : consumo de capacidad por cada unidad obtenida de la línea i IMt : inventario máximo permisible en el período t pjt : coste marginal de producción de una unidad de la línea i en t Ijt : stock resultante de la línea i a satisfacer en el período t Djt : demanda de la línea i a satisfacer en el período t SSit : stock de seguridad de la línea i en el período t hjt : coste unitario de mantener en stock una unidad de la línea i en t

29 2. Modelos lineales de planificación
Min Σ Σ (pitXit + hitIit) s.a. Xit + Ii,t-1 – Iit = Dit i=1,...,M ; t=1,...,L Σ miXit  Kt t=1,...,L Σ Iit  IMt t=1,...,L Xit  i=1,...,M ; t=1,...,L Iit  SSit i=1,...,M ; t=1,...,L t=1 i=1 N i=1 N i=1

30 2. Modelos lineales de planificación
Comentarios Es un modelo completo de programación lineal Se resuelve mediante algoritmos como el simplex El término “línea de productos” corresponde al resultado de agregar un conjunto de productos en un solo concepto que representa a todos ellos en la planificación Para una planificación sobre L períodos, la selección de M líneas para la planificación da lugar a un modelo con (M+2)L restricciones, más las acotaciones inferiores. Intervienen 2ML variables de planificación

31 3. Modelos con costes fijos y variables
Modelo 1: Modelo sin limitaciones de capacidad Variables Xt : cantidad a producir en el período t It : inventario al final del período t Parámetros Dt : demanda a satisfacer en el período t Costes de producción p : coste variable por unidad producida St : coste fijo por iniciar una serie de producción en el período t ht : coste de mantener en stock una unidad durante el período t Representando mediante: 1 si X>0 (X) = 0 si X=0

32 3. Modelos con costes fijos y variables
CONSTANTE L L Min Σ (St (Xt) + htIt) + p(Σ Dt +IL-I0) s.a. It-1 + Xt – It = Dt t = 1, 2, ... ,L Xt, It  t = 1, 2, ... ,L I0, IL fijos t=1 t=1 1 si Xt >0 (Xt) = 0 si Xt =0 δ(Xt)= δt δt ≤ Xt ≤ Mt δt δt=0,1; Mt=Σ Dt MODELO LINEAL L t=1

33 3. Modelos con costes fijos y variables
Comentarios Es superfluo incluir los costes marginales de producción ya que cualquier plan ha de cubrir toda la demanda durante el horizonte L La cantidad a producir es Σ Dt + IL – I0 con un coste p por cada unidad En el plan de producción óptimo sólo se produce en los períodos que se inician con inventario nulo Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda de un número completo de períodos L t=1

34 3. Modelos con costes fijos y variables
Método eficiente de resolución Se resuelve iterativamente para t=1, 2, ..., L F(t) = min F(j-1) + Sj + Σ hi Σ Dk Siendo F(0)=0 y los sumatorios en los que el extremo superior es menor que el inferior son nulos Sólo tiene sentido producir en cantidades que cubren la demanda de un número completo de períodos t-1 t i=j k=i+1

35 3. Modelos con costes fijos y variables
EJEMPLO Períodos 1 2 3 4 5 6 Demandas 29 14 47 10 60 32 Costes de lanzamiento 40 75 100 50 35 Costes de mantenimiento t=1 F(1) = 40 t=2 F(1) + S2 = = 115 S1 + h1D2 = = 54  F(2)=54 t=3 F(2) + S3 = = 154 F(1) + S2 + h2D3 = = 162 S1 + h1(D2+ D3) + h2D3 = 40 + ( ) + 47 = 148  F(3)=148

36 3. Modelos con costes fijos y variables
t=4 j=4: F(3) + S4 = = 198 j=3: F(2) + S3 + h3D4 = = 164  F(4)=164 j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4) + h3D4 = = 182 j=1: S1 + h1(D2+D3 +D4) + h2 (D3+D4) + h3D4 = = 178 t=5 j=5: F(4) + S5 = = 204  F(5)=204 j=4: F(3) + S4 + h4D5 = = 318 j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5) + h4D5 = = 344 j=2: F(1) + S2 + h2(D3 + D4 + D5) + h3(D4 + D5) + h4D5 = = 422 j=1: S1+ h1(D2+D3 +D4 +D5)+ h2 (D3+D4 +D5)+ h3(D4 +D5)+ h4D5 = =478 t=6 j=6: F(5) + S6 = = 239 j=5: F(4) + S5 + h5D6 = = 236  F(6)=236 j=4: F(3) + S4 + h4(D5+ D6) + h5D6 = = 414 j=3: F(2) + S3 + h3(D4 + D5 + D6) + h4(D5 + D6) + h5D6 = = 472 j=2: F(1)+S2+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6= = 582 j=1: S1+h1(D2+D3+D4+D5+D6)+h2(D3+D4+D5+D6)+h3(D4+D5+D6)+h4(D5+D6)+h5D6 = = =670

37 3. Modelos con costes fijos y variables
El plan de producción con menor coste es de 236 Para determinar el plan óptimo de producción se recorre hacia atrás el procedimiento de solución: Para el último período t=6 la producción que ha dado lugar al coste mínimo de 236 se realiza en el período cinco, luego X5=92; X6=0 Nos vamos al período t=4 donde el coste mínimo se ha dado en el período tres, luego X3=57; X4=0 Reiterando el razonamiento vamos al período t=2 donde el coste mínimo se ha dado en el período uno, luego X1=43; X2=0 El mejor plan corresponde a la secuencia (1, 0, 1, 0, 1, 0)

38 3. Modelos con costes fijos y variables
Modelo 2: Consideración de las limitaciones de capacidad Variables Xit : cantidad a producir del producto i en el período t Iit : inventario resultante del producto i al final del período t Parámetros Dit : demanda del producto i a satisfacer en el período t Limitaciones de capacidad Kt : capacidad total disponible en el período t ait : capacidad empleada en el período t al iniciar una serie de producción de i bit : capacidad marginal empleada por unidad de i producida en t Costes de producción pit : coste variable por unidad producida de i en el período t hit : coste de mantener en almacén una unidad i durante el período t Sit : coste fijo de iniciar la serie del producto i en el período t

39 3. Modelos con costes fijos y variables
Min Σ Σ (Si (Xit) + piXit + hiIit) s.a. Ii,t-1 + Xit – Iit = Dit t = 1, 2, ... ,L Σ (ai (Xit) + biXit )  Kt t = 1, 2, ... ,L Xit  0 ; Iit  0 i=1 t=1 i = 1, 2, ... , M M i=1

40 3. Modelos con costes fijos y variables
Comentarios La limitación de capacidad puede obligar a adelantar la producción a otros períodos previos, al no haber en algunos de ellos suficiente capacidad como para acomodar la producción a la demanda sólo con criterios de costes La obtención de la solución óptima de este modelo es muy difícil puesto que es no lineal tanto en las restricciones como en la función objetivo

41 4. Planificación jerarquizada
Debido a que las previsiones de datos (demandas) para realizar el plan de producción son tanto menos fiables cuanto más alejadas están, lo deseable es extraer las características esenciales sobre los efectos a medio plazo de las decisiones de producción a corto plazo. Por ello debe emplearse un número reducido de conceptos de producto. Así se realiza el plan agregado o jerarquizado Tras la planificación jerarquizada de la producción y la decisión de cuánto producir de cada concepto de producto se desagregan estos conceptos en las cantidades a producir de cada uno de los productos finales reales. Este plan detallado se denomina plan maestro de producción

42 4. Planificación jerarquizada
La desagregación del plan de producción se hará en dos etapas: Desagregación según costes fijos A partir de la cantidad a fabricar de un concepto en el primer periodo (X*) se tienen en cuenta los costes fijos de cada producto o familia para calcular las cantidades a fabricar de cada uno en el primer periodo (Y*) Se han de considerar dos criterios al desagregar: Criterios de Admisibilidad Criterios de Costes Desagregación en productos finales A partir de la cantidad a fabricar de una familia ya considerados los costes fijos y variables (Y*), se calcula las cantidades exactas a fabricar de cada producto de esa familia para el primer periodo (Zk)

43 4. Planificación jerarquizada
Desagregación según costes fijos (1/3) Plan de producción sin costes fijos: X*it Se considera solo el primer periodo de un concepto: X*= X*i1 Este concepto está compuestos por M familias cada una con un coste fijo: Sj Hay que calcular la cantidad a producir de cada familia: Yj X* = Y1 + Y YM Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de inventario: Criterios de Costes: costes fijos o de preparación de la familia siendo el numerador la demanda total de la familia j en todos los periodos que dividido por la cantidad a fabricar representa el nº de preparaciones a realizar

44 4. Planificación jerarquizada
Desagregación según costes fijos (2/3) Modelo a resolver: Datos: Sj, DTj, CIj, CSj, X* Variables: Yj Resolución mediante Lagrangiana: Tiene que cumplir las CIj y CSj

45 4. Planificación jerarquizada
Desagregación según costes fijos (3/3) Método de resolución: 1: Calcular todos los Yj según fórmula: j=1,...,M 2: Calcular: 3:

46 4. Planificación jerarquizada
Desagregación en productos finales (1/4) Plan de producción de una familia: Y* Para el cálculo de Y* se consideraron los costes fijos y variables Esta familia está compuesta por P productos finales Hay que calcular la cantidad a producir de cada producto: Zk Y* = Z1 + Z ZP Criterios de Admisibilidad: Satisfacer la demanda y las Limitaciones de inventario: No hay criterios de costes pues ya se consideraron

47 4. Planificación jerarquizada
Desagregación en productos finales (2/4) El criterio de eficiencia se basará en que los productos se acaben simultáneamente; los tiempos de agotamiento de los productos de una familia al final sean similares:

48 4. Planificación jerarquizada
Desagregación en productos finales (3/4) El modelo a resolver tiende a minimizar los tiempos de agotamiento de los productos respecto al tiempo medio de agotamiento de toda la familia:

49 4. Planificación jerarquizada
Desagregación en productos finales (4/4) Método de resolución: 1: Calcular todos los Zk=Dk·(TAF – TAk) 2: Calcular: 3: