Propiedad Intelectual Cpech Bienvenidos a CPECH El preuniversitario de Chile.

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1 Propiedad Intelectual Cpech Bienvenidos a CPECH El preuniversitario de Chile

2 Propiedad Intelectual Cpech

3 CONSEJERÍA EDUCACIONAL CPECH Es un servicio disponible para todos nuestros alumnos, donde un profesional te brinda apoyo y orientación en tu proceso de preparación para la PSU y el ingreso a la educación superior. Lo anterior, desde tres ámbitos principales de acción: ámbito pedagógico, ámbito vocacional y ámbito de la responsabilidad académica.

4 Propiedad Intelectual Cpech ESTRATEGIAS PARA UN ESTUDIO EFICIENTE Ámbito Pedagógico: Te entregamos las herramientas necesarias para desarrollar eficientes sistemas de estudio, que te permitan favorecer el aprendizaje y alcanzar las metas necesarias para el ingreso a la educación superior.

5 Propiedad Intelectual Cpech INFÓRMATE ACERCA DE TODAS LAS POSIBILIDADES Ámbito Vocacional: Te entregamos los lineamientos y la información necesaria para que seas capaz de tomar decisiones de carreras, universidades y/o instituciones acertadas; manejando la información necesaria para el acceso a créditos y becas y/o beneficios posibles.

6 Propiedad Intelectual Cpech CONVIÉRTETE EN EL PROTAGONISTA DEL PROCESO Ámbito de la Responsabilidad Académica: Te entregamos las herramientas necesarias para desarrollar la auto responsabilidad del proceso de enseñanza-aprendizaje y la autorregulación del mismo, permitiéndote lograr la correlación necesaria entre intereses y habilidades.

7 Propiedad Intelectual Cpech ¡TE APOYAMOS EN TU PROCESO! ¡Conoce las Actividades de Consejería y participa de ellas! Entrevistas individuales Test vocacionales Grupos de estudio Ferias universitarias Charlas informativas: PSU – NEM – RANKING Créditos y becas Empleabilidad Alimentación para la PSU Entre otras

8 Propiedad Intelectual Cpech Talleres de desarrollo de habilidades : Administración del tiempo para un estudio eficiente. Cómo manejar la angustia frente a las matemáticas. Cómo manejar la ansiedad frente a la PSU. Técnicas de Estudio. Técnicas de Estudio para alumnos TP. Autoconcepto y autoestima para el éxito académico. Manejo de expectativas y tolerancia a la frustración. Desarrollo de habilidades para la vida universitaria. Asesoría a las postulaciones. ¡TE APOYAMOS EN TU PROCESO!

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10 Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC027MT21-A16V1 Generalidades de Números Propiedad Intelectual Cpech ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE 21

11 Propiedad Intelectual Cpech Aprendizajes esperados  Identificar los conjuntos numéricos y sus características.  Comprender los conjuntos numéricos en función de los problemas asociados a ellos.  Reconocer las propiedades de los números reales.  Clasificar los números enteros en función de sus características.  Determinar divisores y múltiplos de números naturales.  Transformar decimales finitos, periódicos y semiperiódicos en fracción, justificando la transformación.  Ubicar y ordenar números racionales en la recta numérica.

12 Propiedad Intelectual Cpech Conjuntos numéricos C II IR Q Z IN o IN Q* Definición Diagrama representativo

13 Propiedad Intelectual Cpech Números naturales (lN): Todos aquellos números utilizados para contar los elementos de un conjunto {1, 2, 3, 4, 5…} Números cardinales (lN 0 ): Conjunto que se forma al agregarle el cero al conjunto de los naturales {0, 1, 2, 3…} Conjuntos numéricos Definición

14 Propiedad Intelectual Cpech Conjuntos numéricos Definición Números enteros (Z): Corresponde a todos los números que no tienen decimales, incluyendo los positivos, el cero y los negativos {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …} Ingreso $100 Deuda -$150 Números racionales (Q): Todos aquellos números que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero

15 Propiedad Intelectual Cpech Conjuntos numéricos Definición Números irracionales (Q*): Números reales (lR): Conjunto formado por la unión entre los racionales y los irracionales. Todos aquellos números que no pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero. Por ejemplo: 2,71828…(e), 1,61803…( ϕ ), 1,41421…( )

16 Propiedad Intelectual Cpech Conjuntos numéricos Definición Números imaginarios (ll): Conjunto que incluyen a los números reales, imaginarios y cualquier número de la forma (a + bi), con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Todos aquellos números de la forma bi, con b un numero real e i la unidad imaginaria ( ) Números complejos (C):

17 Propiedad Intelectual Cpech Propiedades de los números reales Conjuntos numéricos Neutro aditivo El neutro aditivo en los reales es el 0. Quiere decir que al sumarlo con cualquier otro número, dicho número no varía. Neutro multiplicativo El neutro multiplicativo en los reales es el 1. Quiere decir que al multiplicarlo por cualquier otro número, dicho número no varía. Inverso aditivo El inverso aditivo (opuesto) de un número n es aquel que sumado con el número n resulta el neutro aditivo, es decir, 0. Inverso multiplicativo El inverso multiplicativo (recíproco) de un número n es aquel que multiplicado con el número resulta el neutro multiplicativo, es decir, 1.

18 Propiedad Intelectual Cpech Los múltiplos de un número entero son todos aquellos números que se obtienen al multiplicar dicho número por otro entero. Nota: Un número posee infinitos múltiplos. El 0 es múltiplo de todos los números enteros. Propiedades de los números enteros Conjuntos numéricos Múltiplos Divisores Los divisores de un número son aquellos números enteros que lo dividen exactamente (división con resto igual a cero). Nota: Un número posee una cantidad finita de divisores.

19 Propiedad Intelectual Cpech El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más números, corresponde al menor múltiplo positivo que tienen en común. Conjuntos numéricos Mínimo común múltiplo Propiedades de los números enteros El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor divisor positivo que tengan en común. Máximo común divisor

20 Propiedad Intelectual Cpech Conjuntos numéricos Un número es divisible por 2 si su última cifra es par ó 0. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 ó 5. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Propiedades de los números enteros Criterios de divisibilidad

21 Propiedad Intelectual Cpech Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos, es decir, poseen solo dos divisores. Los primeros diez números primos son: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} Nota: El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor. Conjuntos numéricos Propiedades de los números enteros Números primos Son aquellos números naturales que tiene algún otro divisor positivo además del 1 y del mismo número. Números compuestos

22 Propiedad Intelectual Cpech Z-Z- Z+Z+ 0 -3 -2 -11 2 3 El conjunto de enteros se puede expresar de la forma: Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, siendo un conjunto infinito, ordenado y discreto. Además puede representarse como: Z = Z - U {0} U Z + Conjuntos numéricos Representación de los números enteros Ubicación en la recta numérica Recordemos que: El antecesor de un número n es (n – 1) El sucesor de un número n es (n + 1)

23 Propiedad Intelectual Cpech Clasificación de los números enteros Conjuntos numéricos Números pares Son de la forma 2n, con n perteneciente a los enteros. {…, – 4, – 2, 0, 2, 4,……} Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor par es (2n + 2). Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor par es (2n – 2).

24 Propiedad Intelectual Cpech Clasificación de los números enteros Conjuntos numéricos Números impares Son de la forma (2n + 1), con n perteneciente a los enteros. {…, – 3, – 1, 1, 3, 5,……} Sucesor impar: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es (2n + 1), entonces su sucesor impar es (2n + 3). Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es (2n + 1), entonces su antecesor impar es (2n – 1).

25 Propiedad Intelectual Cpech Números racionales Conjuntos numéricos / a y b son enteros, y b es distinto de cero a b Q = Donde, a: numerador y b: denominador Conjunto de la forma ¿Qué números racionales conoces? Todo número entero es un número racional. 13 1 13 = Los números racionales ( ℚ ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero.

26 Propiedad Intelectual Cpech Transformaciones Conjuntos numéricos Decimal finito a fracción Decimal periódico a fracción Ejemplos: 100 235 = 2,35 = 20 47 100 304 = 3,04 = 25 76 0,46 = 99 46 99 46 – 0 = Ejemplos: 99 157 – 1 1,57 = 99 156 == 33 52 Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

27 Propiedad Intelectual Cpech Transformaciones Conjuntos numéricos Decimal semiperiódico a fracción Fracción a decimal Fracción impropia a número mixto Se llama anteperíodo a la parte decimal que no se repite. Ejemplo: 5,368 = 990 5.315 = 990 5.368 – 53 = 198 1.063 Ejemplo:

28 Propiedad Intelectual Cpech Orden en los racionales Conjuntos numéricos Multiplicación cruzada Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) 12 11 8 6 y 12 ∙ 6 y 11 ∙ 8 72 y 88 Luego, como 72 < 88, entonces: 12 11 8 6 < Comparación de fracciones

29 Propiedad Intelectual Cpech Orden en los racionales Conjuntos numéricos Igualdad de denominadores Ejemplo: Al comparar(Igualando denominadores) 12 5 14 9 y Luego, como 108 > 70, entonces: > 12 ∙ 9 5 ∙ 9 14 ∙ 5 9 ∙ 5 y 108 45 14 9 y 12 5 70 45 Comparación de fracciones Más información desde la página 12 hasta la 16 de tu libro

30 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE B 1. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO entero? A) B) C) D) E) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016

31 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación D 2. Con respecto a los divisores positivos de 9, es correcto afirmar que A)son dos y la suma de ellos es 4. B)son dos y la suma de ellos es 10. C)son dos y la suma de ellos es 12. D)son tres y la suma de ellos es 13. E)son cuatro y la suma de ellos es 16. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2013

32 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación B 3. Si A = 0,69 ; B = y C =, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A)B < A < C B)B < A = C C)A = B < C D)A = B = C E)A = C < B Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2015.

33 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE B 4. Si m y n son números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) mayor(es) que ? I) II) III) A)Solo I B)Solo II C)Solo III D)Solo I y II E)Solo II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2013.

34 Propiedad Intelectual Cpech Apliquemos nuestros conocimientos ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE B 5. Sean m y n números enteros positivos. Se puede determinar que m es mayor que n, si se sabe que: (1) m + n = 13 (2) m – n = 3 A)(1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU Matemática de admisión 2014.

35 Propiedad Intelectual Cpech Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Números racionales

36 Propiedad Intelectual Cpech ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial:Área Matemática