CONSTRUIMOS FUTURO Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación.

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1 CONSTRUIMOS FUTURO Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Ingeniería de Software en Empresas TIC Certificación profesional en Modelos de desarrollado, servicios y adquisiciones Tecnológicas

2 La Investigación sustentada por Procesos CONSTRUIMOS FUTURO Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Escuela de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Gnosis Avanzada en Ingeniería y Telemática Aplicada Tecnología y Estándares en Ingeniería de Sistemas Software Calidad, Ingeniería, Sistemas y Modelado Organizacional de Conocimiento Gnosis Unificada para la Ingeniería del Aprendizaje. Líneas de Investigación: 2

3 CONSTRUIMOS FUTURO Material aprobado para uso público. Distribución limitada. Copyright © CIDLIS–UIS 2005 Escuela de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Continuous Representation Jueves, 02 de Junio de 2016 MÓDULO 2. ANALIZANDO EVENTOS LECCIÓN 2.1. Teoría Combinatoria CONFERENCIA 1: Técnicas de conteo: Combinatorias, permutaciones, Diagramas de árbol.IDENTIFICACIÓNNOMBREVERSIÓNFecha (DD/MM/ AAAA) Programa:Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica Curso:Estadística para IngenierosCEPI-V1 07_10_2011 MÓDULO 2.MÉTODOS CUANTITATIVOS: Teoría de ProbabilidadCEPI_M2_V1.1 25_06_2012 LECCIÓN 2.1.Teoría CombinatoriaCEPI_M2_L1_V1 07_10_2011

4 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 1. Agenda Detallada- Módulo 2. Lección 1. 4 Jueves, 02 de Junio de 2016

5 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 5 Jueves, 02 de Junio de 2016 Propósito de la Lección El estudiante de Ingeniería de la E3T al terminar el módulo dispondrá de habilidades y destrezas para definir, establecer y construir probabilidades producto de la ocurrencia aleatoria de eventos como sucesos que se construyen a través de la teoría combinatoria.

6 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 6 Jueves, 02 de Junio de 2016 Guión de la Lección 1. Registro de Preguntas de Caso y Problema. 2. Revisión de requisitos de “Entrada de la Conferencia”. 3. Test de Entrada. Caso y Problemas. 4. Contenido de la Presentación de la Conferencia 1) Establecimiento, cálculo y representación gráfica de histogramas de frecuencia (distribución de frecuencias) con medidas de: a.Centro: media aritmética o promedio, moda, media geométrica, media armónica y promedio aritmético ponderado de las medidas anteriores. b.Dispersión a través de desviación media, desviación estándar y varianza. c.Posición para diferenciar los conceptos de percentil, decil, cuartil, mediana y simetría. d.Forma usando los conceptos de momentos, asimetría y curtosis 2)La identificación de relaciones entre variables con los análisis de regresión y correlación. 5.Ajustes de Caso y Problema 6.Guía para la planeación y seguimiento del curso: Clase y Proyecto. 7.Test de Salida: Caso, Problema y proyecto. 8.Cierre.

7 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 1. Registro de Preguntas de Caso y Problema. 1.Estudiantes que registraron los informes de caso y problema. 2.Registro de Incidentes. 3.Acta de estudiantes que presentaron los informes. 7 Jueves, 02 de Junio de 2016

8 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 2. Revisión de requisitos de “Entrada de la Conferencia”. 1.Seleccionar los estudiantes habilitados para presentar el test de entrada. 2.Justificar el porqué de los estudiantes que no están aptos para presentar el test de entrada. 3.Hacer acta resultante de 1. Y 2. 4.Cierre de selección. 8 Jueves, 02 de Junio de 2016

9 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 3. Test de Entrada. Caso y Problemas. 1.Inicio del Test. 2.Desarrollo del test. 3.Cierre del Test. 9 Jueves, 02 de Junio de 2016

10 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 10 Jueves, 02 de Junio de 2016 4. Conferencia No. 4: Caracterizando histogramas de frecuencias: Medidas de centro, dispersión, forma y posición.

11 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 11 Jueves, 02 de Junio de 2016 11 Jueves, 02 de Junio de 2016 Objetivos de la Conferencia Aprender a contar eventos entendiendo el significado de: –Principios de Conteo –Permutaciones –Combinaciones –Variaciones Pierre de Fermat

12 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 12 Jueves, 02 de Junio de 2016 Motivación: Orígenes de la Teoría de Conteo La teoría de conteo (combinatoria), se desarrollo en paralelo al álgebra, la teoría de los números, y la probabilidad. La combinatoria ha sido muy tratada por los matemáticos. Los cuadrados mágicos (2200 a. C.) son arreglos de numéricos en dónde la suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo número. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. ¿Cuál sería el valor de X en el siguiente cuadrado?

13 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 13 Jueves, 02 de Junio de 2016 Motivación: Orígenes de la Teoría de Conteo La combinatoria ha sido tratada por matemáticos y sus aplicaciones son diversas en la investigación de operaciones, química, mecánica estadística, física teórica y socio-economía. Los coeficientes binomiales (siglo XII) son coeficientes enteros de la expansión de (a+b) n. El triángulo de Pascal (siglo XIII) es un arreglo triangular de coeficientes binomiales. Los trabajos de Leibniz y Bernoulli establecieron que la combinatoria es una nueva e independiente rama de las matemáticas. El matemático suizo Leonard Euler desarrolló una escuela de matemática combinatoria (siglo XVIII). El problema de los cuatro colores (siglo XIX) plantea cómo cuatro colores son suficientes para colorear las regiones de un mapa. Arthur Cayley (siglo XIX) en Inglaterra a través del cálculo de isómeros de hidrocarburos saturados, contribuyó a la teoría de enumeración de gráficas. la combinatoria desde 1920 tiene gran influencia en la teoría de gráficas de modelos abstractos para modelar relaciones entre objetos en conjuntos. El matemático George Boole usó la combinatoria en la lógica simbólica apoyado en las ideas y métodos de relaciones de topología de Henri Poincaré

14 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 14 Jueves, 02 de Junio de 2016 Principios de Conteo Calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta para determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico, ó para apelar al sentido común ó a métodos sistemáticos. El sentido común ayuda a entender por qué se elige un procedimiento dado La formalización proporciona métodos de solución sistemáticos. Este apartado presenta los principios aditivo y multiplicativo desde la perspectiva combinatoria.

15 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 15 Jueves, 02 de Junio de 2016 Principios de Conteo: Aditivo Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas. El número de maneras en que puede ocurrir A o B es A + B Ejemplo Hay 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez? Hay dos sucesos A y B. A: Hacer señales con una sola bandera y B: Hacer señales con dos banderas. Nombremos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente Con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas: R, V, A Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales. Por ejemplo, una primera y después la otra: RR, RV, RA, VR, VV, VA, AR, AV, AA Con las dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3 + 9 = 12 señales diferentes. Nota: Ambos sucesos no pueden ocurrir simultáneamente, si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa

16 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 16 Jueves, 02 de Junio de 2016 Principios de Conteo: Multiplicativo Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir a * b. A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo. Ejemplo ¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden hacer? Solución: Si en cada partido puede haber 3 resultados: 1, x, 2 Que hay 14 partidos Que los resultados de cada uno son independientes de los demás, Entonces, se tendrá: 3 * 3* 3 * 3 *3 * 3* 3 * 3 *3 * 3* 3 * 3 *3 * 3 = 314

17 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 17 Jueves, 02 de Junio de 2016 Principios de Conteo: Diagramas de árbol Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones. –Ejemplo 1: Todas las permutaciones de los elementos del conjunto {a, b, c}. –Ejemplo 2: Se va a conformar un comité de 3 miembros compuesto por: –Un representante de los trabajadores, –Uno de la administración, y –Un del gobierno Si hay 3 candidatos de los trabajadores, 2 de la administración y 4 del gobierno, ¿Cuántos comités diferentes pueden conformarse? Solución: Principio fundamental: 3 * 2 * 4 = 24 Un diagrama de árbol

18 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 18 Jueves, 02 de Junio de 2016 Permutaciones SIN REPETICIÓN de: n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos y su única diferencia es el orden de colocación de sus elementos. El número de permutaciones sin repetición es: CON REPETICIÓN de: n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc., cuando en los n elementos hay elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc.) y verificándose que a+b+c+...=n. El número de estas permutaciones con repetición es:

19 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 19 Jueves, 02 de Junio de 2016 Variaciones SIN REPETICIÓN de: n elementos tomados de p en p se define como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos entre los n elementos que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula CON REPETICIÓN de: n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos entre los n elementos que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

20 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 20 Jueves, 02 de Junio de 2016 Combinaciones SIN REPETICIÓN de: n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula: CON REPETICIÓN de: n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

21 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 21 Jueves, 02 de Junio de 2016 Cuál combinatoria? SI NO

22 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 22 Jueves, 02 de Junio de 2016 las variaciones de "m" elementos tomados "n" a "n" es igual a "m" factorial divido por "m" menos "n" factorial: Importa orden, hay más objetos que elecciones y No pueden repetirse objetosImporta orden, hay más objetos que elecciones y No pueden repetirse objetos Hay un conjunto de "m" elementos por agrupar de "n" en "n", siendo "n" < "m".Hay un conjunto de "m" elementos por agrupar de "n" en "n", siendo "n" < "m". Si se cambia el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto.Si se cambia el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto. No hay ningún elemento repetidoNo hay ningún elemento repetido Variaciones ordinarias V 5,3 = 5! / (5-3)! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 2 · 1 = 60 grupos distintos V m, n = m! / (m-n)! El factorial de un número es el resultado de multiplicar todos los factores obtenidos al restar una unidad al número inicial hasta llegar a 1: m! = m * (m-1)! * (m-2)!*... * 1 Ejemplo: ¿Cuántos grupos de tres letras distintas puedes escribir con las letras a, b, c, d y e? Importa el orden (no es lo mismo a b c que b c a), hay cinco objetos (a, b, c, d y e) para tres elecciones (grupos de tres letras) Las letras no pueden repetirse porque deben ser distintas. Se trata de variaciones ordinarias de 5 elementos tomados 3 a 3. Por tanto:

23 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 23 Jueves, 02 de Junio de 2016 23 Importa el ordenImporta el orden Hay más objetos que eleccionesHay más objetos que elecciones Pueden repetirse objetosPueden repetirse objetos Hay un conjunto de "m" elementos para agrupar de "n" en "n", siendo "n" < "m".Hay un conjunto de "m" elementos para agrupar de "n" en "n", siendo "n" < "m". Si cambiamos el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto.Si cambiamos el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto. Puede haber elementos repetidos, se pueden tomar un elemento varias veces.Puede haber elementos repetidos, se pueden tomar un elemento varias veces. Variaciones Con Repetición Ejemplo: Cuántos grupos de tres letras iguales o distintas se pueden escribir con las letras a, b, c, d y e? Importa el orden (no es lo mismo abc que bca), hay cinco objetos (a, b, c, d y e) para tres elecciones (grupos de tres letras) Las letras pueden repetirse porque pueden ser iguales o distintas (aaa o abb, por ejemplo, serían grupos válidos). Se trata de variaciones con repetición de 5 elementos tomados 3 a 3. Por tanto: Las variaciones con repetición de "m" elementos tomados "n" a "n" es igual a "m" elevado a "n". VR m, n = m n VR 5,3 = 5 · 5 · 5 = 125 grupos distintos

24 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 24 Jueves, 02 de Junio de 2016 Permutaciones con Repetición Importa el ordenImporta el orden Hay los mismos objetos que eleccionesHay los mismos objetos que elecciones Existen objetos iguales entre sí, por tanto, repetidosExisten objetos iguales entre sí, por tanto, repetidos Si cambiamos el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto.Si cambiamos el orden de algún elemento el agrupamiento es distinto. "m" es el número total de elementos y a, b, c... son el número de veces que se repite cada elemento repetido. Lógicamente, la suma de a + b + c +... debe ser igual a m. PRm,a,b,c... = m! / (a! · b! · c!...) Ejemplo:¿Cuántos grupos de cinco letras distintas puedes escribir con las letras a, b y c, si la a aparece dos veces, la b otras dos y la c una? importa el orden (no es lo mismo abcab que bbcaa), hay cinco objetos (a, a, b, b y c) para cinco elecciones (grupos de cinco letras) y las letras se repiten porque hay letras iguales en el conjunto a ordenar. La ‘a’ está dos veces y la ‘b’ otras dos.. se tratan de permutaciones con repetición de cinco elementos en los que dos de ellos aparecen dos veces y el tercero una. PR 5,2,2,1 = 5! / (2! · 2! · 1!) = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 1 · 2 · 1 · 1) = 30 grupos distintos

25 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 25 Jueves, 02 de Junio de 2016 Combinaciones Ordinarias No importa el orden y Hay más objetos que eleccionesNo importa el orden y Hay más objetos que elecciones No pueden repetirse objetosNo pueden repetirse objetos Un conjunto de "m" elementos agrupados de "n" en "n", dónde "n" < "m".Un conjunto de "m" elementos agrupados de "n" en "n", dónde "n" < "m". Si cambie el orden de algún elemento el agrupamiento sigue siendo el mismo. Si cambie el orden de algún elemento el agrupamiento sigue siendo el mismo. No hay ningún elemento repetido.No hay ningún elemento repetido. Las combinaciones de "m" elementos tomados "n" a "n" = variaciones de "m" elementos tomados "n" a "n" / permutaciones de "n". "m" factorial / producto "n" factorial y "m" menos "n" factorial. C m, n = V m, n / P n = m! / [n ! * (m-n)!] ¿Cuántos cucuruchos con 3 bolas distintas puedes preparar si dispones de helado de cinco sabores diferentes? No importa el orden (es lo mismo nata, fresa y limón que limón, fresa y nata), hay cinco objetos (cinco sabores) para tres elecciones (cucuruchos con tres bolas de helado). Los objetos no pueden repetirse ya que las bolas deben ser distintas; se trata de combinaciones ordinarias de 5 elementos tomados 3 a 3. Por tanto: C 5,3 = V 5,3 / P3 = 5! / [3! · (5-3)!] = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 3 · 2 · 1 · 2 · 1 = 10 cucuruchos.

26 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 26 Jueves, 02 de Junio de 2016 26 Combinaciones con Repetición No importa el ordenNo importa el orden Hay más objetos que eleccionesHay más objetos que elecciones Pueden repetirse objetosPueden repetirse objetos En un conjunto de "m" elementos se agrupan de "n" en "n", siendo "n" < "m".En un conjunto de "m" elementos se agrupan de "n" en "n", siendo "n" < "m". Si se cambia el orden de algún elemento el agrupamiento es igualSi se cambia el orden de algún elemento el agrupamiento es igual Puede haber elementos repetidos.Puede haber elementos repetidos. Combinaciones con repetición de "m" elementos tomados "n" a "n" = "m" más "n" - 1 factorial / producto "n" factorial y "m" - 1 factorial: CR m, n =(m+n-1)! / [n ! * (m-1)!] ¿Cuántos cucuruchos con 3 bolas iguales o distintas se pueden preparar si hay helado de 5 sabores diferentes? No importa orden (es lo mismo nata, fresa y limón que limón, fresa y nata), hay 5 objetos (cinco sabores) para 3 elecciones (cucuruchos con 3 bolas de helado). Los objetos pueden repetirse; las bolas pueden ser iguales (puede prepararse un cucurucho con 2 bolas de fresa y 1 de nata o con 3 de chocolate). Es decir, son combinaciones con repetición de 5 elementos tomados 3 a 3. Por tanto: C5,3 = (5+3-1)! / [3! · (5-1)!] = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 3 · 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 35 cucuruchos

27 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 5. Ajustes de Caso y Problema Resolución de Preguntas de Caso y Problema Plan para ajuste de Caso y Problema 27 Jueves, 02 de Junio de 2016

28 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 6. Guía para la planeación y seguimiento de Proyecto de clase. 1.Planteamiento de equipo de docencia 2.Selección de miembros de equipo. 1.Análisis de proyectos candidatos. 2.Asignación de equipos. 3.Lanzamiento del proyecto. 28 Jueves, 02 de Junio de 2016

29 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 7. Test de Salida: Caso, Problema y proyecto. Se hace después de la actividad de Proyecto de Clase. 29 Jueves, 02 de Junio de 2016

30 Copyright © CIDLIS– UIS 2010 La Investigación Sustentado por Procesos 8. Cierre. Entrega de Actividades por parte de todos los equipo. Balances de las acciones. Acciones de Mejora. Auditoría Cierre de Relatoría. 30 Jueves, 02 de Junio de 2016

31 La Investigación sustentada por Procesos CONSTRUIMOS FUTURO Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Facultad de Ingenierías Físico-Mecánicas Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Centro de Innovación y Desarrollo para la Investigación en Ingeniería del Software Escuela de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Gnosis Avanzada en Ingeniería y Telemática Aplicada Tecnología y Estándares en Ingeniería de Sistemas Software Calidad, Ingeniería, Sistemas y Modelado Organizacional de Conocimiento Gnosis Unificada para la Ingeniería del Aprendizaje. Líneas de Investigación: 31