Nociones Inclusión Igualdad Conjuntos Nociones Inclusión Igualdad

Conjuntos Noción Un conjunto es una agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados, en un universo. Los objetos que conforman el conjunto se denominan elementos del conjunto. Bien definido significa que dado cualquier objeto del universo, es posible determinar, sin lugar a dudas, si está en el conjunto o no. No ordenados se refiere a que no es relevante el orden en que aparecen listados los La pertenencia de un elemento al conjunto se denota con el símbolo . Y se lee “pertenece a”. x  A, significa que “x pertenece a A” o “x es un elemento de A”.

¿Serán conjuntos? Los hombres Las mujeres fotógrafas Algunas fotos de Caracas Los números enteros Los números enteros pares Los números racionales pares Existen varias formas de definir un conjunto: POR EXTENSIÓN: Mediante la enumeración de los elementos del conjunto, cuando esto sea posible. POR COMPRENSIÓN: Mediante una propiedad que cumplen los elementos del conjunto.

A = { x entero positivo / x es par y menor que 22} Al conjunto se le denota con una letra mayúscula y a los elementos con letras minúsculas. Ya sea que se defina, por extensión o por comprensión, se encierra entre llaves a los elementos del conjunto. A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} A = { 2, 4, 6, …, 18, 20} A = { x entero positivo / x es par y menor que 22} Representación gráfica x A x  A

¿Qué diferencias hay entre unos y otros? En los siguientes conjuntos puedes observar diferencias en la forma de definirlos, en el tamaño de cada uno, en los distintos “grados de infinitud”. A = 1, 2, 4, 6, 8 2  A pero 0  A B = x es entero/ x2  24 -1  B C = x es entero/ x es par -20  C D = x es real/ |x|  2 -1/2  D ¿Qué diferencias hay entre unos y otros? Algunos están definidos por extensión y otros por comprensión. Algunos son finitos y otros infinitos. De los que son infinitos algunos son numerables y otros son no numerables ...

Cardinalidad de un conjunto finito Dado un conjunto finito A, su cardinalidad es el número de elementos de A y se denota por |A|. Ejercicio: Determina la cardinalidad de los conjuntos si es posible. A = 1, 2, 4, 6, 8 B = x es entero/ x2  24 C = x es entero/ x es par D = x es real/ |x|  2 |A| = 5 |B| = 9 C no es finito, es infinito y numerable, no es acotado. D es infinito, no es numerable, aunque es acotado.

Subconjuntos Sean A, D conjuntos en el universo U. A es subconjunto de D si todo elemento de A está en D. Lo Denotamos por A  D. Simbólicamente, A  D  x [ x  A  x  D] Si A es subconjunto de D pero existe algún elemento de D, que no está en A se dice que A es subconjunto propio de D (D es “más grande que” A) y se denota por A  D. Una representación gráfica de A  D es U Cuando A y D son finitos y A  D entonces |A|  |D| D A

a) x  x b) x  x , x c) x  x , x d) x  x , x Decide cuáles de las proposiciones son verdaderas y cuáles falsas. Luego, justifica tus respuestas. a) x  x b) x  x , x c) x  x , x d) x  x , x Si A=  1, 2, 2, 3 e) 1  A f) 2  A g) 3  A h)  2   A i) 1, 2   A j) 1, 3   A

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales, y lo denotamos por A=B si cada uno es subconjunto del otro; simbólicamente: A=B  A  B  B  A A={1, 2, 3, 4 } y B ={x/ x es entero positivo y x2  20} A  B. B  A. Por tanto A = B

Conjunto Vacío El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por  o por { }. No es correcto denotar al conjunto vacío por {}. De hecho, este último es un conjunto que tiene un elemento. Ejemplo: A = {x es entero / 20 < x < 21 } Claramente: A =  Propiedad importante A [  A]