11/10/03Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría Axiomática General de Agregados (III) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos2 Contenido Axioma de Existencia Axioma de Diferencia Introducción del 0Z Operaciones elementales Concepto de par Axioma de Apareamiento

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos3 Axioma de Existencia

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos4 Ax. de Existencia (Op. 1)  x EsConjunto(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos5 Ts. de Existencia (Op. 1)  x x = x  x EsClase(x)  x EsAgregado(x)  x EsElemento(x)  x EsIntegrante(x)  x EsAgregante(x)  x EsAgrupacion(x)  x EsClsP(x)  x EsClsX(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos6 Ax. de Existencia (Op. 2)  x (EsElemento(x)  EsClsX(x)   y (y  x   z (z  x  y  z)) )

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos7 Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos8 Ts. de Existencia (Op. 2)  x EsElemento(x)  x EsClsX(x)  x EsClase(x)  x EsConjunto(x)  x EsAgregado(x)  x x = x  x EsIntegrante(x)  x EsAgregante(x)  x EsAgrupacion(x)  x EsAgrupante(x)  x EsClsP(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos9 Axioma de Diferencia

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos10 Df. Dif Dif(y)(x) = z =a EsAgregado(z)   u (u  z  u  x  u  y) Dif(y)(x) =s la diferencia con y de x x ~ y =a Dif(y)(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos11 Ax. de Diferencia  z Dif(y)(x) = z

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos12 Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos13 Introducción del 0Z

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos14 Ts. Vacio  y Dif(x)(x) = y  y (EsAgregado(y)   z (z  y  z  x  z  x))  x EsVacio(x) DemoDemo  !x EsVacio(x) (x  y  y  x  x = y)  ¬  y EsIndividuo(y)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos15 Df. 0Z 0Z = x =a EsAgregado(x)   y (y  x  z (y  z  y  z)) 0Z =s el vacío

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos16 Ts. 0Z 0Z = x  EsVacio(x)  x EsVacio(x)  x 0Z = x 0Z = y   x EsVacio(x)  EsVacio(y) 0Z = y   x EsVacio(x) = y 0Z =  x EsVacio(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos17 Existencia del vacío 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos18 Con Ax. Ext (1) 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos19 Si todo agregado es clase 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos20 Ts. Existencia (2) EsVacio(0Z) EsMinimal(0Z)  x EsMinimal(x) EsClsP(0Z) EsClase(0Z) EsAgregado(0Z)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos21 Ts. Dif EsMinimal(x)  Dif(y)(x) = 0Z EsAgregado(x)  EsMinimal(y)  Dif(y)(x) = x EsIndividuo(x)  EsMinimal(y)  Dif(y)(x) = 0Z Dif(x)(x) = 0Z Dif(y)(x)  x EsParte(X)(Dif(y)(X)) EsClase(Dif(y)(X))

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos22 Ts. del 0Z Dif(x)(0Z) = 0Z EsAgregado(x)  Dif(0Z)(x) = x EsIndividuo(x)  Dif(0Z)(x) = 0Z Dif(0Z)(0Z) = 0Z 0Z  x x  0Z  EsMinimal(x) ¬  x x  0Z EsAgregado(x)  EsParte(x)(0Z) EsAgrupacion(x)  EsPartePrp(x)(0Z)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos23 Operaciones elementales

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos24 Df. Intsc Intsc(y)(x) = z =a EsAgregado(z)   u (u  z  u  x  u  y) Intsc(y)(x) =s la intersección con y de x x  y =a Intsc(y)(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos25 Ts. Intsc (1) Intsc(y)(x) = Dif(Dif(y)(x))(x))  z Intsc(y)(x) = z

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos26 Ts. Intsc (2) EsMinimal(x)  Intsc(y)(x) = 0Z Intsc(x)(0Z) = 0Z EsMinimal(y)  Intsc(y)(x) = 0Z Intsc(0Z)(x) = 0Z EsAgregado(x)  Intsc(x)(x) = x Intsc(y)(x) = Intsc(x)(y) Intsc(z)(Intsc(y)(x)) = Intsc(Intsc(z)(y))(x) EsParte(y)(x)  Intsc(y)(x) = x Intsc(y)(x)  x  Intsc(y)(x)  y

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos27 Ts. Intsc (3) EsParte(X)(Intsc(y)(X)) EsParte(Y)(Intsc(Y)(x)) EsClase(Intsc(y)(X)) EsClase(Intsc(Y)(x))

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos28 Df. Union Union(y)(x) = z =a EsAgregado(z)   u (u  z  u  x  u  y) Union(y)(x) =s la unión con y de x x  y =a Union(y)(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos29 Ts. Union (1) EsMinimal(x)  EsMinimal(y)  Union(y)(x) = 0Z EsMinimal(x)  EsAgregado(y)  Union(y)(x) = y EsAgregado(x)  Union(x)(0Z) = x EsMinimal(x)  EsAgregado(y)  Union(x)(y) = y EsAgregado(x)  Union(0Z)(x) = x EsAgregado(x)  Union(x)(x) = x Union(0Z)(0Z) = 0Z EsParte(y)(x)  Union(y)(x) = y EsParte(y)(x)  Union(x)(y) = y Union(y)(x) = z  x  z  y  z

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos30 Ts. Union (2) Union(y)(x) = z  Union(x)(y) = z Union(y)(x) = u  Union(z)(u) = w  Union(z)(y) = v   Union(v)(x) = w Union(z)(Intsc(y)(x)) = w  Union(z)(x) = u   Union(z)(y) = v  Intsc(v)(u) = w Union(Intsc(z)(y))(x) = w  Union(y)(x) = u   Union(z)(x) = v  Intsc(v)(u) = w Union(y)(x) = u  Intsc(z)(u) = Union(Intsc(z)(y))(Intsc(z)(x)) Union(z)(y) = u  Intsc(u)(x) = Union(Intsc(z)(x))(Intsc(y)(x))

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos31 Df. UnEn UnEn(z)(y)(x) = u =a EsAgregado(u)   v (v  u  v  z  (v  x  v  y)) UnEn(z)(y)(x) =s la unión en z con y de x

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos32 Ts. UnEn (1) UnEn(z)(y)(x) = Dif(z)(Intsc(Dif(y)(z))(Dif(x)(z)))  z UnEn(z)(y)(x) = z UnEn(z)(y)(x) = UnEn(z)(x)(y)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos33 Ts. UnEn (2) EsMinimal(z)  UnEn(z)(y)(x) = 0Z EsMinimal(x)  UnEn(z)(y)(x) = Intsc(z)(y) EsMinimal(y)  UnEn(z)(y)(x) = Intsc(z)(x) EsParte(z)(x)  EsParte(z)(y)  UnEn(z)(y)(x) = Union(y)(x) EsParte(z)(x)  EsParte(z)(y)  EsParte(u)(z)  UnEn(z)(y)(x) = UnEn(u)(y)(x) EsClase(UnEn(Z)(y)(x)) EsClase(UnEn(z)(Y)(X))

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos34 Concepto de par

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos35 Df. Atm Atm(x) = y =a EsAgregado(y)   z (z  y  z = x) Atm(x) =s el átomo formado por x {x} =a Atm(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos36 Ts. Atm Atm(x) = y  EsAtomo(y)  x  y  (EsElemento(x)  EsClase(y))  (EstaCubierto(z)(x)  z = x)  (Atm(x) = Atm(z)  x = z)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos37 Df. EsIndivQ EsIndivQ(x) =a Atm(x) = x EsIndivQ(x) =s x es un individuo según Quine

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos38 Ts. EsIndivQ EsIndivQ(x)  EsAgrupacion(x) EsIndivQ(x)  y (y  x  y = x) EsIndivQ(x)   y (x  y  x  y) EsIndivQ(x)  Atm(Atm(x)) = x

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos39 Df. EsPar EsPar(x) =a EsAgregado(x)   y  z  u (u  x  u = y  u = z) EsPar(x) =s x es un par

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos40 Ts. EsPar EsPar(x)  EsAgregado(x) EsAtomo(x)  EsPar(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos41 Df. EsParPrp EsParPrp(x) =a EsPar(x)  ¬ EsAtomo(x) EsParPrp(x) =s x es un par propio

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos42 Df. Par Par(y)(x) = z =a EsAgregado(z)   u ( u  z  u = x  u = y) Par(y)(x) =s el par formado por y con x {x,y} =a Par(y)(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos43 Ts. Par Par(y)(x) = z  EsPar(z)  (Par(y)(x)  = Par(v)(u)  (x = u  x = v)  (y = u  y = v)  (u = x  u = y)  (v = x  v = y)  (x = y  u = v)  (x = u  y = v)  (x = v  y = u) )DemoDemo Par(b)(a) = x  EsClase(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos44 Ts. Par Atm(x) = y  Par(x)(x) = y  EsPar(y) Par(y)(x) = z  (Par(y)(x)  = Atm(u)  x = u  y = u) Par(y)(x) = x   z ( z  x  z = x  z = y)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos45 Axioma de apareamiento

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos46 Ax. de Apareamiento (Op.1)  z Par(y)(x) = z

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos47 Ts. Apareamiento (Op.1)  z (EsAgregado(z)   u (u  z  (u = x  u = y)))  X Par(b)(a) = X  y (EsAgregado(y)   z (z  y  z = x))  y Atm(x) = y  X Atm(a) = X EstaCubierto(y)(x)  x = y EsIntegrante(x) ¬  x EsMaximal(x)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos48 Efecto Apaream. (Op. 1) 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos49 Si todo agregado es clase 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos50 El universo de Z 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos51 El universo de ZF 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos52 Ax. de Apareamiento (Op.2) EsIntegrante(x)  EsIntegrante(y)   z (Par(y)(x) = z  EsIntegrante(z))

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos53 Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2)

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos54 Ts. Apareamiento (Op.2) EsIntegrante(x)  EsIntegrante(y)   z (EsAgregante(z)   u (u  z  (u = x  u = y))) EsIntegrante(x)   y (EsAgregante(y)   z (z  y  z = x)) EsIntegrante(x)   y Atm(x) = y EsIntegrante(x)  (EstaCubierto(y)(x)  x = y) EstaCubierto(x)(a)  a = x  X Par(b)(a) = X  X Atm(a) = X

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos55 Teoría Axiomática General de Agregados (III) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos56 Dem existencia de vacio  x (EsAgregado(x)   y (y  x  y  z  y  z)) x EsAgregado(x)   y (y  x  y  z  y  z)) EsAgregado(x)  y (y  x  y  z  y  z) y y  x  y (y  x  y  z  y  z) y  x  y  z  y  z y  z  y  z y  x  y y  x EsVacio(x)  x EsVacio(x)  x EsVacio(x)RegresoRegreso

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos57 Dem. unicidad de pares (1) Par(y)(x) = z  Par(v)(u) = z Par(y)(x) = z EsAgregado(z)  w ( w  z  w = x  w = y) EsAgregado(z)  w ( w  z  w = x  w = y) Par(v)(u) = z EsAgregado(z)  w ( w  z  w = u  w = v)  w ( w  z  w = u  w = v) …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos58 Dem. unicidad de pares (2) w  w ( w  z  w = x  w = y)  w ( w  z  w = u  w = v) w  z  w = x  w = y w  z  w = u  w = v w = x  w = y  w = u  w = v  w ( w = x  w = y  w = u  w = v) …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos59 Dem. unicidad de pares (3) x = x  x = y  x = u  x = v x = u  x = v y = x  y = y  y = u  y = v y = u  y = v u = x  u = y  u = u  u = v u = x  u = y v = x  v = y  v = u  v = v v = x  v = y …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos60 Dem. unicidad de pares (4) x = y u = x  u = y u = y v = x  v = y v = y u = v u = v x = u  x = v x = v y = u  y = v y = v x = y x = y  u = v …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos61 Dem. unicidad de pares (5) x = u y = u  y = v y = u x = u x = y u = v y = v y = v y = v y = v …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos62 Dem. unicidad de pares (6) y = v x = u  x = v x = v y = v x = y u = v x = u x = u x = u x = u x = u  y = v …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos63 Dem. unicidad de pares (7) x = v y = u  y = v y = v x = v x = y u = v y = u y = u y = u y = u …

11/10/03Jorge Baralt-Torrijos64 Dem. unicidad de pares (8) y = u x = u  x = v x = u y = u x = y u = v x = v x = v x = v x = v x = v  y = u …RegresoRegreso