MÉTODOS DE TRABAJO Y ENERGÍA Grupo de Modelamiento de Sistemas Ingeniería Civil UdeA

Introducción Los métodos geométricos de los Teoremas de Áreas-Momento y de la Viga Conjugada son muy efectivos para encontrar desplazamientos y pendientes en puntos ubicados en vigas sujetas a cargas más bien simples. Sin embargo, para estructuras y cargas más complicadas, es mejor usar los métodos de energía. A diferencia de los métodos geométricos, no es necesario conocer la configuración aproximada de la curva elástica para aplicar métodos de energía.

Trabajo Se define como la capacidad de transmitir energía de un sistema a otro. El trabajo hecho por una fuerza F la cual mueve un cuerpo una distancia X cuyos vectores forman un ángulo  viene dado por el producto escalar:

Trabajo de una fuerza y un momento Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por una fuerza y un momento sobre una estructura.

Trabajo de una fuerza y un momento Cuando se está en el rango elástico lineal, se tiene: P Rango Elástico Lineal d

Trabajo de una fuerza y un momento Es importante distinguir entre cuando una fuerza se aplica o no en forma gradual P + F C B P D   ’ P A G F  ’ P + F Rango Elástico Lineal

Conservación de la energía El principio de conservación de la energía para estructuras se enuncia como sigue: “El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por fuerzas aplicadas estáticamente (en forma gradual) es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, la energía de deformación almacenada en la estructura” Matemáticamente se expresa como: We=Wi ó Ue=Wi

Energía de deformación elástica La forma de energía más común considerada en el Análisis de Estructuras es la energía potencial elástica.

Energía de deformación elástica Se presenta a continuación la energía de deformación para varios los tipos más comunes de estructuras usadas en la Ingeniería Civil. Armaduras Vigas Pórticos

Energía de deformación elástica Consideraciones importantes: Las deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas suelen despreciarse debido a que son bastante pequeñas a comparación de las debidas por flexión Las deformaciones por fuerzas axiales en pórticos son mucho menores que las debidas a flexión y suelen despreciarse en el análisis. Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no son continuas en los elementos, entonces este debe dividirse en segmentos tales donde las anteriores funciones sí lo sean para que la suma o integral sea continua. Luego, se suma la contribución de cada elemento para obtener la energía de deformación total.

Métodos energéticos A continuación se presentan los métodos que se han desarrollado teniendo como base el teorema de trabajo-energía y el principio de conservación de la energía. Los métodos que se trabajarán serán los siguientes: Método del trabajo real Método del trabajo virtual (Basado en el principio del trabajo virtual) Método basado en el segundo teorema de Castigliano

Principio del Trabajo Virtual Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una poderosa herramienta analítica en muchos problemas de mecánica estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras: Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos: El método de Müller-Breslau para el trazado de líneas de influencia está basado en esta forma de expresar el principio. Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.

Principio del Trabajo Virtual El principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos se enuncia así: “Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtual de cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas es cero”

Principio del Trabajo Virtual El principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables se enuncia así: “Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquier deformación real pequeña, coherente con las condiciones de apoyo y continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones) externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas (y pares internos) que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones) internos reales”

Principio del Trabajo Virtual Consideraciones Importantes: La segunda manera de enunciar el Principio del Trabajo Virtual puede ser resumido como sigue:

Principio del Trabajo Virtual Consideraciones Importantes: Nótese de que en virtud de que las fuerzas virtuales son independientes de las acciones que causan la deformación real y permanecen constantes durante esta deformación, las expresiones del trabajo virtual, externo e interno, no contienen el factor ½. Al aplicar la fuerza virtual esta recorrerá la deformación real (ya impuesta antes de aplicar la fuerza virtual).

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes Armaduras: Se considerarán 3 casos generales, según sea el origen de la deflexión (no se consideran pendientes, los elementos de una armadura trabajan sólo a fuerza axial): por fuerzas, errores de fabricación y cambios de temperatura.

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes Situaciones tales como fuerzas de tracción, errores de fabricación que lleven a miembros más largos o aumentos en la temperatura son cantidades que se suelen considerar como positivas en el cálculo de deflexiones en armaduras. Las contrarias se toman como negativas. La misma convención de signos debe ser usada tanto para el sistema real como para el sistema virtual. Para los casos de errores de fabricación y cambios de temperatura sólo es necesario calcular las fuerzas internas en aquellos miembros en los que ocurra alguna de las situaciones antes mencionadas.

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales, cortantes y momentos flectores, sólo se consideran prominentes el momento flector y la fuerza cortante. Para la gran mayoría de vigas se desprecia el trabajo interno efectuado por las fuerzas cortantes virtuales que actúan a través de las deformaciones causadas por esas cortantes. En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes Vigas: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del principio del trabajo a vigas se presentan a continuación: Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en los cuales la función de momento sea continua.

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes Pórticos: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del principio del trabajo a pórticos se presentan a continuación: Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en los cuales la función de momento sea continua.

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes: Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el aporte de estas a la energía de deformación, la cual será en forma primaria debida a flexión, se expondrán de igual forma. Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial, fuerza cortante, momentos torsores y gradientes de temperatura

Principio del Trabajo Virtual Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes: Fuerza axial Momentos torsores Temperatura Fuerzas cortante

Teoremas de Castigliano En 1876 el Ingeniero de Ferrocarriles Alberto Castigliano, como parte de su trabajo de grado, presentó dos teoremas, el segundo de los cuales permite encontrar cualquier componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la misma Se pueden resumir que su trabajo consta de dos teoremas y un corolario, los cuales permiten establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras, calcular deflexiones y rotaciones, y finalmente, resolver estructuras indeterminadas (es decir, hiperestáticas) El Primer Teorema de Castigliano ya está en desuso.

Teoremas de Castigliano Primer Teorema de Castigliano: Su mayor uso es para establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras. Su uso es casi nulo hoy en día. Matemáticamente, el enunciado de este teorema es:

Teoremas de Castigliano Segundo Teorema de Castigliano: “Para estructuras linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado) es igual al desplazamiento (o rotación) de la fuerza (o par) a lo largo de su línea de acción”. Este teorema sólo permite el cálculo de deflexiones y rotaciones debidas a fuerzas o momentos.

Teoremas de Castigliano Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano Armaduras Vigas

Teoremas de Castigliano Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano Pórticos

Teoremas de Castigliano Corolario del Segundo Teorema de Castigliano: “La derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada con respecto a una componente de reacción, es igual a cero” “En cualquier estructura indeterminada sometida a carga los valores de las redundantes deber ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación elástica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado”

Ley de Maxwell Esta es la llamada ley de las deflexiones recíprocas, y fue desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley de Betti. Dicha ley se enuncia así: “Para una estructura linealmente elástica, la deflexión en un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexión en j debida a una carga unitaria en i”

Ley de Betti Es el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como: “Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a través de la deformación causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q actuando a través de la deformación debida al sistema P”

Ejercicios: Método del Trabajo Real Calcular la deflexión en el punto D, para una carga de 50 T aplicada en el mismo. Para todas las barras L/A=10cm-1, y que el material es acero estructural con E=2040 T/cm2.

Programación: Método del Trabajo Real Ecuación:

Ejercicios: Teoremas de Castigliano Encuentre la deflexión horizontal del punto A, producida por el sistema de cargas mostrado. Para las diagonales L/A= 100 cm-1, para las otras barras L/A= 50 cm-1. El material es acero estructural con E= 2100T/cm2 :

Programación Segundo Teoremas de Castigliano Ecuación:

Ejercicio Método del trabajo virtual Determinar la componente vertical de deflexión del nudo L4. El numero al lado de cada barra es el área de la barra en pulgadas cuadradas y E= 29*10+6 lb/pulg2.

Programación del Método del Trabajo Virtual Ecuación:

Referencias KASSIMALI, Aslam. Análisis Estructuras. Editorial Thompson. Segunda Edición.2004. URIBE Escamilla, Jairo. Análisis de Estructuras. ECOE Ediciones. Segunda Edición.2000. HIBBELER, Russell. Mecánica de Materiales. Editorial Pearson. Sexta Edición. 2006. McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Primera edición.1999 HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson. Séptima Edición. 2009.

Referencias LEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne M. Fundamentos de Análisis Estructural. Editorial McGraw-Hill. Segunda edición. 2006 McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edición.2006 KINNEY, Sterling J. Análisis de estructuras indeterminadas. Editorial Continental. Primer edición. 1960 GONZALEZ, Cuevas Oscar. Análisis estructural. Editorial Limusa. Segunda edición. 2002.