Leyes de Kepler Discusión de las guías

1ª Ley de Kepler Ley de las órbitas: “Cada planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse”.

Parámetros de una elipse F’ y F = focos A’A = eje mayor B’B = eje menor a = semieje mayor b = semieje menor Distancia entre centro y focos = c Distancia entre los focos = 2c Excentricidad: e = c / a

1ª Ley de Kepler – guía 1 Dibujar la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol utilizando el método del jardinero Datos de la órbita de Mercurio: e=0,206, a=0,387UA Dibujar el Sol en uno de los focos y marcar el perihelio y el afelio de la órbita de Mercurio Medir las distancias del Sol al perihelio y al afelio (en cm y UA). Comparar con los valores reales de la órbita de Mercurio (perihelio = 0,307 UA, afelio = 0,467 UA). ¿Por qué hay una diferencia entre los valores medidos en su órbita dibujada y los valores reales?

1ª Ley de Kepler – guía 2 Órbita de la Tierra: e = 0,017, a = 1 UA Si tuvieras que dibujar la órbita de la Tierra con la misma escala que dibujaste la órbita de Mercurio a) cuál sería la distancia entre los focos? b) cuál sería el tamaño del hilo? c) podría dibujar la órbita de la Tierra en una sola hoja? Considera los valores de excentricidad y semieje mayor de la órbita de la Tierra: a) Calcula los valores del afelio y perihelio de su órbita (en UA y kms) Perihelio = a (1 – e), Afelio = a (1 + e) = a + c, 1 UA ≈ 150.000.000 kms

1ª Ley de Kepler – guía 2 Órbita de la Tierra: e = 0,017, a = 1 UA b) ¿Se pueden explicar las estaciones del año con las características de la órbita de la Tierra alrededor del Sol? Justifica. c) ¿Qué pasaría si la órbita de la Tierra tuviera una excentricidad muy alta? El afelio de la órbita de la Tierra ocurre en 4 de julio y el perihelio ocurre en 4 de enero. Inclinación eje de rotación Tierra: 23,5 grados

Estaciones del año Inclinación eje de rotación Tierra: 23,5 grados Duración – día y noche (solstícios y equinoccios)

Estaciones del año Inclinación eje de rotación Tierra: 23,5 grados Otros factores que influyen en la temperatura: presión y humedad del aire. Cantidad de tierra (la tierra se calienta más que el agua, por esto en promedio el verano en el hemisferio norte es más caluroso que en el hemisferio sur)

Órbita de Marte ¿Cómo son las estaciones del año en Marte? e = 0,093 a = 1,52 UA Perihelio: 206,7 millones de km (1,38 UA) Afelio: 249,2 millones de km (1,67 UA) ¿Cómo son las estaciones del año en Marte? Inclinación del eje de rotación: 25,19° Perihelio en el verano del hemisferio Sur -> más caluroso Diferencia af y pe: 0,29 UA (20% del semieje mayor) 1 año marte = 1,88 años terrestres Cratera Hale: hemisferio sur – verano con agua salada liquida (la sal disminuye el punto de fusión del agua, necesita menos T para ser liquida)

Excentricidad plution = 0,25 Inicialmente Kepler intentó elaborar su modelo planetario con la circunferencia, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados no se ajustaban correctamente a ese modelo. Afortunadamente, Tycho se había centrado en Marte, el cual tiene una elíptica muy acusada; de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas y no circulares. Incapaz de aceptar que Dios no hubiera dispuesto que los planetas describieran la figura geométrica más simple, se dedicó con tesón ilimitado a probar con toda suerte de combinaciones de círculos. Cuando se convenció de la imposibilidad de lograrlo con círculos, ensayó con óvalos. Contrariado, al no lograr ajustar una pertinaz diferencia de ocho minutos de arco entre los datos reales y su modelo teórico, finalmente descubrió que el modelo basado en elipses encajaba perfectamente con las mediciones suyas y de Tycho.

2ª Ley de Kepler Ley de las áreas: “La línea que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”. en que punto el planeta se mueve más rápido?

2ª Ley de Kepler – guía 1 Aplicar la 2ª Ley de Kepler utilizando el dibujo de la órbita de Mercurio Si Mercurio recorre 30 millones de kms (0,2UA) cerca al perihelio en 7,3 días, ¿cuánto recorre cerca al afelio en el mismo tiempo? Aproximación: triángulos isósceles Áreas iguales: B1h1/2 = B2h2/2 B1 = B2h2/h1 B2 = 30 millones de kms ≈ 4,28cm en el dibujo Respuesta: Aprox 22,7 millones de km 0,2 UA = 4,28 cm en el dibujo B1 = 4,28 cm x perihelio / afelio = Agregar los recorridos B1 y B2 en tu dibujo de la órbita de Mercurio y pintar las áreas.

2ª Ley de Kepler – guía 2 Considera la 2ª Ley de Kepler y los datos de las órbitas de Mercurio y la Tierra. ¿La velocidad del planeta Mercurio es constante en toda su órbita? Si no es constante, en que punto el planeta viaja más rápido, ¿afelio o perihelio? Comenta sobre la velocidad orbital de la Tierra. ¿Es constante? ¿Presenta las mismas diferencias que la velocidad orbital de Mercurio? Justifica. Respuesta: Aprox 22,7 millones de km ¿que pasa con la velocidad de la orbita? Mercurio viaja siempre con la misma velocidad? En que punto viaja más rápido? Perihelio: v = 47,56 km/s, afelio: v = 36 km/s

¿Las estaciones del año tienen la misma duración? Hemisferio Sur: Verano: 90 días Invierno: 94 días Verano hemisferio sur: duración 90 días Invierno hemisferio sur: duración 94 días

3a Ley de Kepler Ley armónica (o de los períodos): “El cuadrado del período de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita”. T2 = k a3 T = período de la órbita a = semieje mayor de la órbita k = constante de Kepler Si T se expresa en años y a se expresa en UAs, la constante de Kepler es igual a 1, y se cumple: T2 = a3

3a Ley de Kepler – guía 3 La siguiente tabla contiene los períodos orbitales de los planetas del Sistema Solar. Complétala con los valores de sus distancias al Sol (semieje mayor) utilizando la 3ª Ley de Kepler: Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno T (años terrestres) 0,241 0,616 1 1,88 11,9 29,5 84,0 165,0 a (UA)

3a Ley de Kepler – guía 3 La 3ª Ley de Kepler vale para cualquier sistema orbital, cambiando solamente el valor de la constante K. La siguiente tabla contiene los períodos orbitales del sistema formado por Júpiter y sus cuatro satélites principales: a) Considera los datos de Io y Europa. ¿Cuál es el valor aproximado de la constante de Kepler para el sistema formado por Júpiter y sus lunas? (expresa la constante de Kepler en horas2/km3). b) Apoyándote en el dato anterior, completa la tabla con los valores del semieje mayor de las órbitas de Ganímedes y Calixto. Io Europa Ganímedes Calixto T (hs) 42,5 85,2 171,8 400,6 a (km) 422000 671000