Recta de Euler
Recta de Euler: La recta de Euler es la recta que comprende el ortocentro, circuncentro y el baricentro en un triángulo, lo que significa que los tres puntos están alineados. Ortocentro: Punto de corte de las alturas de un triángulo. Baricentro: Punto de corte de las medianas de un triángulo. Circuncentro: Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
Euler demostró que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales. Esta propiedad es también cierta para el centro de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve puntos notables se encuentra a distancia media en la recta de Euler entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia desde el baricentro de el circuncentro es un medio que desde el baricentro hasta el ortocentro. Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps, el punto Schiffler, el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles.
Demostración: 1- CK // MF 2- Ángulo FCK = Ángulo GFO por alternos internos, respecto a la transversal CF. 3- CG es proporcional a GF por teorema de la mediana. 4-Los segmentos CH y FO son proporcionales por ser segmentos de triángulos semejantes (∆GFO semejante a ∆HCG). Demostración punto 3 Demostración punto 4
Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que las divide en segmentos que están en razón 2: 1 1- MF = ½ AC MF // AC 2- HI = ½ AC HI // AC 3- MF // HI MF = HI 4-HG = GF por diagonales del paralelogramo HG = HB por construcción 5- CG = 2 GF Demostración punto 4
Ángulo FGO = Ángulo HGC por opuestos al vértice. Ángulo GFO = Ángulo HCG por alternos internos. ∆GFO semejante a ∆HCG