MODELOS ARCH APLICADOS Dr. Luís Miguel Galindo

“I have heard it said that too much academic research is focused on finding very precise answers to irrelevant questions” Carol Alexander (2001)

“In finance theory the concept of the correct price is determinated by the nature of the modeler. The British, being practical and empirical, might say that the market is right and their model is wrong. The French –rationalist and theoreticians- might say that their model is right and the market is wrong. However, the Americans, pragmatic and diplomatic as they are, would most likely say that both the market and the model are wrong…

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: Volatilidad y correlación son parámetros del proceso estocástico utilizados para modelar variaciones en los precios de activos financieros Volatilidad anual: A = Factor de anualización (el número de ganancias al año) A = 250 ó 252 Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: Comparar volatilidades  La volatilidad anual es Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: Conceptos básicos: (1.1) (1.2) (1.3) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: MCO: β = v v = volatilidad relativa Y (variable dependiente) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad se mide con la varianza: Mejor desviación estándar a varianza (unidades de medida) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad no es el riesgo porque la  solo mide la desviación pero no la forma de la distribución La volatilidad genera procesos de memoria larga La volatilidad de diversos activos no se mueve junta Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad y la correlación no es observada directamente en el mercado como los precios Volatilidad implícita: el pronostico de la volatilidad que iguala el precio de mercado con el precio del modelo de una opción Volatilidad estadística: es una serie de tiempo y depende del modelo especifico Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: Modelos de volatilidad constante y variable: Una serie estacionaria tiene una varianza condicional constante Una volatilidad variable en el tiempo se describe por una volatilidad condicional Una distribución condicional determina la ganancia en un momento particular en el tiempo Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad condicional en el tiempo t es la raíz cuadrada de la varianza condicional en el tiempo t  Los valores actuales en vez de los valores esperados del pasado se utilizan para estimar la volatilidad condicional Dr. Galindo

MARCO GENERAL: ARCH AR(1): (3.1) et es ruido blanco Dr. Galindo

= la varianza condicional de MARCO GENERAL: ARCH = la varianza condicional de Ello se debe a que un yt-1 fijo implica que la única variación de et es Dr. Galindo

MARCO GENERAL (3.2) (3.3) Dr. Galindo

Si la varianza condicional de et es homocedastica: MARCO GENERAL (3.4) Si la varianza condicional de et es homocedastica: Dr. Galindo

ARCH relaja este supuesto MARCO GENERAL (4.1) La varianza pronosticada de yt no depende de los valores pasados de et o ARCH relaja este supuesto Dr. Galindo

La varianza incondicional es: (4.2) MODELO GENERAL: ARCH La varianza incondicional es: (4.2) Dr. Galindo

(4.4)  varianza no condicional MODELO GENERAL: ARCH Despejando: (4.3) (4.4)  varianza no condicional Dr. Galindo

Suponiendo a la heterocedasticidad como función de otra variable: MODELO GENERAL: ARCH Suponiendo a la heterocedasticidad como función de otra variable: (4.5) Como xt-1 es exógena: (4.6)  La varianza depende de Dr. Galindo

MODELO GENERAL: ARCH Engle (1992): (4.7) (4.8) Dr. Galindo

Normalización: var(ut) = 1 MODELO GENERAL: ARCH Normalización: var(ut) = 1  La varianza condicional de yt depende de sus valores rezagados al cuadrado Dr. Galindo

Para que el modelo ARCH implique el término de error: MODELO GENERAL: ARCH Modelo simple: (4.9) Para que el modelo ARCH implique el término de error: Media condicional (4.10) Dr. Galindo

Varianza condicional: (4.11) Como : MODELO GENERAL: ARCH Varianza condicional: (4.11) Como : (4.12) Dr. Galindo

MODELO ARCH GENERAL es una función de ut es ruido blanco (4.13) (4.14) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN AR(1): (5.1) Media condicional: (5.2) Varianza condicional (yt-1 es conocida en el tiempo t): (5.3) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN Media incondicional: (5.4) Varianza incondicional: (5.5) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN Los modelos de volatilidad condicional supone distribución normal y por tanto esta determinado por la media y la varianza Correlación incondicional: (6.1) Dr. Galindo

VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN La correlación condicional permite que la distribución conjunta sea diferente en cada punto en el tiempo Dr. Galindo

VOLATILIDAD IMPLICITA Y CONDICIONAL El precio se determina como un movimiento browniano: (7) Rt = tasa de interés del activo sin riesgo Zt = Proceso Wiener Proceso Wiener: dZt es independiente y normalmente distribuida con media cero y varianza dt Dr. Galindo

Volatilidad y correlación histórica: 1.Varianza incondicional: (8.1) MODELOS MA Volatilidad y correlación histórica: 1.Varianza incondicional: (8.1) 2 ganancias al cuadrado 2. Correlación incondicional: (8.2) Dr. Galindo

Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA): MODELOS MA Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA): EWMA pone más peso en información reciente y por tanto considera el orden de la dinámica de las ganancias (9.1) Dr. Galindo

Como 0 <  < 1  n 0 con n Converge a: MODELOS MA 0 <  < 1  Un valor de  mayor se le pone mas peso a las observaciones pasadas y por tanto la serie se hace mas suave Como 0 <  < 1  n 0 con n Converge a: Dr. Galindo

MA infinito se puede escribir como: (9.2) Varianza: (9.3) Correlación: MODELOS MA MA infinito se puede escribir como: (9.2) Varianza: (9.3) Correlación: (9.4) Dr. Galindo

Estimación recursiva: (9.5) MODELOS MA Estimación recursiva: (9.5) (9.6) = determina la intensidad de la reacción de la volatilidad a los eventos de mercado Dr. Galindo

 Con un mayor  existe una mayor persistencia MODELOS MA  Con error  existe una mayor volatilidad como reacción a la información de mercado = determina la persistencia de la volatilidad sin importar lo que sucede en t-1 en el mercado  Con un mayor  existe una mayor persistencia  Un  alto implica una lata persistencia y una baja reacción de mercado (los parámetros no son independientes) Dr. Galindo

MODELOS MA Regla de dedo del EWMA: La volatilidad en los mercados es  = 0.75 (alta volatilidad o poca persistencia) o  = 0.98 (alta persistencia y no muy reactivo) Para pronósticos: Dr. Galindo

Valores bajos de  para pronósticos de CP MODELOS MA Valores bajos de  para pronósticos de CP Valores altos de  para pronósticos de LP EWMA equivale a un I – GARCH sin constante Dr. Galindo

La volatilidad de los pronósticos es: MODELOS MA (10.1) La volatilidad de los pronósticos es: (10.2) Con 2 constante  Dr. Galindo

MODELOS MA Con A ganancias al año entonces el número de días de ganancias al año (n) es A/n: (10.3) Volatilidad del día = un día de volatilidad Dr. Galindo

Las series de tiempo muestran volatilidad en clusters MODELOS GARCH Las series de tiempo muestran volatilidad en clusters  Heterocedasticidad condicional autoregresiva ARCH Volatilidad implica una fuerte autocorrelación en el cuadrado Dr. Galindo

Detección de la volatilidad en clusters MODELOS GARCH Detección de la volatilidad en clusters (10.4) Dr. Galindo

Hecho: la volatilidad es mayor en un mercado de caída que en alza MODELOS GARCH El efecto de leverage: Hecho: la volatilidad es mayor en un mercado de caída que en alza Prueba: (10.5)  Si el estadístico es negativo y el BP es estadísticamente significativo  asimetría Dr. Galindo

1.Variable dependiente (ganancias) MODELOS GARCH Modelo GARCH incluye: 1.Variable dependiente (ganancias) 2.Primera ecuación de la media condicional et = ganancia inesperada Opción: Media autoregresiva condicional: AR(1) 3.Segunda ecuación es la varianza condicional Dr. Galindo

MODELOS GARCH ARCH(): (11.1) Dr. Galindo

MODELOS GARCH: GARCH Simétricos: (12.1) GARCH(1,1): (12.2) Dr. Galindo

MODELOS GARCH: Describirlo como: (12.3) Dr. Galindo

La varianza de L.P. se obtiene igualando en la ecuación (12.2): MODELOS GARCH: La varianza de L.P. se obtiene igualando en la ecuación (12.2): (12.4) Dr. Galindo

Tipo de cambio: media y varianza no estacionaria MODELOS GARCH: IGARCH: Con y suponiendo que : (13.1) Tipo de cambio: media y varianza no estacionaria Con w = 0  IGARCH similar a EWMA Dr. Galindo

MODELOS GARCH: Modelo GARCH de componentes permite una variación de largo plazo en la volatilidad: GARCH(1,1): (14.1) Dr. Galindo

Modelo de GARCH de componentes (cambio de parámetros) MODELOS GARCH: Modelo de GARCH de componentes (cambio de parámetros) EGARCH (asimétrico) N-GARCH (no lineales) t- GARCH Dr. Galindo

Donde α y β so las estimaciones del GARCH MODELOS GARCH: Regla de dedo de la varianza es la raíz cuadrada del tiempo para diferentes periodicidades (no sirve): Donde α y β so las estimaciones del GARCH Dr. Galindo

Los errores estandarizados al cuadrado no tengan autocorrelación: MODELOS GARCH: Pruebas de GARCH: Los errores estandarizados al cuadrado no tengan autocorrelación: (15.1) Ello equivale que βρ: (15.2) Dr. Galindo

MODELOS GARCH: Coeficiente de autocorrelación del cuadrado de los errores estandarizados (15.3) Si no existe autocorrelación en las ganancias estandarizadas al cuadrado del GARCH se considera al modelo bien especificado Dr. Galindo

MODELO GARCH MULTIVARIADO: Time-varyiny correlation: La correlación condicional implica variaciones en los parámetros Bivariate GARCH: (16.1) (16.2) Dr. Galindo

MODELO GARCH MULTIVARIADO: (16.3) e1, e2 son ganancias inesperadas de las dos ecuaciones de las medias condicionales Problema: no se incluyen en la ecuación de la covarianza la que implica que no se captura la correlación asociada con la mayor volatilidad Dr. Galindo

MODELO GARCH MULTIVARIADO: Coeficiente de correlación variable: (17.1) Un beta cambiante es: (17.2) Pt = correlación condicional covarianza condicional varianza condicional Dr. Galindo

ESTIMACIÓN ARCH-GARCH: Especificar el modelo: (18.1) (18.2) Dr. Galindo

ESTIMACIÓN ARCH-GARCH: 2. Especificar la función de máxima-verosimilitud de los errores bajo el supuesto de normalidad (18.3) 3. El programa maximiza la función para obtener los parámetros y sus error- estándar Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: ARCH: (18.1) (18.2) Nota: es un estimador insesgado pero impreciso de , Ding, Granger y Engle (1993) sugieren medir la volatilidad directamente del valor absoluto de las ganancias Dr. Galindo

Estimar más robusto a asimetrías o no-normalidad MODELOS GENERALES: Estimar más robusto a asimetrías o no-normalidad Efecto Taylor: Las ganancias absolutas tienen memoria más largo que las ganancias al cuadrado Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: Inclusión de Dummys: (19.1) (19.2) Dr. Galindo

1. Eliminar “aditive dummys” excluyendo los datos MODELOS GENERALES: Opciones: 1. Eliminar “aditive dummys” excluyendo los datos 2. Incluir multiplicative outliers que producen un impacto en la volatilidad Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: ARCH(q): (20.1) (20.2) Dr. Galindo

Varianza incondicional: (20.4) MODELOS GENERALES: El proceso zt es escalado por ht (la varianza condicional) que es función de los valores pasados del cuadrado de los residuales de las ganancias (20.3) Varianza incondicional: (20.4) Dr. Galindo

Varianza incondicional: (21.2) MODELOS GENERALES: 2. GARCH (21.1) Varianza incondicional: (21.2) Dr. Galindo

El GARCH es estacionario: MODELOS GENERALES: El GARCH es estacionario: Como entonces: (21.3) Dr. Galindo

3. Integrated GARCH : IGARCH Con MODELOS GENERALES: 3. Integrated GARCH : IGARCH Con La varianza incondicional es infinita Dr. Galindo

4. Exponential GARCH : EGARCH (22.1) MODELOS GENERALES: 4. Exponential GARCH : EGARCH (22.1)  ht depende del signo y del tamaño de et Dr. Galindo

5. GJR-GARCH: (Glosten, Jagannathan Runkle, 1993): MODELOS GENERALES: 5. GJR-GARCH: (Glosten, Jagannathan Runkle, 1993): (23.1) Dr. Galindo

6. Threshold GARCH : TGARCH : (24.1) MODELOS GENERALES: 6. Threshold GARCH : TGARCH : (24.1) 7. Quadratic GARCH : QGARCH (25.1) Dr. Galindo

9. GARCH con cambio estructural: (26.1) 10. Components GARCH : CGARCH: MODELOS GENERALES: 8. FIGARCH 9. GARCH con cambio estructural: (26.1) 10. Components GARCH : CGARCH: (27.1) mt = cambios ocasionales de nivel Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: (27.2) Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: (27.3) mt = tendencia variable en el tiempo o el componente permanente en volatilidad Dr. Galindo

11. Regime Switching GARCH : RS-GARCH MODELOS GENERALES: 11. Regime Switching GARCH : RS-GARCH (28.1) Dr. Galindo

12. Asymmetric Dynamic covariance (Abc) (29.1) MODELOS GENERALES: 12. Asymmetric Dynamic covariance (Abc) (29.1) (29.2) (29.3) Dr. Galindo

MODELOS GENERALES: (29.4) 1.VECH: P12= 0 2. BEKK 3. FARCH Dr. Galindo

La varianza condicional es función de: Contante MODELOS APLICADOS: GARCH(1,1): (30.1) La varianza condicional es función de: Contante Noticias sobre la volatilidad del periodo previo La varianza pronosticado del periodo anterior: Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS: 2. GARCH(ρ,q): (30.2) Dr. Galindo

4. Regresores en la ecuación de varianza: MODELOS APLICADOS: 3. GARCH-M: (30.3) 4. Regresores en la ecuación de varianza: (30.4) Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS: Opciones ARCH-M: None Std Dev. Variante Log(var) 2. GARCH-TARCH EGARCH PARCH Component-GARCH Dr. Galindo

4. Bollersler y wooldrige MODELOS APLICADOS: 3. Error distribution 4. Bollersler y wooldrige  Los residuales no son distribuidos condicionalmente como normales 5. Métodos de optimización Dr. Galindo

8. ARCH model procedures: residuales MODELOS APLICADOS: 6. Variante regressors: Incluye una constante Serie positiva 7. Views: pruebas 8. ARCH model procedures: residuales Dr. Galindo

Con γ1>0 malas noticias incrementan la volatilidad MODELOS APLICADOS: 8. TARCH (30.5) Con γ1>0 malas noticias incrementan la volatilidad (leverage effect) Dr. Galindo

El impacto es asimétrica si MODELOS APLICADOS: 9. EGARCH: (30.6) Leverage effect: El impacto es asimétrica si Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS: 10. PARCH: (30.7) Dr. Galindo

Variables transitorias = Impacto en el C.P. en volatilidad MODELOS APLICADOS: 11. CGARCH (30.8) Variables transitorias = Impacto en el C.P. en volatilidad Variables permanentes = Impacto en el nivel del L.P. de la volatilidad Efecto asimétrico TARCH qt = es la volatilidad de L.P. Dr. Galindo

MODELOS ARCH APLICADOS Dr. Luís Miguel Galindo