EII405 Investigación de operaciones Programación Lineal La programación lineal es el área de la IO que se ocupa de problemas en donde el modelo matemático que se formula es expresado en términos de funciones lineales. EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Problema tipo Un gerente de producción debe decidir cuantos bolsos y mochilas fabricar, para obtener la máxima ganancia. Se sabe que por cada mil bolsos producidos se obtiene una ganacia de $ 3 millones, y por cada mil mochilas producidas se obtiene una ganacia de $ 5 millones. Para fabricar mil bolsos se necesita 1 pieza de tela roja y 3 piezas de tela azul, y para fabricar mil mochilas se requieren 2 piezas de tela verde y 2 piezas de tela azul. Además, se sabe que se dispone de 4 piezas de tela roja, 12 piezas de tela verde, y 18 piezas de tela azul. EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Problema tipo Resumiendo, se tiene la siguiente situación: Bolsos Mochilas Cant. Disp. Consumo (1) Tela Roja 1 4 Tela Verde 2 12 Tela Azul 3 2 18 Ganancia (2) 3 5 (1) Consumo en piezas de tela por mil unidades producidas (2) Ganacia en millones de $ por cada mil unidades EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Modelo matemático Tiene 3 componentes principales: 1.- Definir las variables de decisión X : miles de bolsos producidos Y : miles de mochilas producidas 2.- Definir la Función Objetivo del problema Maximizar Ganancia (en MM$): Max Z = 3 x + 5 y EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Modelo matemático 3.- Definir las restricciones que posee el problema que se está modelando En el ejemplo, el consumo de tela necesario para producir los bolsos y mochilas debe ser menor o igual que la cantidad de tela disponible: Tela Roja X  4 Tela Verde 2 Y  12 Tela Azul 3 X + 2 Y  18 4.- Además, las cantidades a producir de bolsos y mochilas deben ser mayores o iguales que cero ( X  0 e Y  0) EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Modelo matemático Resumiendo se tiene el siguiente problema: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 En donde X e Y se han reemplazado por X1 y X2 EII405 Investigación de operaciones

Modelo General de Programación Lineal En terminos generales, se utilizará el siguiente modelo de programación lineal MIN/MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn s.a. a11x1 + a12x2 +... + a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn  b2 a31x1 + a32x2 +... + a3nxn  b3 ... am1x1 + am2x2 +... + amnxn  bm xi  0 con i:1.. n EII405 Investigación de operaciones

Componentes del modelo 1. Funcion objetivo (F.O.): MIN/MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn en donde : xj : variable de decisión cj : contribución de xj a la función objetivo con j = 1 hasta n (cant. de variables de decisión) EII405 Investigación de operaciones

Componentes del modelo 2. Restricciones: a11x1 + a12x2 +... + a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn  b2 a31x1 + a32x2 +... + a3nxn  b3 ... am1x1 + am2x2 +... + amnxn  bm en donde : a ij : consumo del recurso i por la actividad j bi : disponibilidad del recurso i con i = 1 hasta m (cant. de recursos) EII405 Investigación de operaciones

Componentes del modelo 3. Parámetros: Corresponden a los “datos” del problema, cuyos valores son conocidos. Los valores de los parámetros permiten que el modelo represente las condiciones del problema real. Los parámetros son: cj aij bi que ya han sido explicados EII405 Investigación de operaciones

Propiedades de los PPL’s Algunas propiedades básicas que se aumen en la formulación de PPL’s: Linealidad. Divisibilidad. No presencia de incertidumbre. No negatividad. EII405 Investigación de operaciones

Propiedades de los PPL’s Linealidad. La función objetivo y las restricciones son lineales (exponente 1). Además, no hay multiplicación entre variables. Divisibilidad. Las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios. No presencia de incertidumbre. Los parámetros son conocidos con certeza. No negatividad. Las variables de decisión son  0. EII405 Investigación de operaciones

Resolución Gráfica de PPL Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema. EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Método gráfico Graficar la región de soluciones factibles. Obtener los puntos extremos de la región de soluciones factibles. Evaluar dichos puntos en la F.O. El óptimo estará en aquel punto que entregue una solución mayor o menor, según corresponda. EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Ejemplo Dado el problema anterior: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Ejemplo Se dibuja la región de puntos factibles. Para ello se grafican las restricciones. x2 x1 = 4 x2 = 6 6 4 Región Factible 2 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = 18 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Ejemplo Determinada la región factible, se evalúan los puntos factibles en la F.O. y el de mejor valor es el punto óptimo. 6 2 4 x1 x2 (0,6) Región Factible (2,6) (4,3) (4,0) (0,0) Pto. Z (0,0) (0,6) 30 (2,6) 36 (4,3) 27 (4,0) 12 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Ejemplo Otra forma posible, que evita tener que evaluar todos los punto es calculando el gradiente de la F.O y trazando sus curvas de nivel. 6 2 4 x1 x2 3 x1 + 5 x2 = 36 3 x1 + 5 x2 = 20 3 x1 + 5 x2 = 10 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Ejemplo Con la región de puntos factibles dibujada, se trazan las curvas de nivel de la F.O. 6 2 4 x1 x2 3 x1 + 5 x2 = 36 3 x1 + 5 x2 = 20 3 x1 + 5 x2 = 10 Z=(3,5) EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Importante Cada vez que el dominio (o región factible) sea cerrado y acotado, el problema tiene solución. De existir una solución, siempre se encontrará en un vértice. Cuando se está minimizando, las curvas de nivel se desplazan en sentido contrario a la maximización. EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Múltibles soluciones Supongamos el siguiente ejemplo: MAX Z = 6 x1 + 4 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII405 Investigación de operaciones

Múltibles soluciones En este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que son paralelas a una de las restricciones. Es decir, la pendiente de la F.O. es igual a la de una restricción. 6 2 4 x1 x2 3 x1 + 2 x2 = 18 3 x1 + 2 x2 = k Múltiples soluciones óptimas. Z=(6,4) EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Región no acotada Supongamos este otro ejemplo: MAX Z = 5 x1 + 12 x2 s.a. x1  5 2 x1 - x2  2 x1 , x2  0 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Región no acotada En este caso, al trazar las curvas de nivel vemos quepueden crecer infinitamente en la dirección de la gradiente. La región factible (o dominio) no es acotado. x2 Z=(5,12) 6 4 2 x1 1 5 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Región infactible Dado el ejemplo: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  5 x2  4 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 EII405 Investigación de operaciones

EII405 Investigación de operaciones Región infactible Puede ser que la intersección de todas las restricciones de vacía. En este caso no existe región factible y el problema es infactible. x2 4 x1 5 EII405 Investigación de operaciones