A YUDANTÍA 5: A RBOLES Carlos Pulgar R. Mail: Página Ayudantía:

Describir estructuras con algún tipo de jerarquía Organizan información Permiten localizar mas rápidamente la información En informática se utilizan en distintos ámbitos Sistema de archivos: estructura de directorios y subdirectorios con forma de árbol Esquema para el desarrollo de algoritmos A RBOLES

Estructura jerárquica no lineal Relaciones padre-hijo entre nodos Def: Colección de elementos llamados NODOS, uno de los cuales es la raíz, junto con una relación PADRE-HIJO, que coloca a todos los nodos en una estructura JERARQUICA. Un Padre puede tener varios Hijos, pero un Hijo solo puede tener UN Padre. Hay un único camino desde la raíz al nodo A RBOLES (C ONCEPTO )

T ERMINOLOGÍA B ÁSICA Raíz: único NODO sin padre. Nodo interno: tiene al menos un hijo Nodo hoja (externo): no tiene hijos Descendiente directo: hijo Descendientes: hijo, nieto… Subárbol : árbol formado por un nodo y sus descendientes Grado de un nodo: numero de descendientes directos Grado de un árbol: mayor grado de sus nodos Árbol binario: árbol de grado 2. Lista: árbol degenerado de grado 1. Profundidad de un nodo: número de predecesores Altura de un árbol: profundidad máxima de cualquier nodo (numero máximo de los enlaces de las ramas del árbol) Rama: camino desde el nodo raíz a una hoja Nivel: numero de nodos desde la raíz al nodo Bosque: colección de dos o más árboles.

Árbol completo: si todo nodo no terminal tiene asociado exactamente el grado del árbol. Árbol lleno: si esta completo y tiene todas sus hojas en el mismo nivel. Casi lleno: es cuando el árbol esta lleno hasta el penúltimo nivel y las hojas que están en el ultimo nivel se encuentran lo mas a la izquierda posible. A. Isomorfos: cuando dos árboles tienen la misma estructura, pero no necesariamente los mismos elementos. A. Semejantes: son aquellos que poseen los mismos elementos, pero no necesariamente la misma estructura. T ERMINOLOGÍA B ÁSICA

Á RBOL B INARIO Arbol de grado 2. Propiedades n: número de nodos e: número de nodos hoja i: número de nodos internos h: altura del árbol

Recorrido de un árbol: InOrden -> ( I, R, D ) PreOrden -> ( R, I, D ) PostOrden -> ( I, D, R ) Ejercicio: En un árbol general, el recorrido en inorden se puede definir recorriendo el primer hijo en inorden, seguido de la raíz y de los demás hijos en inorden. Indicar los recorridos en preorden, inorden y postorden del siguiente árbol general: Á RBOL B INARIO

A RBOLES DE B ÚSQUEDA B INARIA (ABB) Los valores de la izquierda son menores al padre y los de la derecha mayores Al eliminar sube el mayor de la izquierda, o en algunos casos el menor de la derecha. Ejercicio: Genere un ABB al insertar la secuencia de claves enteras: 100, 29, 71, 82, 48, 39, 101, 22, 46, 17, 3, 20, 25, 10. Altura del árbol? Hojas? Recorrido Postorden?

AVL Si para todo nodo, se tiene una diferencia de a lo más 1 en la altura de los subárboles. Se ocupa el Factor de Equilibrio, para comprobar la definición. Si 1< F.E. < -1 se aplica rotación. Si F.E. < -1rotar derecha. Si F.E. >1 rotar izquierda. Si se elimina un nodo con dos hijos, el valor debería ser substituido por el menor de su hijo derecho.

A RBOLES 2-3 Todas las hojas se encuentran al mismo nivel Balanceado por altura Tienen 2 o 3 descendientes Al agregar se ordenan los 3 datos y sube el del medio. En la eliminación, los nodos que quedan vacios se fusionan con uno de sus hermanos para formar uno solo.

A RBOLES B Cada nodo puede tener mas de dos ramas. División del árbol en subarboles, llamados páginas. Un árbol B de orden “d” contiene a lo más “2d” claves y “2d+1” punteros. Camino mas largo: log d (n) nodos, donde d es el orden del árbol. Borrar: Caso 1: la clave está en una página hoja Desplazar a la izquierda el resto de las claves Caso 2: la clave no está en una página interior Lo mismo que el ABB (fusión : izq primero, luego drch) Ejercicio: Insertar en un Árbol B los siguientes elementos: 23, 45, 100, 5, 87.

Á RBOL B* ( DE ORDEN M) Cada página tiene un máximo de M descendientes. Todas las páginas, menos la raíz y las hojas, tienen al menos (2M-1)/3 descendientes. Asegura ocupación >=66,6%

Á RBOL B+ Formados por: Índice: nodos interiores Secuencia: página Hoja enlazadas secuencialmente en las que se repiten las claves interiores. Cuando una hoja se divide en 2, sube una copia del valor medio y el real queda en la hoja derecha Orden : n Altura : h N° máximo de claves = n^h N° mínimo de claves = 2(n/2)^(h-1)