RELACION Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Relación de pertenencia Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ( ). -5 Z ( se lee: -5 pertenece a Z ) su negación es 5/2 Z ( se lee: 5/2 no pertenece a Z)

Nota: Cabe aclarar que la relación entre elementos y conjuntos es de pertenencia, y la relación que se puede dar entre conjuntos es de inclusión.

Conjuntos iguales El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si, cada elemento de A pertenece a B y viceversa. A = B ↔ A B y B A Ejemplo: G = {x N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9} H = {x Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9} entonces G = H

Relaciones Entre Conjuntos IGUALDAD DE CONJUNTOS Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B A= { x, y } B= { y, x } Esto es: A=B, entonces x є A, implica que x є B y Que y є B, implica que y є A. Relaciones Entre Conjuntos

Relaciones Entre Conjuntos IGUALDAD DE CONJUNTOS Ejemplo de Igualdad de Conjuntos…………… Si M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 } Esto significa que M=L Relaciones Entre Conjuntos

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTO Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces A se llama Subconjunto de B También decimos que A, esta contenido en B SU SIMBOLO ES: Relaciones Entre Conjuntos

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTO Ejemplo: Considere los siguientes conjuntos: A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 } Podemos decir que: Relaciones Entre Conjuntos C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A o se que no todos lo elementos de B son elementos de A

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTO Ejemplo: Considere los siguientes conjuntos: B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma} Relaciones Entre Conjuntos Podemos decir que: H B H es un subconjunto de B

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTO Ejemplo: Considere el siguiente conjunto: A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2} Relaciones Entre Conjuntos Podemos decir que………… A B A = B B A B = A

DIAGRAMA DE VENN (Euler) Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8} U A B C D Relaciones Entre Conjuntos A U B U C U D U B A D C

   CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS  B A 7 9 4  6 5 3 2 1 8 

CONJUNTOS INTERSECANTES A y B son conjuntos intersecantes Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común. U A B Relaciones Entre Conjuntos A y B son conjuntos intersecantes

OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión Intersección Diferencia Diferencia Simétrica Complemento Operaciones con Conjuntos

Operaciones con Conjuntos UNION DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos A U B ={ x/ (xЄ A) V (x Є B)} Operaciones con Conjuntos U A B En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B

Operaciones con Conjuntos UNION DE CONJUNTOS Ejemplo Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f } Entonces: A U B ={ a, b, c, d, e, f} Operaciones con Conjuntos U A B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U U B A B A AUB AUB U A B Si A y B son conjuntos disjuntos

INTERSECCION DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A intersección B. Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos Operaciones con Conjuntos A ∩ B ={ X / (XЄ A) Λ (x Є B) } U A B En este diagrama de Venn la región sombreada corresponde al conjunto A ∩B

INTERSECCION DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f } A ∩ B = { c, d } Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B Operaciones con Conjuntos A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y B A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman DISYUNTOS

INTERSECCION DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Si A={ a, b, c, d } B= { c, d } Si A={ a, b, c, d } B= { m, p, q } A ∩ B = { c, d } A ∩ B = Ø U A B Operaciones con Conjuntos U A B A ∩ B =B porque B A A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U U B A B A AB AB= B U A B Si A y B son conjuntos disjuntos AB=Φ

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B Simbólicamente: Operaciones con Conjuntos A - B ={ X/X Є A Λ x Є B } U A B U A B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B } U A B U A B Operaciones con Conjuntos U A B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U U B A B A A - B A - B U A B Si A y B son conjuntos disjuntos A - B=A INDICE

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Ejemplo 1: Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b } Operaciones con Conjuntos Ejemplo 2: Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6} Ejemplo 3: Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A A΄={ X/X Є A U Λ x A } Simbólicamente: Operaciones con Conjuntos A΄= U – A Ejemplo: U A Sea U = N (el conjunto de los números naturales) A = { X/X es un numero natural par} A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A

Relaciones Entre Conjuntos SIMBOLOGIA = U IGUAL UNION є ∩ ELEMENTO PERTENECE INTERSECCION є ___ ELEMENTO NO PERTENECE DIFERENCIA Relaciones Entre Conjuntos ES SUBCONJUNTO DIFERENCIA SIMETRICA NO ES SUBCONJUNTO COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO ’ CONJUNTOS NUMERICOS { } o Ø CONJUNTO VACIO N NATURALES U Z CONJUNTO UNIVERSAL ENTEROS Q RACIONALES P{A } CONJUNTO DE PARTES Q ΄ IRRACIONALES r REALES C COMPLEJOS

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos Operaciones con Conjuntos Simbólicamente: A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos Simbólicamente: Operaciones con Conjuntos A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B} A diferencia simétrica de B es igual a x Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece a A intersección B

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos A - B ={ X/X Є A Λ x Є B } Simbólicamente: En el siguiente grafico se muestra A B U A B Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los conjuntos A-B y B-A Operaciones con Conjuntos Por eso también A B={ A – B } U { B- A } A B={ A U B } - { B ∩A } A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4

1 Dados los conjuntos: A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 15 } B = { 2 , 4 , 6 , ... , 14 } C = { -3 , -2 , -1 , 0 , ... , 12 } a) Expresar B y C por comprensión b) Calcular: n(B) + n(A) c) Hallar: A U B , C – A

Solución Expresamos B y C por comprensión A = {x/x N, x es impar, x<16 } B = {x/x N, x es par y x <15 } Hallamos : n (A) = 8 n (B) = 7 Por lo tanto : n (A) + n (B) = 15 c) Hallamos la unión de A y B A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } C – A = { - 3, - 2, - 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

2 Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 } Determinar si es verdadero o falso: a) Φ G b) {3} G c) {{7};10} G d) {{3};1} G e) {1;5;11} G

Observa que los elementos de A son: 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 Entonces: FALSO VERDADERO VERDADERO FALSO

Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C. 3 A B C

A B B A [(A B) – C] A C C B B [(B C)–A] A C [(A C) – B] C

4 Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230 ¿cuántos ven los tres canales?

Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 El universo es: 420 Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240 No ven el canal C: 150 Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 B (I) a + e + d + x =180 A (II) b + e + f + x = 240 e a b (III) d + c + f + x = 270 x Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces: (IV) d + e + f + x = 230 d f c C

     Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420 230 entonces : a+b+c =190 Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) a + e + d + x =180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690     190 230 190 + 460 + x = 690 x = 40 Esto significa que 40 personas ven los tres canales

N Z Conjuntos Numéricos N Z CONJUNTOS NUMERICOS = {1, 2, 3, 4, ….} Números Naturales Es la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar. N = {1, 2, 3, 4, ….} Conjuntos Numéricos Z Números Enteros Los números enteros abarca los números negativos incluyendo en cero y los números positivos. Y se representa Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

Q Q’ Conjuntos Numéricos Q Q’ CONJUNTOS NUMERICOS p Números Racionales Es el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo. p q Q = { ,q Є Z Λ q ≠ 0} Conjuntos Numéricos Q’ Números Irracionales Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros Q’ Entre los mas conocidos esta el π

R c i2=-1 Conjuntos Numéricos R = Q U Q’ CONJUNTOS NUMERICOS Números Reales Es el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales R = Q U Q’ Conjuntos Numéricos c Números Complejos Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....} Números Irracionales ( I ) I={...; ;....} Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....} Números Complejos ( C ) C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}

C R Q I Z N