FÍSICA DE SEMICONDUCTORES FUNCIONES ESTADÍSTICAS DE DISTRIBUCIÓN Julián David Valbuena Godoy 17 de Junio 2015

Comportamiento y naturaleza de las partículas Las propiedades de sistemas de muchas partículas se describen usando herramientas estadísticas El comportamiento de los sistemas de partículas depende de su naturaleza

Función de Distribución estadística de Maxwell-Boltzmann la estadística de Maxwell-Boltzmann es una función estadística desarrollada para modelar el comportamiento de sistemas físicos regidos por la mecánica clásica. Esta función estadística clásica, formulada originalmente por los físicos J.C. Maxwell y L. Boltzmann, rige la distribución de un conjunto de partículas en función de los posibles valores de energía de los estados que éstas pueden ocupar. Para cada sistema termodinámico, la distribución de Maxwell- Boltzmann no es otra cosa que la aplicación del colectivo canónico de la mecánica estadística, bajo el supuesto no-cuántico de que los números de ocupación de cada estado disponible son pequeños comparados con el número máximo de ocupación.

Función de Distribución estadística de Maxwell-Boltzmann (2) Para un sistema de partículas cuánticas, la hipótesis de que Ni sea substancialmente menor que Gi para los estados diferentes del fundamental en general no se cumplirá y es necesario acudir a la estadística de Bose-Einstein si las partículas son bosónicas o a la estadística de Fermi-Dirac si las partículas son fermiónicas. Las estadísticas de Fermi–Dirac y Bose–Einstein pueden ser expresadas como: Asumiendo que el valor mínimo de Ei es bastante pequeño, se puede verificar que la condición en la cual la distribución de Maxwell-Boltzmann es válida es cuando se cumple que:

Función de Distribución estadística de Bose-Einstein La estadística de Bose-Einstein es un tipo de mecánica estadística aplicable a la determinación de las propiedades estadísticas de conjuntos grandes de partículas indistinguibles capaces de coexistir en el mismo estado cuántico (bosones) en equilibrio térmico. A bajas temperaturas los bosones tienden a tener un comportamiento cuántico similar que puede llegar a ser idéntico a temperaturas cercanas al cero absoluto en un estado de la materia conocido como condensado de Bose-Einstein y producido por primera vez en laboratorio en el año 1995. El condensador Bose- Einstein funciona a temperaturas cercanas al cero absoluto, -273,16 °C(0 Kelvin). La estadística de Bose- Einstein fue introducida para estudiar las propiedades estadísticas de los fotones en 1920 por el físico indio Satyendra Nath Bose y generalizada para átomos y otros bosones por Albert Einstein en 1924.

Función de Distribución estadística de Bose-Einstein (2) La distribución de energía de la radiación del cuerpo negro se deduce de la aplicación de la estadística de Bose-Einstein a los fotones que componen la radiación electromagnética. La capacidad calorifica de los sólidos tanto a altas como a bajas temperaturas puede ser deducida a partir de la estadística de Bose-Einstein aplicada a los fotones, cuasipartículas que dan cuenta de las excitaciones de la red cristalina. En particular la ley de Dulong-Petit puede ser deducida de la estadística de Bose-Einstein.

Función de Distribución estadística de Fermi-Dirac La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones. Forma parte de la Mecánica Estadística. Y tiene aplicaciones sobre todo en la Física del estado sólido. La energía de un sistema mecanocuántico está discretizada. Esto quiere decir que las partículas no pueden tener cualquier energía, sino que ha de ser elegida de entre un conjunto de valores discretos. Para muchas aplicaciones de la física es importante saber cuántas partículas están a un nivel dado de energía. La distribución de Fermi-Dirac nos dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico.

Función de Distribución estadística de Fermi-Dirac (2) Para bajas temperaturas, la distribución de fermi es una función escalón que vale 1 si y 0 si . Esto quiere decir que las partículas van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba debido al Principio de exclusión de Pauli hasta que se hayan puesto todas las partículas. La energía del último nivel ocupado se denomina energía de Fermi y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante temperatura de Fermi. Se da la circunstancia de que la temperatura de Fermi de la mayoría de metales reales es enorme (del orden de 10000 Kelvin), por tanto la aproximación de decir que la distribución de Fermi-Dirac sigue siendo un escalón hasta temperatura ambiente es válida con bastante precisión. La distribución de Fermi-Dirac tiene importancia capital en el estudio de gases de fermiones y en particular en el estudio de los electrones libres en un metal.