FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER UN Nombre: Camilo Andrés Vargas Jiménez -G23E32Camilo- Fecha: 13/06/2015
Ecuación de Schrodinger - caso: Electrón Libre -Solución a un electrón libre Aproximación a la función exponencial compleja
Pozo cuadrado infinito (Problema de la partícula en una caja) V(x)=0 si 0<x<L V(x)= si x L
Como la energía potencial es infinita fuera del pozo, =0 allí y la partícula debe estar dentro del pozo. Como (x) debe ser continua, (x)debe ser nula en x=0 y x=L.
De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: O sea: donde: k: número de onda Esta ecuación tiene soluciones de la forma: y A y B son constantes Condición límite: (x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos 0=1 Condición límite: (x)=0 para x=L → (L)=A senkL=0 → kL= n n=1,2,3,…
Sustituyendo en la ecuación del número de onda: Clásicamente: una partícula puede tener cualquier valor de energía. Mecánica Cuántica: Sólo algunos valores de E n conducen a soluciones con buen comportamiento de la ecuación de Schrödinger. Diagrama de niveles energéticos
Para encontrar A usamos la condición de normalización: Integrando obtenemos que: Por lo tanto: n=1,2,3,… número cuántico Funciones de onda para un pozo infinito
Pozo cuadrado finito E>V 0 Estudiaremos luego la solución. Consideraremos ahora E<V 0
E<V 0 Dentro del pozo: V(x) =0 Fuera del pozo: V(x) =V 0 Condición: (x) y ´(x) deben ser continuas en los límites del pozo.
Las longitudes de onda dentro del pozo son ligeramente mayores que las correspondientes longitudes de onda del pozo infinito, de modo que las energías son ligeramente menores. Existe sólo un número finito de energías permitidas (dependiendo del valor de V 0 ). Si V 0 es pequeño existe sólo un nivel de energía permitido, es decir, sólo puede existir un estado ligado.
Física Clásica: la partícula no puede hallarse fuera de la caja. Física Cuántica: Existe cierta probabilidad de hallar la partícula fuera de la caja (x L) En estas regiones E<V 0