Ecuaciones Diferenciales Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez Dr. Miguel Ángel Abreu Quijano Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo Diferencial Resumen En este material se presentan conceptos y ejemplos de temas como: Límites y Razones de Cambio. Siendo estos indispensables en la materia de cálculo diferencial e integral. Abstract This material presents concepts and examples about topics as limits and rates of change. These are necessary in differential and integral calculus. Keywords: Limits, calculus, rates of change.

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (1) Partiendo de la ED lineal de segundo orden de la forma: 𝒂 𝟐 𝒙 𝒚 ′′ + 𝒂 𝟏 𝒙 𝒚 ′ + 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚=𝟎 Si solo se tiene una solución ( 𝒚 𝟏 ), podemos encontrar una segunda solución ( 𝒚 𝟐 ).

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (2) Considerando: 𝒚 𝟏 y 𝒚 𝟐 sean linealmente independientes en un intervalo. Si 𝒚 𝟏 y 𝒚 𝟐 son linealmente independientes, su relación 𝒚 𝟐 / 𝒚 𝟏 no es constante en el intervalo. 𝒚 𝟐 / 𝒚 𝟏 =𝒖(𝒙) 𝒚 𝟐 =𝒖 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙

ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN (3) Entonces… Determinar 𝒖 𝒙 a través de la sustitución: 𝒚 𝟐 =𝒖 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 en la E.D. Reducción de Orden Resolver una ED Lineal de Primer Orden para hallar 𝒖.

Ejemplo (1) Función: 𝒚 𝟏 = 𝒆 𝒙 E.D.: 𝒚 ′′ −𝒚=𝟎 Intervalo: (- ∞, ∞) Si 𝒚=𝒖 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 =𝒖 𝒙 𝒆 𝒙 𝒚 ′ =𝒖 𝒆 𝒙 + 𝒆 𝒙 𝒖′ 𝒚 ′′ =𝒖 𝒆 𝒙 + 𝟐𝒆 𝒙 𝒖 ′ + 𝒆 𝒙 𝒖′′

Ejemplo (2) Así: 𝒚 ′′ −𝒚=𝒖 𝒆 𝒙 + 𝟐𝒆 𝒙 𝒖 ′ + 𝒆 𝒙 𝒖 ′′ − 𝒖 𝒆 𝒙 =𝟎 𝒚 ′′ −𝒚=𝒖 𝒆 𝒙 + 𝟐𝒆 𝒙 𝒖 ′ + 𝒆 𝒙 𝒖 ′′ − 𝒖 𝒆 𝒙 =𝟎 𝒚 ′′ −𝒚= 𝒆 𝒙 𝒖 ′′ +𝟐 𝐮 ′ =𝟎 Como 𝒆 𝒙 ≠ 0, es necesario que 𝒖 ′′ +𝟐 𝐮 ′ =𝟎

Ecuación Lineal de Primer Orden Ejemplo (3) Sustituyendo: 𝒘=𝐮′ En: 𝒖 ′′ +𝟐 𝐮 ′ =𝟎 Se obtiene: 𝒘′+𝟐𝐰=𝟎 Ecuación Lineal de Primer Orden

Ejemplo (4) Teniendo: 𝒘′+𝟐𝐰=𝟎 Obtenemos: 𝒅 𝒅𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒘 =𝟎 Integrando: 𝒅 𝒅𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒘 =𝟎 Integrando: 𝐰= 𝑪 𝟏 𝒆 −𝟐𝒙 Por lo tanto: 𝐮′= 𝑪 𝟏 𝒆 −𝟐𝒙

Ejemplo (5) Integrando u’: 𝐮=− 𝑪 𝟏 𝟐 𝒆 −𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 Por lo tanto: 𝐮=− 𝑪 𝟏 𝟐 𝒆 −𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 Por lo tanto: 𝐲=𝒖 𝒙 𝒆 𝒙 =− 𝑪 𝟏 𝟐 𝒆 −𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆 𝒙 Eligiendo: 𝑪 𝟐 =𝟎 𝑦 𝑪 𝟏 =−𝟐 Obtenemos entonces la segunda solución: 𝒚 𝟐 = 𝒆 −𝒙

Ejemplo (6) Dado que, para toda x: 𝑾( 𝒆 𝒙 , 𝒆 −𝒙 )≠𝟎 𝑾( 𝒆 𝒙 , 𝒆 −𝒙 )≠𝟎 Las soluciones son linealmente independientes en (-∞, ∞).

Ejemplo (7) Resumiendo… Se ha demostrado que 𝒚 𝟏 = 𝒆 𝒙 y 𝒚 𝟐 = 𝒆 −𝒙 son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la ecuación 𝐲=𝒖 𝒙 𝒆 𝒙 =− 𝑪 𝟏 𝟐 𝒆 −𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆 𝒙 es la solución general de 𝒚 ′′ −𝒚=𝟎 en (-∞, ∞).

2ª Solución a través de la Fórmula (1) Partiendo de: 𝒂 𝟐 𝒙 𝒚 ′′ + 𝒂 𝟏 𝒙 𝒚 ′ + 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚=𝟎 Dividiendo entre 𝒂 𝟐 𝒙 , se obtiene: 𝐲 ′′ +𝑷 𝒙 𝒚 ′ +𝑸 𝒙 𝒚=𝟎 𝑷 𝒙 𝑦 𝑸 𝒙 son continuas en un intervalo.

2ª Solución a través de la Fórmula (2) Suponiendo que 𝒚 𝟏 𝒙 es la solución conocida y que 𝒚 𝟏 𝒙 ≠ 0 para toda 𝒙 en el intervalo. Si se define 𝒚=𝒖(𝒙) 𝒚 𝟏 (𝒙) entonces: 𝒚 ′ =𝒖𝒚+ 𝒚 𝟏 𝒖 ′ 𝒚 ′′ =𝒖𝒚+ 𝟐𝒚′ 𝟏 𝒖 ′ + 𝒚 𝟏 𝒖 ′′ 𝒚 ′′ +𝑷 𝒚 ′ +𝑸𝒚=𝒖 𝒚 ′′ 𝟏 +𝑷 𝒚 ′ 𝟏 +𝑸 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟏 𝒖 ′′ + 𝟐 𝒚 ′ 𝟏 +𝑷 𝒚 𝟏 𝒖′=𝟎 cero

2ª Solución a través de la Fórmula (3) Entonces se debe cumplir: 𝒚 𝟏 𝒖 ′′ + 𝟐 𝒚 ′ 𝟏 +𝑷 𝒚 𝟏 𝒖 ′ =𝟎 Si 𝒘=𝒖′ : 𝒚 𝟏 𝒘 ′ + 𝟐 𝒚 ′ 𝟏 +𝑷 𝒚 𝟏 𝒘=𝟎 Separando variables: 𝒅𝒘 𝒘 +𝟐 𝒚 ′ 𝟏 𝒚 𝟏 𝒅𝒙+𝑷𝒅𝒙=𝟎

2ª Solución a través de la Fórmula (4) Integrando: 𝑰𝒏 𝒘 𝒚 𝟏 𝟐 =− 𝑷𝒅𝒙+𝑪 O sea: 𝒘 𝒚 𝟏 𝟐= 𝑪 𝟏 𝒆 − 𝑷𝒅𝒙 Despejando w y haciendo w=u’ 𝒖= 𝑪 𝟏 (𝒆 − 𝑷𝒅𝒙 / 𝒚 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙+𝑪

2ª Solución a través de la Fórmula (5) Si se elige 𝐶 1 =1 𝑦 𝐶 2 =0 Entonces 𝑦=𝑢(𝑥) 𝑦 1 (𝑥) y una segunda solución es: 𝒚 𝟐 = 𝒚 𝟏 (𝒙) 𝒆 − 𝑷𝒅𝒙 𝒚 𝟏 𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙

Ejemplo1 (1) La función 𝑦 1 = 𝑥 2 es una solución de 𝑥 2 𝑦 ′′ −3𝑥 𝑦 ′ +4𝑦=0. Determine la solución general en el intervalo (0, ∞). 1.- Llevando la ecuación a la forma reducida queda: 𝐲 ′′ − 𝟑 𝐱 𝐲 ′ + 𝟒 𝒙 𝟐 𝐲=𝟎

Ejemplo1 (2) De acuerdo a: 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒆 − 𝑷𝒅𝒙 𝒚 𝟏 𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙 Tenemos: 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒆 − 𝑷𝒅𝒙 𝒚 𝟏 𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙 Tenemos: 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒆 𝟑 𝒅𝒙/𝒙 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝒆 𝟑 𝒅𝒙/𝒙 = 𝒆 𝑰𝒏 𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟑

Ejemplo1 (3) 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝑰𝒏 𝒙 𝒚= 𝑪 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝒙 𝟐 𝑰𝒏 𝒙

Ejemplo2 (1) 𝑦 1 =( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ) es una solución de: 𝑥 2 𝑦 ′′ +𝑥 𝑦 ′ +( 𝑥 2 − 1 4 )𝑦=0 Determine la solución general en el intervalo (0, 𝜋). 1.- Llevando la ecuación a la forma reducida queda: 𝐲 ′′ + 𝟏 𝐱 𝐲 ′ +(𝟏− 𝟏 𝟒 𝒙 𝟐 )𝐲=𝟎

Ejemplo2 (2) De acuerdo a: 𝒚 𝟐 =( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 ) 𝒆 − 𝒅𝒙/𝒙 ( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 ) 2 𝒅𝒙 𝒚 𝟐 =( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 ) 𝒆 − 𝒅𝒙/𝒙 ( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 ) 2 𝒅𝒙 𝒆 − 𝒅𝒙/𝒙 = 𝒆 𝑰𝒏 𝒙 −1 = 𝒙 −1

Ejemplo2 (3) 𝒚 𝟐 =( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 ) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 𝟐 =( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 )(− 𝐜𝐨𝐭 𝒙 )

Ejemplo2 (4) 𝒚 𝟐 =−( 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒙 ) 𝒚 𝟐 =( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙 )

Bibliografía Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda edición. Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Octava edición Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit. Thomson. Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera, Editorial Limusa,, 4ª edición.