Un poco de lo que vimos hasta ahora

LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de la física clásica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de fuerzas. La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas. Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo.

Primera ley a partir de la Ecuación de Newton Una ecuación diferencial. El significado de este “igual” es que las dos funciones coinciden. Los operadores que actúan sobre las incógnitas no son solo aritméticos sino que incluyen derivadas e integrales. La ecuación es vectorial.

Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con fuerzas extensas Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)

El experimento de Galileo Dejar caer objetos de distinta masa desde una altura y ver si caen con la misma velocidad. Problema: el experimento no funciona.

Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y espacio. Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como? h=(H-x) Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

Trabajo y Cinética: Una diapositiva repleta de ecuaciones Asumamos por Simpleza que: Entonces: o O aun reordenando términos: Diferencial de Trabajo (por definición) y aquí se adivina la relevancia de esta cantidad. Diferencial de Energía Cinetica

LOCAL Y GLOBA: DE VUELTA A LA DISTANCIA ENTRE FUNCIONES (x1,v1) (x2,v2) Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocer su velocidad. Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.

La “logica” del movimiento en 1 dimension en el espacio de las fuerzas. ¿Como es el movimiento si (a y b > 0), si (a < 0 y b > 0), si (a > 0 y b < 0) si (a < 0 y b < 0)?

SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de movimiento. b b=0

Formas canónicas de movimiento: Una representación correcta y adecuada (entendiendo todo en un “golpe de ojo”) a b b=0

La “logica” del movimiento en 1 dimension en el espacio de las fuerzas. Energía mayor que la barrera Energía menor que la barrera ¿Que soluciones existen en este rango?

La “logica” del movimiento en 1 dimension en el espacio de las fuerzas. E=U(x)+T > U(x) U(x) La energía es mayor o igual que el valor de U en xo. Esto se debe al hecho de que T nunca es negativa ¿Que soluciones existen en este rango?

UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que: Tener un máximo. (Equlibrio inestable) Tener un mínimo (Equlibrio estable) Ser constante. (Punto indiferente) Crecer o decrecer (Punto de aceleración) Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales. A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por: 1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica. 2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.

Un acercamiento a la mecánica por componentes fundamentales.

Tres ingredientes de la mecánica tres: LA MASA La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar la cantidad de movimiento es proporcional a la masa. La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un factor de escala de la energía potencial.

Tres ingredientes de la mecánica tres: EL AMORTIGUADOR El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado. La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio, correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.

Tres ingredientes de la mecánica tres: EL RESORTE El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición. Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de energía potencial”.

Tres ingredientes de la mecánica tres: LA MASA La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. También es el factor de escala de la fuerza de gravedad. El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado. El resorte: Un objeto que ejerce una fuerza proporcional a la posicion. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio. Su estiramiento resulta en una “acumulacion de fuerza” o “carga de energia potencial”.

Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: LA MASA Un problema conocido, con alguna sutileza. Notar que la aceleración no es independiente de la masa Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que crece la masa.

Dinámica de los tres ingredientes en una F constante: AMORTIGUADOR El amortiguador esta postulado por ahora como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuando A esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en permanencia (inyectando energia) para mantener esta velocidad constante.

Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: EL RESORTE El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo cual sucede para la posición: Notar que este es un punto de equilibrio “estatico” y por lo tanto la fuerza no inyecta energia al sistema. El resorte no disipa. La energia entregada por la fuerza externa durante el desplazamiento es acumulada en forma de energía potencial (mecánica) y será nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca.

Tres ingredientes de la mecánica tres: “La Fuerza” ejercida sobre cada uno.

Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)

Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante) Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.

Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante) Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin resistencia (masa) y satura a una velocidad critica. Abruptamente cambia la posición, lo cual implica que la velocidad aumenta repentinamente a infinito. Esto sucede porque no hay masa que resista la fuerza ni viscosidad que acote el crecimiento de la velocidad que, en este instante, vale infinito.

Tres ingredientes de la mecánica tres: VELOCIDAD en fuerza constante. Área = F/k t La velocidad comienza a crecer abruptamente (continua, pero con derivada discontinua, dada por la aceleración) En general, en presencia de masa, la posición es continua y derivable y la velocidad continua (pero no necesariamente derivable) En ausencia de masa la velocidad crece hasta llegar al punto en que la fuerza de resistencia compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una posición de equilibrio. La velocidad es infinita durante un instante infinitamente corto, hasta que la posición es tal que la fuerza elástica compensa la fuerza ejercida. La integral de la velocidad es la posición y por lo tanto el área bajo esta curva es igual a x de equilibrio.

Esta derivada queda libre de imagen Tres ingredientes de la mecánica tres: ACELERACION en fuerza constante. a t La aceleración es proporcional a la fuera, según la ley de Newton (siempre y cuando haya masa). La aparición súbita de la fuerza genera una discontinuidad en la aceleración. La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta llegar al valor de equilibrio. El área bajo la curva de aceleración corresponde al cambio de velocidad. Esta derivada queda libre de imagen

Combinando ingredientes fundamentales, hacia una variedad de mundos posibles. Un objeto mecánico resultara de una combinación de uno o varios de estos elementos fundamentales. Los resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la masa a la inercia.

¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades, viscosidades y la física en un mundo microscópico? Howard Berg, uno de los padres de la biofísica moderna. ¿Cómo y porque se mueven las bacterias? Steven Chu, un prócer experimental (Premio Nobel 1997) Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de Chu. La herramienta basica: Optical Tweezers. Un pozo de potencial altamente focalizado

Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando con E Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando con E.Coli cual el gato con el ratón. Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)

Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o de una placa. ¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = La combinación de una masa y un amortiguador modela el movimiento de un objeto rígido (que no se deforma) en un medio viscoso. Los tiempos característicos de este movimiento quedan determinados por la relación entre la masa y la viscosidad.

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = F La ecuación diferencial de Newton

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = F Una solución general

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = F La constante es necesaria para resolver el termino de la fuerza constante. Es la “única” función igual a un mulitplo de su derivada salvo una constante multiplicativa

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = F

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) : La solución Formal La velocidad vale cero al principio y en un tiempo critico que es proporcional a la masa e inversamente proporcional a la viscosidad alcanza un régimen de velocidad casi constante.

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) γ=1 Velocidad Posicion

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) γ=1 Velocidad Posicion

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) γ=1 Velocidad Posicion Régimen viscoso Tiempo critico aumenta con masa Salto abrupto de velocidad para masa pequeña Regimen Inercial

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) γ=[0.25:0.25:5] Velocidad Posicion