Tema 5: Contrastes de Hipótesis no-paramétricos

PRELIMINARES: Test de hipótesis Paramétricos: hipótesis sobre los parámetros que definen la pobla- ción (por ej., pobl. Normales, y tests sobre la media o la desv. típica). No paramétricos: no se refieren a parámetros de la población; se aplican típicamente cuando no conocemos la distribución de la población, o cuando su distribución es no normal. Primer cuatrimestre

¿Diferencias/Semejanzas? PRELIMINARES: Media versus Mediana ¿Diferencias/Semejanzas?

Ambas sirven para estimar el valor o tamaño medio de una variable, PRELIMINARES: Media versus Mediana Ambas sirven para estimar el valor o tamaño medio de una variable, que debe entenderse como el “valor esperable” o “normal”. Si la distribución es normal, media y mediana coinciden. Si hay discrepancia entre ambas, es preferible la mediana. La razón es que la mediana es robusta, es decir, poco sensible a datos atípicos. La media, en cambio, es muy sensible. En particular, en ausencia de normalidad son relevantes los contrastes no sobre la media, sino sobre la mediana

Ejemplo: La biblioteca de un museo recibe en un día 9 peticiones de distintas instituciones para consultar volúmenes de la biblioteca; cada uno de los peticionarios solicita consultar el siguiente número de volúmenes: 6, 3, 10, 3, 3, 120, 3, 11, 2 Media: 17’89 Mediana: 3

PRELIMINARES: Simetría Media Media Normalidad implica simetría; sin embargo, simetría no implica necesariamente normalidad. Se mide con el coeficiente de asimetría (debe estar entre -2 y 2). Si hay simetría, media y mediana coinciden.

(IMPORTANTE: los tests no-param. Son intrínsecamente robustos, 1. Tests sobre la mediana. Ho: M = Mo H1: M ≠ Mo; M>Mo; M<Mo t-test (t de Student): requiere normalidad (B) Test de los signos: requiere var. continua. (C) Test de los rangos signados o test de Wilcoxon: requiere simetría. (IMPORTANTE: los tests no-param. Son intrínsecamente robustos, i.e. funcionan relativamente bien incluso si no se cumplen sus requisitos) Pizarra + Statgraphics

2. Tests de bondad de ajuste. Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución Test chi-cuadrado: general (todas las variables, todas las distribuciones. (B) Test de Kolmogorov-Smirnov : requiere var. continua. (C) Tests de normalidad: sólo para contrastar normalidad

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (A) Test Chi-cuadrado: Por ejemplo, Ho: X=N(10,2.85) 1.- Tomamos muestra de tamaño n (por ej., n=32) 2.- Establecemos regiones en el intervalo donde puede tomar valores la variable: 7’15 10 12’85 1 2 3 4

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (A) Test Chi-cuadrado: Por ejemplo, Ho: X=N(10,2.85) 3.- Establecemos los valores esperados: (n=32) E1: 16% de 32 = 5 (aprox.) E2: 34% de 32 = 11 (aprox.) 0,34 34% 0,16 16% 7’15 10 12’85 1 2 3 4

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (A) Test Chi-cuadrado: Por ejemplo, Ho: X=N(10,2.85) 4.- Contabilizamos los valores observados, en la muestra, en cada intervalo: E1: 5; E2: 11; E3: 11; E4: 5 O1: 4; O2: 9; O3: 13; O4: 6 7’15 10 12’85 1 2 3 4

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (A) Test Chi-cuadrado: Por ejemplo, Ho: X=N(10,2.85) 5.- La idea es RECHAZAR la hipótesis, si los valores observados difieren demasiado de los observados. Concretamente, se utiliza el estadístico: Requisitos: n suficientemente grande; Ei mayores o iguales de 5

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (B) Test de Kolmogorov-Smirnov: El test anterior, en realidad, compara las frecuencias “obtenidas”, con las esperadas; es decir, compara el polígono de frecuencias (muestra), con la curva correspondiente a la distribución que conjeturamos: % población muestra

Ho: X sigue cierta distribución H1: X no sigue cierta distribución (B) Test de Kolmogorov-Smirnov: El test de Kolmogorov-Smirnov, que requiere variable continua, compara el polígono de frecuencias acumuladas, con la función de distribución. % población muestra

Ho: X es normal H1: X no es normal (C) Test de normalidad: Sólo sirven para contrastar la normalidad, y no otro tipo de distribuciones.

3. Tests de comparación de poblaciones. (A) Comparación de medianas: (I) Datos no pareados: Si las poblaciones que queremos comparar son normales, podemos comparamos las medias (mediante el t-test, o test de la t de Student) Ho: µ1 = µ2 H1: µ1 ≠ µ2; µ1 > µ2; µ1< µ2 Si alguna de las poblaciones es no normal, entonces comparamos medianas: Ho: M1 = M2 H1: M1 ≠ M2; M1 >M2; M1<M2 Para comparar medianas, se utiliza el test de Mann-Whitney

Test de Mann-Whitney : La idea es similar a la del test de los rangos signados: 1. tomamos muestras en ambas poblaciones (x1…xn, y1… ym) 2. mezclamos los datos, y los ordenamos: x6<y4<x1<x5<y1< … 3. Asignamos rangos (1 a x6, 2 a y4, etc.) 4. Si la mediana es similar, la media de los rangos de las x’s y de las y’s será parecida; rechazamos si esas medias son muy diferentes.

(II) Datos pareados: trabajamos con la diferencia (D) de las variables. Si D es normal comprobamos si la media de D es 0, o no. Ho: µD = 0 H1: µD ≠ 0; µD > 0; µD< 0 Si D no es normal, entonces comprobamos si la mediana de D es 0, o no, utilizando el test de los signos y, si D es simétrica, el de los rangos signados. Ho: MD = 0 H1: MD ≠ 0; MD >0; MD<0 IMPORTANTE: como la media (resp. la mediana) de D es igual a la diferencia de las medias (resp. de las medianas), aceptar la hipótesis nula equivale a aceptar que ambas medias (resp. medianas ) son iguales.

¿Mis datos son pareados? NO SI ¿La diferencia D es normal? ¿Las variables son normales? SI NO SI NO H0: µD=0 (t-test) H0: MD=0 (test signos, etc.) H0: µ1=µ2 (t-test) (Ojo, primero hay que comprobar si las desviaciones típicas son iguales, o no…) H0: M1=M2 (test de Mann-Whitney)

Statgraphics (B) Comparación de distribuciones: Ho: X e Y tienen la misma distribución H1: X e Y no tienen la misma distribución Test de Kolmogorov-Smirnov (comparación de distribuciones): idea similar a la del test de bondad de ajuste (comparamos funciones de distribución de X e Y). Requiere variable continua. Statgraphics

4. Tests de aleatoriedad. Una secuencia de datos es aleatoria si no exhibe ninguna tendencia concreta, es decir, si se entiende que las fluctuaciones en los datos se deben al AZAR.

ALEATORIEDAD/NO ALEATORIEDAD

Tests de aleatoriedad: tests de RACHAS Ho: Los datos son aleatorios H1: Los datos no son aleatorios Test 1: ejecuciones por encima y debajo de la mediana. Test 2: ejecuciones “arriba” y “abajo”. Test 3: test de Box-Pierce (autocorrelaciones). Busca “ciclos”.

5. Test de independencia chi-cuadrado. Se trata de contrastar si dos variables CUALITATIVAS son independien- tes (es decir, si existe relación entre ellas), o no. Por ejemplo: ¿Ser hombre o mujer predispone, de algún modo, a fumar o no fumar? ¿Los hábitos de lectura de los padres influyen en los hábitos de lectura de los hijos? ¿Los gustos literarios son los mismos en las distintas comunidades españolas? ¿La proporción de textos de ficción/no ficción es la misma en todas las bibliotecas de Alcalá? Ho: X e Y son independientes H1: X e Y no son independientes X e Y están relacionadas, una de ellas influye en la otra, hay diferencias significativas, determinadas proporciones cambian…

EJEMPLO: Hemos preguntado a un grupo de 20 hombres y 20 mujeres si fumaban o no. ¿Crees que hay diferencias significativas entre ambos sexos? Hombres Mujeres TOTAL: Fuma 5 7 12 No fuma 15 13 28 20 40 Ho: X e Y son independientes H1: X e Y no son independientes X: sexo; Y: Fumador (S/N)

¿Qué debería salir, si fueran “perfectamente” independientes? Hombres Mujeres TOTAL: Fuma 12 No fuma 28 20 40

¿Qué debería salir, si fueran “perfectamente” independientes? Hombres Mujeres TOTAL: Fuma 6 12 No fuma 14 28 20 40 50% 50%

Statgraphics Comparamos frecuencias observadas (Oi) y esperadas (Ei) La idea es RECHAZAR la hipótesis, si los valores observados difieren demasiado de los observados. Concretamente, se utiliza el estadístico: (Igual que en tests de bondad de ajuste) Statgraphics