Departamento de Física Teórica II. Universidad Complutense de Madrid Guillermo Ríos y José R. Peláez Naturaleza del mesón escalar más ligero y su Dependencia con N c en Teoría de Perturbaciones Quiral Unitarizada a dos loops Phys. Rev. Lett. 97: (2006)

Introducción Espectroscopía hadrónica Los hadrones se clasifican en multipletes de SU(3) V QCD: Teoría gauge no abeliana Glueballs. Se esperan en el canal de la σ Muchas resonancias escalares. Difíciles de clasificar Nonete de naturaleza ordinaria~ 1.2 – 1.5 GeV Nonete de distinta naturaleza (extraordinarios) Ruptura espontánea de la simetría quiral El único caso de RES en altas energías donde hay datos La σ tiene los mismos números cuánticos que el vacío. Juega un papel importante en la ruptura de simetría (en el LσM sería el equivalente al “Higgs” en QCD) Paradigma emergente ~ 0.4 – 0.8 GeV

Introducción Naturaleza espectroscópica del mesón σ Teoría de Perturbaciones Quiral (ChPT) Teoría efectiva de QCD a bajas energías Unitarización. Método de la Amplitud Inversa. Resonancias Dispersión de piones. Resonancias ρ y σ Expansión en el número de colores de QCD Definición de estados Evolución de los polos con N c Confirmación de resultados previos a O(p 4 ) Naturaleza de la σ no Cálculo a O(p 6 ) Consistencia con el O(p 4 ). Componente subdominante

Chiral Symmetry in QCD u,d quark masses are tiny (a few MeV) and the s mass small ( MeV) compared with the hadronic scale (1 GeV) Expect SU(N f ) L x SU(N f ) R symmetry up to small mass corrections The QCD Lagrangian for N f massless quarks is invariant under independent SU(N f ) transformations on their Left and Right chirality components: q L  L q L, q R  R q R Only SU(N f ) V, with V=L+R, in hadron spectrum SU(N f ) L x SU(N f ) R spontaneously broken down to SU(N f ) V N f 2 -1 Goldstone bosons SU(2)  SU(3) 

El lagrangiano de QCD (sin masas) es invariante bajo las transformaciones quirales SU(N f ) L x SU(N f ) R. La masa de los quarks u y d es suficientemente ligera como para tratarla como una perturbación No se encuentra la degeneración esperada en el espectro hadrónico Ruptura espontánea de la simetría quiral QCD y simetría quiral QCD no perturbativa a energías bajas → Recurrimos a una teoría efectiva basada en sus simetrías Teorema de Goldstone → Existen tantos bosones sin masa como generadores espontáneamente rotos En este caso los bosones de Goldstone son los tres piones, que adquieren una pequeña masa al no ser las masas del u y d nulas, pero siguen siendo los grados de libertad más ligeros de la teoría

Teoría de Perturbaciones Quiral (Weinberg, Gasser & Leutwyler) Los piones son los grados de libertad relevantes a baja energía Construimos con ellos el lagrangiano efectivo más general posible compatible con las simetrías de QCD Los observables calculados a partir de él son una expansión en masas y momentos de los piones sobre la escala típica de ruptura de simetría (4πF π ) 2, denominada O(p 2 ), O(p 4 ) etc… Válido a energías bajas (~ 100 MeV por encima del umbral) A cada orden aparecen unas constantes que parametrizan el efecto de grados de libertad más pesados y cuyo valor no está determinado por la simetría Orden dominante: F π, M π O(p 4 ): l 1 …l 7 (para ππ scattering sólo l 1 …l 4 ) O(p 6 ): para ππ scattering r 1 …r 6 Low Energy Constants (LECs)

El método de la amplitud inversa (IAM) (Truong, Dobado, Herrero, Peláez) donde t k ~ O(p k ) O(p 4 ): O(p 6 ):,, Las ondas parciales calculadas con ChPT son una expansión en p 2 por lo que cumplen la condición de unitariedad sólo de forma perturbativa De la condición de unitariedad exacta sabemos que Sustituyendo Re t -1 por su aproximación en ChPT y usando la unitariedad perturbativa obtenemos las ondas parciales del IAM

Método de la amplitud inversa Satisface la condición de unitariedad de forma exacta Se recupera el desarrollo quiral a bajas energías Se generan polos asociados a resonancias anteriormente no presentes en ChPT. En dispersión de piones encontramos la ρ(770) y la f0(600) o σ Extiende el rango de aplicabilidad hasta ~ 1 GeV Im t 11 Im t 00

Im t 11 Im t 00 Al ajustar los datos aparecen polos correspondientes a la ρ y la σ con parámetros consistentes con los de ChPT M ρ ~ 750 MeV Γ ρ ~ 150 Mev M σ ~ 400 – 500 MeV Γ σ ~ 400 – 600 MeV

La expansión en 1/N c (t’Hooft, Witten) Generalizar QCD a N c colores. Para N c grande la teoría se simplifica. La dependencia de ChPT con N c se implementa a través de las LECs (dependen de N c ). Al orden dominante su dependencia es independiente del modelo Gasser & Leutwyler nivel árbol: M π ~ O(1), F π ~ O(√N c ) O(p 4 ): l i ~ O(N c ) O(p 6 ): r i ~ O(N c 2 ) Nos proporciona una definición de estados

Conexión con QCD a través de N c Expansión en 1/N c de QCD ChPT Unitarizada Con el IAM Dependencia de ChPT con N c Generación de resonancias Evolución con N c del polo de las resonancias generadas con el IAM Podemos comparar el comportamiento con N c de la masa y anchura de las resonancias obtenidas con el IAM con el de de un estado Esto es relevante cerca de N c =3. Sólo los estados sobreviven en N c → ∞. Para N c suficientemente grande cualquier mínima mezcla con qq se hará dominante pero esto no proporciona información sobre la componente dominante del estado físico en N c =3 Definición clara de estados

Estados : Resultados previos con el IAM con canales acoplados en SU(3) (Peláez PRL92(2004))

Cuestiones abiertas Con el IAM a O(p 4 ) se generan polos en las amplitudes t 2 ~ O(1/N c ), t 4 = t 4 árbol ~ O(1/N c ) t 4 loops ~ O(1/N c 2 ) Los términos de loops son subdominantes en N c escalares: su masa crece con N c (cerca de N c =3) los términos de loops juegan un papel importante en N c =3 Hay una cancelación entre t 2 y t 4 Esto sugiere que hay una cancelación que hace que t 4 loops gane importancia. ¿Es debida a un ajuste fino de las LECs? Términos de loops suprimidos 1/N c para algún N c se harán más pequeños que términos de O(p 6 ). ¿Pueden estos términos O(p 6 ) afectar Los resultados a O(p 4 )? Si los términos de loops son poco importantes a N c =3, 1/N c factoriza y la solución (parte real) es independiente de N c M ~ O(1)

Cuestiones abiertas En este trabajo se estudia la dispersión de piones con UChPT en SU(2), donde se encuentran los polos de la ρ y la σ Presentaremos un método para cuantificar como de cerca está el comportamiento con N c de una resonancia al de un Variando generosamente las LECs comprobaremos los resultados a O(p 4 ): ρ, σ no. No ajuste fino de las LECs Comprobaremos los resultados a O(p 6 ). Parecen revelar una componente subdominante en la σ.

Cuantificando cuanto una resonancia es qq El escaleo M ~ O(1), Γ ~ O(1/N c ) sólo es el orden dominante. Teniendo en cuenta órdenes subdominantes, una resonancia se puede considerar si Se pueden calcular las M y Γ esperadas a algún Nc a partir de sus valores En Nc-1 (tomando las contribuciones subdominantes como incertidumbres) Construimos la siguiente función χ 2 qq Si la resonancia es principalmente, χ 2 qq ~ 1 Si la resonancia NO es principalmente, χ 2 qq >> 1 Podemos saber a partir de que N c una resonancia empieza a comportarse como Minimizando χ 2 qq podemos forzar el comportamiento qq a las resonancias

Estabilidad del ajuste Las amplitudes son muy poco sensibles a algunas LECs Sólo tenemos tres canales de datos Cuando ajustamos datos algunas LECs toman valores muy alejados de los de referencia por mejoras muy pequeñas en χ 2 A partir de valores de referencia de las LECs construimos la función que también será minimizada en los ajustes pare evitar que las LECs tomen valores alejados de los encontrados en la literatura

Comprobación del O(p 4 ) Ajuste a datos: (MeV) I = 0, J=0 ( º ) I = 1, J=1 s 1/2 (MeV) phase shift ( º ) I = 2, J=0 phase shift ( º ) s 1/2 (MeV) χ 2 data = 1.1

Comprobación del O(p 4 ) De nuevo encontramos la ρ como y la σ como no ρ σ

Comprobación de los resultados a O(p 4 ) Para ver si este resultado es debido a un ajuste fino de las LECs realizamos un ajuste minimizando χ 2 qq para la σ FitSólo datos σ como qq 10 3 l l l l χ 2 data χ 2 LECS χ 2 qq,ρ χ 2 qq,σ Incluso intentándolo no conseguimos que la σ se comporte como un. χ 2 qq,σ = 125 Los datos se ajustan peor χ 2 data = 1.4 Las LECs se alejan del valor de referencia χ 2 LECS = 5.6 El resultado “σ no ” no es debido a un ajuste fino de las LECS

Comprobación de los resultados a O(p 4 ) El resultado “σ no ” no es debido a un ajuste fino de las LECS Incluso intentándolo no conseguimos que la σ se comporte como un. χ 2 qq,σ = 125 Los datos se ajustan peor χ 2 data = 1.4 Para ver si este resultado es debido a un ajuste fino de las LECs intentamos forzar la σ a un. Realizamos un ajuste a los datos minimizando a la vez χ 2 qq para la σ FitSólo datos σ como qq χ 2 data χ 2 qq,ρ χ 2 qq,σ

Cálculo a O(p 6 ) En el ajuste minimizamos también χ 2 qq,ρ para imponer el comportamiento correcto de la ρ A O(p 6 ) hay 6 parámetros más. Tenemos mucha libertad y encontramos algunos conjuntos de LECs con los que la ρ no se comporta como Sabemos que la ρ si es un mesón. Los resultados obtenidos sólo serán válidos si a la vez reproducimos la naturaleza de la ρ Cálculo a O(p 6 ) de ππ scattering en ChPT disponible en la literatura Bijnens et al. PLB374(1996)

Calculo a O(p 6 ) Ref. value Fit 10 3 l l l l r r r r r r χ 2 data = 1.1 χ 2 qq.ρ = 0.93 χ 2 qq.σ = 15 χ 2 LECS = 1.9 Imponiendo la Naturaleza a la ρ obtenemos una σ no

Calculo a O(p 6 ) χ 2 data = 1.1 χ 2 qq.ρ = 0.93 χ 2 qq.σ = 15 Imponiendo la Naturaleza a la ρ obtenemos una σ no I = 1, J=1 s 1/2 (MeV) phase shift ( º ) I = 2, J=0 phase shift ( º ) (MeV) I = 0, J=0 ( º )

Cálculo a O(p 6 ) A mayor N c los términos O(p 6 ) se hacen más importantes que los diagramas con loops O(p 4 ) M se hace constante ~ 1GeV Γ empieza a decrecer Cerca de N c = 3 obtenemos resultados similares a los de O(p 4 ) comportamiento El cálculo a O(p 6 ) parece revelar una componente subdominante de la σ con una masa de 2.5M 3 ~1.2GeV

Cálculo a O(p 6 ) A O(p 6 ) encontramos un comportamiento para la ρ ( χ 2 qq.ρ = 0.93) Al mismo tiempo encontramos que la componente dominante de la σ es no ( χ 2 qq.σ = 15, M y Γ crecen con N c cerca de N c =3 de la vida real) Una componente subdominante aparece a mayor N c con una masa alrededor de 1.2 GeV. Precisamente en la zona del hipotético multiplete

Cálculo a O(p 6 ) Hacemos un ajuste minimizando χ 2 qq,σ Aun así enontramos χ 2 qq,σ = 3.5 Obtenemos un peor ajuste a los datos, χ 2 data = 1.4 estropeamos la naturaleza de la ρ, χ 2 qq.ρ = 2.0 Con el cálculo a O(p 6 ) no se puede obtener una componente dominante para la σ ¿Podémos encontrar un conjunto de LECs que hagan que esta componente se haga dominante?

Cálculo a O(p 6 ) ¿Cómo de grande puede ser la componente subdominante de la σ sin estropear la naturaleza de la ρ? La σ no se comporta predominantemente como un qq (χ 2 qq,σ = 4) pero empieza a hacerlo ( χ 2 qq,σ ~ 1 ) a partir de N c = 6 El comportamiento de la ρ empeora un poco χ 2 qq,ρ = 1.3 Ajustamos minimizando ambas χ 2 qq,ρ y χ 2 qq,σ. La componente de la σ se hace dominante en el caso más favorable para N c >6

Conclusiones Hemos presentado un método para determinar cuantitativamente como de cerca está el comportamiento con N c de una resonancia al de un Lo hemos aplicado a los polos generados con ChPT en SU(2) unitarizada con el IAM confirmación de los resultados previos a O(p 4 ). ρ es y σ predominantemente no. Este resultado no es debido a un ajuste fino de las LECs Extensión a O(p 6 ) confirmando la estabilidad del resultado a O(p 4 ) y mostrando que una posible mezcla con una componente subdominante alrededor de 1.2 GeV para la σ pudiera existir, precisamente donde se localiza el hipotético nonete ordinario Esta componente subdominante se haría dominante en el caso más favorable alrededor de N c > 6, pero nuestro ajuste principal sugiere una supresión aun mayor

Gracias!