Jueves, 17 de Marzo 2011

Capítulo 2 Mecánica Celeste Órbitas elípticas. Kepler, Leyes de Kepler. Geometría del Movimiento Elíptico. Galileo. Leyes de Newton. Ley de Gravitación Universal. Centro de Masas.

Órbitas Elípticas La simplicidad inherente del modelo Copernicano era estéticamente placentero, sin embargo la idea de un universo heliocéntrico no fue aceptada inmediatamente. Esto se debió a la falta de apoyo observacional que demostrara que el modelo geocéntrico era incorrecto.

Tycho Brahe (1546-1601) Famoso astrónomo danes observador a ojo desnudo que siguió meticulosamente el movimiento de los planetas utilizando diversos instrumentos astronómicos tal como el cuadrante.

Johannes Kepler (1571-1630) Matemático alemán. Trató de explicar las observaciones de Tycho Brahe. Postuló un modelo en que los planetas no se movian órbitas circulares sino elípticas. Esto fue un pequeño cambio desde el punto de vista matemático pero enorme filosóficamente

Leyes de Kepler del movimiento planetario 1)Los planetas se mueven en elipses en uno de cuyos focos está el Sol 2)La línea que conecta el Sol con el planeta barre areas iguales en tiempos iguales 3)El período orbital de un planeta al cuadrado es igual al cubo de la distancia promedio al Sol

Geometría del Movimiento Elíptico La ecuacion que define una elipse es Donde a es una constante que se denomina semieje mayor y es la mitad del eje major de la elipse. La distancia b se conoce como semieje menor r y r’ son las distancias de la elipse a los puntos focales F y F’. Si F y F’ coinciden en el mismo punto del espacio, entonces r=r’=a que es la ecuación de un círculo (que es un caso particular de una elipse).

Geometría del Movimiento Elíptico La excentricidad e (0<e<1) de una elipse se define como la distancia entre los focos (FF’) dividida por el eje mayor 2a. Esto hace que la distancia de cualquier foco al centro de la elipse se pueda escribir como ae Un círculo es una elipse con e=0 El foco donde se encuentra el Sol se denomina foco principal y el punto de la elipse más cercano(lejano) al Sol se denomina Perihelio(Afelio)

Geometría del Movimiento Elíptico En el punto mas extremo del semieje menor se tiene r=r’ y como r+r’=2a se tiene que r=a Además, como por el teorema de Pitágoras Se obtiene que

Geometría del Movimiento Elíptico En coordenadas polares y utilizando nuevamente el teorema de Pitágoras se tiene que lo cual se puede reescribir como Utilizando la definicion de la elipse (es decir que r+r’=2a) se tiene que Ejercicio: Mostrar que el área total de la elipse es πab

Geometría del Movimiento Elíptico Una elipse es una clase de curva conocida como secciones cónicas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Un círculo es una sección cónica con e=0 Una elipse es una sección cónica con 0<e<1 Una parábola es una sección cónica con e=1 donde p es la distancia en la aproximación más cercana Una hipérbola es una sección cónica con e>1

Galileo Galilei (1564-1642) Contemporáneo de Kepler. Fué quizás el primer físico experimental. Estudió los movimientos de los objetos y postuló que todos caen con la misma acelaración, independiente de su peso. Es el padre de la astronomía observacional. Perfeccionó el catalejo (que fue inventando el 1608) e inventó y perfeccionó el telescopio. Rapidamente, hizo una serie de importantes descubrimientos observacionales que dieron apoyo a la teoría heliocéntrica. Descubrió que la banda de estrellas que cruza el cielo de horizonte a horizonte, no es una nube (como se suponia hasta ese momento) sino un enorme cantidad de estrellas individuales que no puden ser resueltas a ojo desnudo. Descubrió que la Luna posee cráteres y que no es una esfera perfecta.

Galileo Galilei (1564-1642) Las observaciones que realizó de las fases variables de Venus implicaron que el planeta no emite luz propia, sino que refleja la luz del Sol desde diferentes configuraciones relativas Sol-Tierra-Venus. Descubrió también que el Sol tiene manchas que cambian de cantidad y lugar. Realizó las observaciones más daninas para el modelo geocéntrico (que seguia siendo apoyado por la iglesia católica): el descubrimiento de 4 lunas en órbita alrededor de Jupiter, indicando al menos la existencia de otro centro de movimiento que no era la Tierra.

Galileo Galilei (1564-1642) Publicó sus primeras observaciones en su libro Sidereus Nuncius en 1610. En 1616, la iglesia lo obligo a deponer su apoyo al modelo Copernicano. En 1632, publicó otro libro “Dialogo entre los dos Máximos Sistemas del Mundo”. Galileo fue llamado por la Inquisción Romana y su libro fue prohibido. En 1992, el papa Juan Pablo II anunció que debido a una “trágica incomprensión mutua” la iglesia Católica Romana estaba errada en condenar a Galileo. En 2009 las Naciones Unidas decretaron ese año como el año Internacional de la Astronomía en parte para conmemorar los 400 años de los descubrimientos de Galileo.

Isaac Newton (1642-1727) Físico inglés, fué quizás, el científico más grande de la historia. Hizo avances y descubrimientos en las leyes de movimiento, astronomía, óptica y matemática. Publicó su libro “Principia” en 1687 con sus trabajos en mecánica, gravitación y cálculo. Inventó (independientemente con Leibnitz) el cálculo variacional como respuesta al problema de la braquistócrona (encontrar la curva a lo largo de la cual un objeto sin rozamiento se desliza en el menor tiempo posible) planteado por Bernoulli. Acerca de su propia carrera cientifica dijo “No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega a la orilla del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y un caparazón más bonito de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido.”

Leyes de Newton Postuló tres leyes de movimiento además de su ley de gravitacion universal. Ley de Inercia: Un objeto en reposo permanercerá en reposo y un objeto en movimiento permanecerá en movimiento rectilíneo con velocidad constante a menos que una fuerza externa actue sobre el. La fuerza total que actua sobre un objeto es proporcional a la masa del objeto y a su aceleración resultante. Ley de Acción y Reacción: Por cada acción hay una reacción igual y opuesta.

Ley de Gravitación Universal Tercera ley de Kepler Definición de período (ω=v/r) Multiplicando por la masa (a=ω2r=v2/r) Por la tercer ley de Newton debe ser simétrica respecto a m y M

Deducción de las Leyes de Kepler Aunque Kepler determinó la geometría del movimiento planetario, no explicó la naturaleza de la fuerza que lo gobernaba. Newton cuantizo dicha fuerza y generalizó el trabajo de Kepler derivando sus leyes a partir de la ley de Gravitación Universal.

Centro de Masas

Centro de Masas

Energía Potencial y Cinética La conveniencia de utilizar el centro de masas se vuelve evidente cuando se calcula la energía y el momento angular Se puede reescribir como: donde

Momento Angular V1=-μv/m1 V2=-μv/m2

Lunes, 21 de Marzo 2011

Primera Ley de Kepler La aceleración de la masa reducida μ Debido a la masa M es: El momento angular de un sistema con un de fuerzas central es una constante Debido a que se tiene que: Nótese que la última igualdad proviene del hecho que

Primera Ley de Kepler Esta es la ecuación de una sección Como el momento angular se conserva se tiene que su derivada es cero, entonces: donde D es un vector constante. Esta es la ecuación de una sección cónica de una elipse, parábola e hipérbola. Comparando con la ecuación de una elipse se obtiene que el momento angular es: y usando la definición del momento angular se tiene que:

Segunda Ley de Kepler Integrando desde el foco de la elipse hasta una distancia r, se tiene que Elemento de area infinitesimal en polares

Segunda Ley de Kepler Vector velocidad para un movimiento elíptico en coordenadas polares El momento angular L y la masa reducida μ son constantes por lo tanto barre areas Iguales en tiempos iguales

Segunda Ley de Kepler Utlizando la ecuación se puede obtener el perihelio y afelio de la órbita y las respectivas velocidades: D donde se utilizó que Vector velocidad para un movimiento elíptico en coordenadas polares

Segunda Ley de Kepler es la energía potencial media promediada a lo largo de un período orbital Mostrar que notando que es Pero que

Tercera Ley de Kepler Integrando la 2da Ley de Kepler a lo largo de un período orbital P Definición del área de una elipse Elevando al cuadrado y reagrupando Introduciendo la definición de excentricidad Introduciendo la definición del momento angular Se obtiene la Tercera Ley de Kepler