Decisiones de Inversión Matemáticas financieras Profesor Ignacio Vélez Pareja Pontificia Universidad Javeriana

Copyright Ignacio Vélez Pareja © CAPÍTULO 2 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO "Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan." (Quino. Manolo, en, ...y yo digo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 2

Análisis de rentabilidad En este curso se estudiará el problema que se plantea el inversionista al enfrentarse con flujos de dinero que ocurren en diferentes períodos de tiempo. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 3

Análisis de rentabilidad Los individuos tienen preferencia por consumir ahora y no aplazar ese consumo*. Cualquier individuo prefiere tener una suma de dinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para poder contar con la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 4

Análisis de rentabilidad Sobre esta base se desarrolla lo que se conoce como Matemáticas Financieras. En realidad debe ser Aritmética Financiera Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario saber contar y aplicar las operaciones básicas de la aritmética y algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 5

Niveles de comprensión Aquí se pueden presentar tres niveles de comprensión: Conceptual. Entender conceptos Operativa o instrumental. Uso de los instrumentos aritméticos o computacionales Situacional. Descripción de la realidad 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 6

Ojos despiertos y oídos atentos Esto indica que hay que agudizar la vista y el oído. Hay que leer con atención y escuchar al otro para entender de qué se trata la situación a analizar. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 7

El Concepto de Equivalencia A continuación se van a expresar unas ideas que conducen a un mismo concepto: equivalencia. Los individuos obtienen satisfacción al consumir y se puede cambiar consumo actual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción de este último sea al menos equivalente a la del consumo actual. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 8

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Hagamos un trato... Si usted tiene el derecho a recibir hoy $1 millón, (Le debo $1 millón y se lo debo pagar hoy. No puedo hacerlo y le pido un plazo de un año.) ¿qué suma de dinero dentro de un año estaría dispuesto a recibir en lugar del $1 millón hoy? Escriba en secreto la suma de dinero que aceptaría. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 9

La tasa de equivalencia La suma que se escribió es equivalente a $1 millón hoy. La suma adicional que se exige sobre $1 millón medida como una fracción es la tasa de equivalencia. Esa tasa de equivalencia es personal y depende de la información que tenga cada persona. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 10

Olvídese de sumar en tiempos diferentes Como la gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy, aplazar un consumo actual, implica exigir una mayor cantidad de consumo futuro, para alcanzar una satisfacción equivalente. Así, se llega fácilmente a la conclusión que ya no se pueden sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son comparables. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 11

Cambio consumo actual por futuro Cuando se introduce el concepto de inversión, o sea sacrificar $1 hoy para obtener más de $1 al final de un período, se invertirá mientras la suma adicional que le paguen, sea mayor que la asignada al sacrificio de consumo actual, o sea, a la tasa a la cual se está dispuesto a cambiar consumo actual por consumo futuro. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 12

El Concepto de Equivalencia En forma matemática: F=P(1+i)n donde: F = Suma futura poseída al final de n períodos. i = Tasa de equivalencia, fracción, mayor que cero y menor que 1 definida para el período (año, mes, día,...) P = Suma de capital colocada en el período cero. n = Número de períodos Este es el concepto básico 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 13

Soy indiferente entre P y F Este modelo y los párrafos anteriores permiten expresar de otro modo el concepto de equivalencia. Se dice que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando la persona es indiferente entre recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) -mayor- al final de un período de tiempo. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 14

La diferencia es por el sacrificio Esta diferencia entre P y F responde por el “valor” que le asigna el individuo al sacrificio de consumo actual y al riesgo que percibe y asume al posponer el ingreso. Al hablar de equivalencia se ha involucrado -en forma implícita- una tasa de equivalencia i%, en general, diferente de cero. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 15

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Un peso hoy vale más El concepto de equivalencia, implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. Más aun, un peso hoy vale más que un peso futuro. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 16

Copyright Ignacio Vélez Pareja © La tasa de descuento La tasa que establece esta equivalencia se llama tasa de descuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable; algunos autores prefieren utilizar el nombre de costo o tasa de oportunidad 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 17

... nadie dice qué interés te pagan El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistema capitalista. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 18

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Interés, ¿es lo justo? No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo, es "justo" pagar una suma adicional al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica, es común a todos los estratos socio-económicos. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 19

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Interés: Lo que me gano Se puede definir el interés, en forma muy simple como: Provecho, ganancia, utilidad. Lucro producido por el capital. El interés puede definirse, también, como el precio pagado en dinero, por el uso del dinero de otro. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 20

... capital, tiempo y riesgo “En economía, el interés se liga a los conceptos de capital, tiempo y riesgo; por lo tanto, puede ser considerado como la compensación que el poseedor del dinero recibe, .. por la cesión a otros, (y) por la utilización (por ese tercero) durante un período de tiempo ... (de) un capital determinado, empleo que en sí mismo, es siempre arriesgado". 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 21

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Interés En otras palabras, el interés, I, es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P. El mercado brinda la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo; el hecho de que existan oportunidades de inversión o de financiación, hace que exista el interés. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 22

Interés es la compensación Este fenómeno económico real, se mide con la tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentaje se calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por un período, por el monto inicial, P; de modo que la tasa de interés será: 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 23

Los componentes de la tasa de interés Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente, o sea la que se encuentra en el mercado (la que usan los bancos o cualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas La inflación El riesgo El interés real 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 24

El efecto de la inflación El efecto de la inflación o mejor, las expectativas de inflación, que es propio de la economía donde se presenta el problema de inversión. La inflación mide el aumento del nivel general de precios, a través de la canasta familiar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa de interés. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 25

¿Cómo se relacionan interés e inflación? Una rápida exploración a los valores de las tasas de interés del mercado de algunos países, muestra la influencia de la inflación sobre la tasa de interés (cifras de 1997, The Economist Feb. 7th 1998, pp 108-110). 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 26

En países desarrollados PAIS INTERES INFLACION Japón 1.97% 1.6% Canadá 5.43% 1.7% U.S.A. 5.58% 2.3% Alemania 4.94% 1.8% Reino Unido 5.96% 3.0% 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 27

Copyright Ignacio Vélez Pareja © ... y no tan desarrollados PAIS INTERES INFLACION Francia 4.94% 1.2% Italia 5.37% 1.8% Grecia 17.47% 4.4% España 5.18% 2.0% Colombia 24.58% 17.8% 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 28

Copyright Ignacio Vélez Pareja © El efecto del riesgo El efecto del riesgo, que es intrínseco al negocio o inversión en que se coloca el dinero o capital. A mayor riesgo, mayor tasa de interés 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 29

Copyright Ignacio Vélez Pareja © El interés real El interés real o la productividad en su uso, que es un efecto intrínseco del capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo. Refleja también la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado de liquidez del mercado). Tiende a ser constante y con un valor cercano al 3%-6% anual. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 30

Datos para Colombia: 1995-1999

Relación multiplicativa La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así: 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 31

Relación multiplicativa donde: ic = tasa de interés corriente ir = tasa de interés real if = tasa de inflación i = componente de riesgo 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 32

Componentes de la tasa de interés Hoy Hoy + un año $1,000,000 1,320,000 1,000/US$ idev =20% 1,200/US$ US$1,000 idura=10% US$1,100 Interés obtenido por el inversionista 32% Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 33

Componentes de la tasa de interés Como la devaluación y el interés en dólares son simultáneos, el interés ganado en moneda blanda no es idev + idura sino iblanda=(1+idev)x(1+idura)-1 =1.2x1.1-1=.32-=.32 ó 32% Esto es similar al esquema de los componentes de la tasa de interés 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 34

Diagrama de Flujo de Caja El eje del tiempo 0 1 2 3 4 5 6............ .....n 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 35

Diagrama de Flujo de Caja Los egresos 0 1 2 3 120 450 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 36

Diagrama de Flujo de Caja Los ingresos 250 350 0 1 2 3 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 37

Diagrama de Flujo de Caja Una inversión: 1,000 1 1,350 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 38

Diagrama de Flujo de Caja Un préstamo: 1,000 1,350 1 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 39

Interés Simple y Compuesto La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados, que ingresan o se suman al capital inicial. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 40

Aritmética financiera La sencillez de este tema permite llamarlo aritmética financiera. Aquí se trata de encontrar una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las cuales una es el número de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición para hallar esa variable desconocida es que se mantenga válida la equivalencia entre flujos de caja. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 41

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Número de períodos Las variables son: n = número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, semana, etc.). Los períodos deben ser iguales. En Excel se llama nper. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 42

Tasa de interés de equivalencia (tasa) i = tasa de interés de equivalencia, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día, trimestre, semana, etc.). Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Se supone interés compuesto. Nombre en Excel, tasa. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 43

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma presente (VA) P = Suma presente, situada al final del período cero. Nombre en Excel, VA. n P 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 44

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma futura (VF) F = Suma futura, situada al final del período n. Nombre en Excel, VF. n F 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 45

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Cuota uniforme C = Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el período 1 y el n. Nombre en Excel, pago. 0 1 2 3 4 C C C C 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 46

Suma presente y suma futura Se puede transformar una suma de dinero presente P en el período, en una suma de dinero mayor equivalente, F en el período n y viceversa. n n P F 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 47

Suma presente y suma futura Lo anterior responde a preguntas como: ¿Si se deposita una suma de dinero hoy en una cuenta de ahorros al i% por período, cuánto se tendrá al final de n períodos? o ¿Cuánto se debe depositar hoy para tener una suma F al final n períodos, a la tasa i%? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 48

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma presente y cuota Se puede transformar una suma de dinero presente P, en 0, en una serie de cuotas uniformes C equivalente, desde 1 hasta n y viceversa. 0 1 2 n n C 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 49

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma presente y cuota Esto responde a preguntas como: ¿Si se tiene un préstamo P a la tasa de i%, cuánto valen las cuotas iguales para pagarlo en n períodos? o ¿Cuánto se debe pagar hoy por un préstamo a cuotas C a la tasa de i% y faltan n cuotas? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 50

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma futura y cuota Se puede transformar una suma de dinero futura F, n, en una serie de cuotas uniformes C equivalente y viceversa. n C F 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 51

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Suma futura y cuota Esto responde a preguntas como: ¿Cuánto se debe ahorrar por período para obtener una suma F al final de n períodos si la tasa de interés es i%? o ¿Cuánto se tendrá al final de n períodos si se ahorra C por período al i%? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 52

Copyright Ignacio Vélez Pareja © F (VF) equivalente a P Para hallar el valor de una suma futura -F- al final de n períodos, equivalente a una suma presente, a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la siguiente fórmula de Excel =VF(i;n;C;P;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 53

Copyright Ignacio Vélez Pareja © P (VA) equivalente a F Para hallar la suma presente en el período cero, equivalente a una suma futura situada en n, a una tasa de interés compuesto, i%, se utiliza la siguiente fórmula de Excel. =VA(i;n;C;F;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 54

Copyright Ignacio Vélez Pareja © P (VA) equivalente a C A su vez, para hallar la suma P a la tasa de interés compuesto i%, que sea equivalente a una suma uniforme durante n períodos al final de cada uno, 1, 2,..., n, se utiliza la fórmula de Excel =VA(i;n;C;F;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 55

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Costo Capitalizado Cuando n es muy grande, entonces la anterior expresión se llama Costo Capitalizado. Esto significa que se tiene una serie perpetua de ingresos iguales a C y se desea calcular la suma presente P equivalente. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 56

Copyright Ignacio Vélez Pareja © ... con crecimiento Cuando las sumas de dinero futuras experimentan un crecimiento porcentual de g, a partir de una suma uniforme C, entonces esta expresión queda modificada así: Esto será de utilidad para calcular el valor residual o de salvamento de un proyecto (cap.6) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 57

C (pago) equivalente a P Para hallar la suma uniforme durante determinado número de períodos 1,2,..., n, equivalente a una suma presente en cero a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de Excel: =PAGO(i;n;P;F;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 58

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Perpetuidades Cuando n es muy grande, o sea que se desea calcular la cuota C perpetua equivalente a P 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 59

Copyright Ignacio Vélez Pareja © F (VF) equivalente a C Para calcular la suma futura al final del período n equivalente a una serie uniforme durante n períodos, a la tasa de interés compuesto i%, al final de cada uno, 1, 2....n, se utiliza la fórmula de Excel =VF(i;n;C;P;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 60

C (pago) equivalente a F Para obtener el valor de la serie uniforme al final de cada período 1,2 ...n, equivalente a una suma futura al final del período n, a la tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de Excel =PAGO(i;n;P;F;tipo) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 61

Cálculo de número de períodos (nper) En estos factores sólo se ha trabajado en el cálculo de P, F o C, pero se puede también calcular las otras variables n e i. Para calcular n, se utiliza la función de Excel =NPER(i;C;P;F;tipo) Esto permite responder preguntas como ¿cuánto tiempo hay que esperar para duplicar una inversión? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 62

Cálculo de tasa de interés (Tasa y TIR) i es aquella tasa de interés que hace equivalentes los flujos de caja positivos con los negativos. Cuando se trabaja con Excel, se utiliza: =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) para flujos constantes y =TIR(rango;i semilla) para flujos no constantes. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 63

Copyright Ignacio Vélez Pareja © “Estimar” o i semilla En el Asistente de Funciones, para la función TIR, aparece “estimar” en lugar de i semilla; cuando no se escribe ningún valor, el programa supone que es 0.1. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 64

Cálculo de tasa de interés Con este cálculo se puede responder preguntas como ¿cuánto se ganó en esta inversión? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 65

P equivalente a flujo no uniforme (VNA) ¿Cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor actual o valor presente) de un flujo de caja cuando no son constantes? En Excel se utiliza =VNA(i;rango). Esta suma en 0 se expresa en pesos descontados del período anterior al que inicia el rango. El rango debe seleccionarse desde el período 1 hasta el n. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 66

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Sólo tres funciones En Excel sólo se requieren tres funciones para manejar los casos de transformación entre sumas de dinero P, F y C. Estas son: =VF(i;n;C;P;tipo) para transformar P y/o C a F. =VA(i;n;C;F;tipo) para transformar F y/o C a P. =PAGO(i;n;P;F;tipo) para transformar P y/o F a C. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 67

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Tabla resumen 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 68

Tablas de amortización Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda se divide entre interés y abono o amortización de la deuda; o, en el caso que así fuera, cómo un determinado esquema de abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los intereses, a una cierta cuota o pago. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 69

Amortización y capitalización Con una tabla de amortización se puede también determinar el saldo pendiente al final de cada período. Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización; la diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir una deuda), se capitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende, se puede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 70

Dos grandes tipos de tablas Cuota o pago determinados y Abono o amortización determinados Sólo se necesita definir de cuál caso se trata y crear la estructura. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 71

Regla general Cuota = abono más intereses La cuota uniforme es sólo un caso particular donde todas las cuotas son iguales 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 72

Estructura con cuota o pago 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 73

Estructura con amortización 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 74

Tasas de Interés Equivalentes En muchos casos es necesario hacer transformaciones a las tasas de interés estipuladas para poderlas comparar. En particular, esto se refiere a los casos en que los intereses se pagan en forma anticipada y en los casos en que los intereses se estipulan para un determinado período, pero se liquidan en períodos inferiores al que se estipuló inicialmente. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 75

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Interés Anticipado Cuando se estipula un pago de interés anticipado (ia), en realidad ello significa que (en el caso de un préstamo) se recibe un monto menor al solicitado. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 76

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Interés Anticipado Es decir que hoy se recibe P-Pia y al final del año se debe pagar P. Nuevamente, la suma adicional que se paga es Pia, pero la suma recibida es P-Pia. Por lo tanto, el interés I, que se paga, es Pia. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 77

Tasa de interés vencida La tasa de interés vencida, a partir de la anticipada donde: iv = tasa de interés vencida ia = tasa de interés anticipada 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 78

Tasa de interés anticipada La tasa de interés anticipada, a partir de la vencida donde: iv = tasa de interés vencida ia = tasa de interés anticipada 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 79

Dos formas de pagar un préstamo Se tienen dos opciones para pagar un préstamo de $1,000. La primera es pagar todo a los 4 trimestres: 1 2 3 4 1,360 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 80

Dos formas de pagar un préstamo La segunda es pagar intereses trimestrales vencidos y los $1,000 al final: 1 2 3 4 90 90 90 1,090 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 81

Tasa de interés efectiva y nominal Lo más probable es que todos hubieran preferido la primera. Si hay esa preferencia significa que la segunda debe ser más costosa. Si se tuviera el dinero para pagar de la segunda manera, pero en lugar de hacerlo se escoge la primera y se ahorran los $90 al 9% trimestral, se tendrá a final la suma de $411.58. O sea, que se deja de recibir esa suma en el caso de pagar de la primera forma.. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 82

Si no tuviera que prestar el dinero... Podría ahorrarlo y obtendría justamente, el valor futuro de los intereses que debo pagar al dueño del dinero. Y todo sería mío. Pero como debo pagar los intereses, sólo queda para mí la diferencia entre los intereses y el valor acumulado del ahorro. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 83

Copyright Ignacio Vélez Pareja © ¿A quién le cuesta más? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 84

Copyright Ignacio Vélez Pareja © ¡No es una paradoja! A quien tenga una posibilidad de ahorrar a mayor tasa, le va a costar más pagar intereses liquidados cada trimestre en lugar de pagarlos todo al final. ¿Sorpresa? No. Ya se había intuido con el concepto de equivalencia; y es de la tasa de interés de equivalencia (de ahorro) que depende el valor hoy de un dinero en el futuro. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 85

Tasa de interés efectiva y nominal Este mayor costo debe poderse reflejar de alguna manera. Una forma de hacerlo es por medio de la tasa de interés efectiva. El préstamo de este ejemplo se pactó al 36% anual liquidado por trimestre vencido. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 86

Tasa de interés efectiva y nominal Dependiendo de la forma como se liquiden los intereses estipulados en una transacción, entonces se presentarán diferencias entre el interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 87

Tasa de interés nominal Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 88

Tasa de interés efectiva Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés es compuesto, ya que las liquidaciones del mismo se han acumulado. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 89

La efectiva depende de la nominal La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés nominal. Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva (tasa periódica) anual anual 1.0% 12% 12.68% 1.5% 18% 19.56% 2.0% 24% 26.82% 2.5% 30% 34.49% 3.0% 36% 42.58% 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 90

... y de la frecuencia de liquidación La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir de una tasa anual nominal 24% : Período i por período Períodos iea Año 24.00% 1 24.00% Semestre 12.00% 2 25.44% Cuatrimestre 8.00% 3 25.97% Trimestre 6.00% 4 26.25% Bimestre 4.00% 6 26.53% Mes 2.00% 12 26.82% Día 0.0658% 365 27.11% 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 91

Condiciones para la tasa de interés efectiva Para estos ejemplos, es importante reiterar que un interés efectivo implica: liquidación de intereses en períodos de tiempo menores al estipulado para la tasa de interés nominal; acumulación (real o virtual) de los intereses generados durante el período indicado; y interés compuesto. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 92

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Ejemplo Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000 al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se considera que 2% mensual es lo mismo que decir 24% anual liquidado mensualmente vencido, entonces esta expresión se puede escribir como 1,000(1+0.24/12) 12 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 93

Tasa de interés efectiva y nominal Si se generaliza y se piensa que el 24% anual liquidado mensualmente vencido es la tasa de interés nominal, entonces el valor acumulado es P(1+inom/n)n El valor de los intereses en el ejemplo es $268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es 268.24/1,000=26.82% 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 94

Tasa de interés efectiva Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es: Donde: ief = tasa de interés efectiva n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el período inom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 95

Tasa de interés efectiva en Excel En Excel se utiliza la función =INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año) 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 96

Tasa de interés continua Cuando n es muy grande se dice que tiende a(infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida a donde: e = base de logaritmos naturales inom = tasa de interés nominal anual A esta expresión se llama tasa de interés continua. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 97

Copyright Ignacio Vélez Pareja © Otra vez el préstamo... En el ejemplo se tenía entonces que el préstamo se había hecho al 36% anual TV (trimestre vencido). La tasa de interés efectiva es de 41.16% (verifique ese cálculo). Pero ese resultado es el mismo para cualquier persona, ya sea que ahorre al 0% o al 12%. ¿Qué supuesto implícito hay aquí? 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 98

Supuesto implícito en ief... ¡La persona que recibe ese crédito, ahorra a la misma tasa a la que le prestan! Tarea: averiguar si el sistema financiero da en préstamo a la misma tasa que paga por los depósitos que recibe. ¿Qué es la tasa de captación? ¿Qué es la tasa de colocación? ¿Qué es el margen de intermediación? Ahora saque sus conclusiones. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 99

Cuando la nominal es anticipada... Cuando la tasa de interés nominal se liquida anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se convierte en Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 100

Tasa de interés nominal La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es: Donde: ief = tasa de interés efectiva anual n = número de veces que se liquida durante el período inom = tasa de interés nominal por período, liquidada vencida 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 101

Tasa de interés nominal en Excel =TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos) interés efectivo = tasa de interés efectiva anual num. períodos = número de veces que se liquida durante el año. Esta tasa nominal anual, liquidada vencida. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 102

Relación entre tasa periódica y nominal Tasa de interés periódica es igual a tasa de interés nominal dividida por el número de períodos ip = inom/n y viceversa inom =n x ip 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 103

Transformaciones entre tasas nominales En las transformaciones entre tasas de interés nominales debe distinguirse entre transformaciones con períodos de liquidación iguales y desiguales. Para el caso de períodos de liquidación iguales: 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 104

Transformaciones entre tasas nominales 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 105

Transformaciones entre tasas nominales Para períodos de liquidación diferentes: Con la inom v con período de liquidación n1 se calcula la tasa efectiva y con esta última se calcula la nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal vencida si se tiene una anticipada se utiliza primero el procedimiento para convertir de tasa anticipada a vencida con igual período. 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 106

Transformaciones entre tasas nominales 19/02/98 Copyright Ignacio Vélez Pareja © 107

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