Teoría de Juegos: Introducción Microeconomía II Teoría de Juegos: Introducción

Algunos tipos de juegos Juegos estáticos o simultáneos. Con información completa e imperfecta. Juegos dinámicos o secuenciales. Con información completa y perfecta.

Juegos en forma normal y equilibrio de Nash “El dilema del prisionero”

Juegos en forma normal y equilibrio de Nash “El dilema del prisionero”

Juegos en forma extensiva Jugador 1 Callar Confesar Jugador 2 Jugador 2 Callar Confesar Callar Confesar -1 -9 -9 -6

Eliminación de estrategias estrictamente dominadas Supuestos: Un jugador racional no utilizará una estrategia estrictamente dominada. Los jugadores saben que todos son racionales. Los jugadores saben que todos los jugadores saben que son racionales.  Es información de dominio público que los jugadores son racionales. En el dilema del prisionero presentado a continuación, “callar” es una estrategia estrictamente dominada por “confesar” para ambos jugadores.

Eliminación de estrategias estrictamente dominadas “Derecha” es una estrategia estrictamente dominada por “centro” para el jugador 2. Ni “alta” ni “baja” son estrategias estrictamente dominadas para el jugador 1. El jugador 1 puede eliminar “derecha”. Y, en el juego resultante, “baja” es estrictamente dominada por “alta” para el jugador 1.

Eliminación de estrategias estrictamente dominadas Si el jugador 1 es racional, no elegirá “baja”. Si el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional, y el jugador 2 sabe que el jugador 1 sabe que el jugador 2 es racional, el jugador 2 puede eliminar “baja” del espacio de estrategias del jugador 1, quedando el juego como lo indica la figura al lado. “Izquierda” está estrictamente dominada por “centro” para el jugador 2, quedando (alta, centro) como resultado del juego.

Eliminación de estrategias estrictamente dominadas En este juego no hay estrategias estrictamente dominadas para ser eliminadas.  Equilibrio de Nash como refinamiento de la eliminación de estrategias dominadas.

Fundamentación del Equilibrio de Nash Equilibrio de Nash: (B, D).

Fundamentación del Equilibrio de Nash “La Batalla de los Sexos” en juego estático Un hombre y una mujer están tratando de decidir qué harán esta sábado. Deben elegir entre ir a la ópera o a un combate de boxeo. Ambos preferirán pasar el día juntos, pero Patricio preferiría estar juntos en el boxeo, mientras que Susana preferiría estar juntos en la ópera. Patricio Susana

Fundamentación del Equilibrio de Nash “La Batalla de los Sexos” en juego simultáneo Resolver por inducción hacia atrás. Susana Ópera Boxeo Patricio Patricio Ópera Boxeo Ópera Boxeo 2 1 1 2

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” Definiendo Si como el conjunto de estrategias con que cuenta el jugador i, y la combinación de estrategias (s1*, …, sn*) como un equilibrio de Nash si, para cada jugador i, si* es la mejor respuesta del jugador i a las estrategias de los otros n-1 jugadores, entonces, no existe ningún equilibrio de Nash en el conocido juego de las monedas “cara o sello”.

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” Imaginemos que cada jugador tiene una moneda y debe elegir mostrar una cara de la moneda. Si las dos monedas coinciden, esto es, ambas muestran la misma cara, el jugador 2 gana la moneda del jugador 1. Si las caras de las monedas no coinciden entonces el jugador 1 gana la moneda del jugador 2.

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” Para el jugador i una estrategia mixta es una distribución de probabilidad sobre algunas (o todas) las estrategias en Si. Una estrategia mixta para el jugador i es la distribución de probabilidad (q, 1-q), donde q es la probabilidad de elegir “cara” y 0<=q<=1. La estrategia mixta (0,1) es la estrategia pura “cruz” y, la estrategia mixta (1,0) es la estrategia pura “sello”.

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” El jugador 1 cree que el jugador 2 elegirá “cara” con probabilidad q y “sello” con probabilidad 1-q. Es decir, 1 supone que 2 elegirá la estrategia mixta (q, 1-q). Bajo este supuesto las ganancias esperadas del jugador 1 son q*(-1)+(1-q)*1  1-2q ; eligiendo “cara” y, q*(1)+(1-q)*(-1)  2q-1 ; eligiendo “sello”

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” Puesto que, 1-2q > 2q-1 si y sólo si q<1/2, la mejor respuesta en estrategias puras del jugador 1 es “cara” si q<1/2 y “sello” si q>1/2, y el jugador 1 será indiferente entre “cara” y “sello” si q=1/2. 1-2q > 2q-1 -2q-2q > -1-1 -4q>-2 Cambiando de signo a los términos de la desigualdad y, por tanto, cambiando «mayor que» por «menor que»: 4q<2 q<1/2

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” El jugador 2 cree que el jugador 1 elegirá “cara” con probabilidad r y “sello” con probabilidad 1-r. Es decir, 2 supone que 1 elegirá la estrategia mixta (r, 1-r).

Estrategias mixtas El juego de las monedas, “cara o sello” Función de reacción de J2 Equilibrio de Nash (en estrategias mixtas). Si un jugador i elige (1/2, 1/2), (1/2 , 1/2) es la mejor respuesta del jugador j. Función de reacción de J1