Árboles, montículos y grafos Tópicos I Unidad I Árboles, montículos y grafos Semana 1 Arboles de búsqueda

Objetivos Generales Entender el manejo, uso de algoritmos y estructuras de datos avanzados, haciendo énfasis en los algoritmos de internet, seguridad y redes.

Objetivo Específico Implementar algoritmos utilizando estructura de datos avanzadas.

Objetivo Instruccional Implementar algoritmos de búsqueda en arboles binarios.

Análisis de algoritmos Contenidos Análisis de algoritmos Estructuras de datos Arboles Binarios Arboles de búsqueda

Análisis de algoritmos Para la mayoría de los problemas existen varios algoritmos diferentes. ¿Cómo elegir uno que conduzca a la mejor implementación? Normalmente los problemas a resolver tienen un “tamaño” natural (en general, la cantidad de datos a procesar), al que se denominara N y en función del cual se tratara de describir los recursos utilizados (con frecuencia, la cantidad de tiempo empleado). El punto de interés es el estudio del caso medio, es decir, el tiempo de ejecución de un conjunto “tipo” de datos de entrada, y el del peor caso, el tiempo de ejecución para la configuración de datos de entrada mas desfavorable.

Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El primer paso del análisis de un algoritmo es establecer las características de los datos de entrada que utilizara y decidir cual es el tipo de análisis mas apropiado. Idealmente, seria deseable poder obtener, para cualquier distribución de probabilidad de las posibles entradas, la correspondiente distribución de los tiempos empleados en la ejecución del algoritmo. Pero no es posible alcanzar este ideal para un algoritmo que no sea trivial, de manera que, por lo regular, se limita el desarrollo estadístico intentando probar que el tiempo de ejecución es siempre menor que algún “limite superior” sea cual sea la entrada, e intentando obtener el tiempo de ejecución medio para su entrada “aleatoria”.

Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El segundo paso del análisis de un algoritmo es identificar las operaciones abstractas en las que se basa, con el fin de separar el análisis de la implementación. Así, por ejemplo, se separa el estudio del número de comparaciones que realiza un algoritmo de ordenación del estudio para determinar cuantos microsegundos tarda una computadora concreta en ejecutar un código de maquina cualquiera producido por un compilador determinado para el fragmento de código if (a[i] < V)… El primero dependerá de las propiedades el algoritmo, mientras que el segundo dependerá de las propiedades de la computadora.

Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El tercer paso del análisis de un algoritmo es analizarlo matemáticamente, con el fin de encontrar los valores del caso medio y del peor caso para cada una de las cantidades fundamentales. No es difícil encontrar un limite superior del tiempo de ejecución de un programa – el reto es encontrar el mejor limite superior, aquel que se encontraría si se diera la peor entrada posible –. Esto produce el peor caso: el caso medio normalmente requiere un análisis matemático mas sofisticado.

Clasificación de los algoritmos Análisis de algoritmos La mayoría de los algoritmos tienen un parámetro primario N, normalmente el numero de elementos de datos a procesar, que afecta muy significativamente al tiempo de ejecución. El parámetro N podría ser el grado de un polinomio, el tamaño de un archivo a ordenar o en el que se va a realizar una búsqueda, el número de nodos de un grafo, etc.

Análisis de algoritmos Proporcionalidad del tiempo de ejecución de un algoritmo Análisis de algoritmos Proporcionalidad Características 1 La mayor parte de las instrucciones de la mayoría de los programas se ejecutan una vez o muy pocas veces (constante) Log N Cuando el tiempo de ejecución de un programa es logarítmico, este será ligeramente ms lento a medida que crezca N. N Cuando el tiempo de ejecución de un programa es lineal, eso significa generalmente que para cada elemento de entrada se realiza una pequeña cantidad de procesos. N log N Este tiempo de ejecución es el de los algoritmos que resuelven un problema dividiéndolo en pequeños subproblemas, resolviéndolos independientemente, y combinando después las soluciones. N2 Cuando el tiempo de ejecución de un algoritmo es cuadrático, solo es practico para problemas relativamente pequeños. N3 Un algoritmo que procesa tríos de elementos de datos (por ejemplo un bucle anidado triple) tiene un tiempo de ejecución cubico y no es útil mas que en problemas pequeños. 2N Pocos algoritmos con un tiempo de ejecución exponencial son susceptibles de poder ser útiles en la practica, aunque aparecen de forma natural al aplicar el método de la “fuerza bruta” en la resolución de problemas.

Estructuras de datos Estructuras lineales Estructuras no lineales Son flexibles pero son secuenciales, un elemento detrás de otro. Vectores, listas. Estructuras no lineales Junto con los arboles, los grafos son estructuras de datos no lineales Superan las desventajas de las listas Sus elementos se pueden recorrer de distintas formas, no necesariamente uno detrás de otro Son muy útiles para la búsqueda y recuperación de información

ARBOLES Estructuras de datos A B D E C F B D E F Estructura que organiza sus elementos formando jerarquías: PADRES e HIJOS A B D E C F Los elementos de un árbol se llaman nodos Si un nodo p tiene un enlace con un nodo m, p es el padre y m es el hijo Los hijos de un mismo padre se llaman: hermanos Todos los nodos tienen al menos un padre, menos la raíz: A Si no tienen hijos se llaman hoja: D, E, F y C Un subárbol de un árbol Es cualquier nodo del árbol junto con todos sus descendientes B D E F

TERMINOLOGIA Estructuras de datos A B D E C F Camino: Secuencia de nodos conectados dentro de un árbol Longitud del camino: Es el número de nodos menos 1 en un camino Nivel de un árbol: Es el número de nodos entre la raíz y el nodo mas profundo del arbol Altura del árbol: Es el nivel mas alto del árbol Un árbol con un solo nodo tiene altura 1 Nivel (profundidad) de un nodo: Es el número de nodos entre el nodo y la raíz. Grado(aridad) de un nodo: Es el número de hijos del nodo Grado(aridad) de un árbol: Máxima aridad de sus nodos A B D E C F

TAD ARBOL: Definición Informal Estructuras de datos TAD ARBOL: Definición Informal Valores: Un nodo puede almacenar contenido y estar enlazado con sus árboles hijos (pueden ser dos o varios) Operaciones: Dependen del tipo de árbol, pero en general tenemos: Vaciar o inicializar el Arbol void Arbol_Vaciar (Arbol *A); Eliminar un árbol void Arbol_Eliminar(Arbol *A); Saber si un árbol esta vacío bool Arbol_EstaVacio(Arbol A); Recorrer un árbol void PreOrden(Arbol A) void EnOrden(Arbol A) void PostOrden(Arbol A) Tipo Abstracto Datos

TAD ARBOL: Definición Formal Estructuras de datos TAD ARBOL: Definición Formal <arbol> ::= <<NULL>> | <nodo> <nodo> ::= <contenido>{<arbol>} <contenido> ::= <<dato>>{<<dato>>}

Arboles Binarios Tipo especial de árbol Un árbol puede ser un conjunto Cada nodo no puede tener mas de dos hijos Un árbol puede ser un conjunto Vacío, no tiene ningún nodo O constar de tres partes: Un nodo raíz y Dos subárboles binarios: izquierdo y derecho La definición de un árbol binario es recursiva La definición global depende de si misma A B C D RAIZ A B C D E H I F G J Sub. Izq. Sub. Der.

ARBOLES BINARIOS LLENOS Un árbol de altura h, esta lleno si: Todas sus hojas están en el nivel h Los nodos de altura menor a h tienen siempre 2 hijos Sea T un árbol Si T esta vacío, Entonces T es un árbol binario lleno de altura 0 Si T no esta vacío, y tiene h>0 Esta lleno si los subárboles de la raíz, son ambos árboles binarios llenos de altura h-1

ARBOLES BINARIOS COMPLETOS Un árbol de altura h esta completo si: Todos los nodos hasta el nivel h-2 tienen dos hijos cada uno y En el nivel h-1, si un nodo tiene un hijo derecho, todas las hojas de su subarbol izquierdo están a nivel h Si un árbol esta lleno, también esta completo

OTROS Arboles Binarios Un árbol equilibrado es cuando La diferencia de altura entre los subárboles de cualquier nodo es máximo 1 Un árbol binario equilibrado totalmente Los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo tienen las misma altura: es un árbol lleno Un árbol completo es equilibrado Por definición Un árbol lleno es totalmente equilibrado

RECORRIDOS Recorrer es: Como recorrer un árbol Arboles Binarios Visitar todos los elementos de una estructura Como recorrer un árbol Hay tantos caminos, ¿cual escoger? Existe tres recorridos típicos Nombrados de acuerdo a la posición de la raíz Preorden: raíz - subarbol izq. - subarbol der. Enorden : subarbol izq. - raíz - subarbol der. Postorden : subarbol izq. - subarbol der. - raíz

G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I-M-L Arboles Binarios EJEMPLO PREORDEN 1. Visitar raiz 2. Preorden al Subarbol Izq. 3. Preorden al Subarbol Der. G D K B E H M A C F J I L G 1 D 2 K 8 B 3 E 6 H 9 M 12 A 4 C 5 F 7 J 10 L 13 I 11 G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I G G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I-M G-D G-D-B G-D-B-A-C-E-F-K-H-J G-D-B-A-C G-D-B-A-C-E-F G-D-B-A-C-E G-D-B-A-C-E-F-K G-D-B-A-C-E-F-K-H G-D-B-A G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I-M-L

AB y NODOAB: Definición Formal Arboles Binarios AB y NODOAB: Definición Formal <ab>::= nulo | <nodoab> <nodoab>::=<contenido> + <izq> + <der> <izq>::=<ab> <der>::=<ab> <contenido>::<<dato>>|{<<dato>>}

AB Y NODOAB: Declaración Arboles Binarios AB Y NODOAB: Declaración Un árbol binario: es conjunto de nodos Solo se necesita conocer el nodo raíz Cada nodo Tiene Contenido y Dos enlaces: árbol hijo izquierdo, árbol hijo derecho Un nodo hoja, es aquel cuyos dos enlaces apuntan a null De un árbol solo se necesita conocer su raíz La raíz, que es un nodo, puede definir al árbol typedef struct NodoAB{ Generico G; NodoAB *izq, *der; }NodoAB; typedef struct NodoAB *AB;

NODOAB: Operaciones Arboles Binarios Son elementos de un árbol que: Almacenan información (contenido), Conocen hijo izquierdo y derecho, ambos son nodos Operaciones Básicas Crear un nuevo nodo hoja NodoAB *NodoAB_CrearHoja(Generico G); Eliminar hoja existente void NodoAB_Eliminar (NodoArbol **A); Saber si el nodo es o no hoja bool NodoAB_EsHoja(NodoArbol *p);

NODOAB: Mas Operaciones Arboles Binarios NODOAB: Mas Operaciones Consultas de los campos de un nodo Generico NodoAB_ConsultaContenido(NodoAB *nodo); NodoAB *NodoAB_Izq (NodoAB *nodo); NodoAB *NodoAB_Der(NodoAB *nodo); Cambiar los campos de un nodo void NodoAB_SetContenido (NodoAB *nodo , Generico G); void NodoAB_SetIzq(NodoAB *nodo, NodoAB *enlace); void NodoAB_SetDer(NodoAB *nodo, NodoAB *enlace);

AB: CREAR NODO HOJA Arboles Binarios Se debe crear un nodo nuevo: un nodo hoja NodoAB *NuevaHoja(Generico G){ NodoAB *nuevo; nuevo = (NodoAB *)malloc(sizeof(NodoAB)); nuevo->G = G; nuevo->izq = NULL; nuevo->der= NULL; return nuevo; }

AB: Mas Operaciones Arboles Binarios Eliminar Estado del Arbol AB_Eliminar(AB *A); Estado del Arbol bool AB_EstaVacio(AB A); Añadir y remover nodos void AB_InsertarNodo(AB *A, NodoAB *nuevo) NodoAB *AB_SacarNodoxContenido(AB *A, Generico G, Generico_fnComparar fn); NodoAB * AB_SacarNodoxPos(AB *A, NodoAB *pos); Busqueda por contenido NodoArbol *AB_Buscar(AB A, Generico G, Generico_fnComparar fn ); Recorridos void AB_PreOrden(AB A); void AB_PosOrden(AB A); void AB_EnOrden(AB A);

AB: Creando e Instanciando Arboles Binarios AB: Creando e Instanciando Un Arbol Vacío, es aquel cuyo nodo raíz apunta a NULL void AB_Vaciar(AB *A){ *A = NULL; } Para crear una variable tipo Arbol, y empezarla a usar: Instanciarlo (crear variable) Vaciar el árbol Para añadirle una hoja al árbol, crear hoja: AB A; AB_Vaciar(&A); 1 A A = NodoAB_CrearHoja(Generico_CrearEntero(1));

RECORRIDOS: Implementación Arboles Binarios RECORRIDOS: Implementación Como ya se reviso, las operaciones de recorrido son recursivas Ejemplo: EnOrden Recorrer EnOrden al subarbol izquierdo Visitar nodo raiz Recorrer EnOrden al subarbol derecho En todo algoritmo recursivo debemos buscar dos casos: Básico, en que momento termina la recursividad Recursivo, donde la función se llama a si misma Caso Recursivo Si !AB_EstaVacio(raiz) AB_EnOrden(raiz->izq); Mostrar raiz->I AB_EnOrden(raiz->der); Caso Básico Si AB_EstaVacio(raiz) Terminar de recorrer

OPERACION ENORDEN Arboles Binarios void AB_EnOrden(AB A, Generico_fnImprimir imprimir){ if(!AB_EstaVacio(A)){ AB_EnOrden(A->izq,imprimir); imprimir(A->G); AB_EnOrden(A->der,imprimir); } A B C D E F G A 4 B 2 C 6 D 1 E 3 F 5 G 7 Arbol Vacio!, Terminar

APLICACIÓN: Evaluación de Expresiones Arboles Binarios APLICACIÓN: Evaluación de Expresiones Ya se sabe lo de las expresiones InFija, operador en medio PreFija, operador antes de dos operandos PosFija, operador luego de dos operandos Para evaluar una expresión dada, podríamos Pasarla a posfija y usar solo pilas Pasarla a posfija y usar pilas y un árbol de expresión

ARBOL DE EXPRESION Arboles que representan expresiones en memoria Arboles Binarios ARBOL DE EXPRESION Arboles que representan expresiones en memoria Todos los operadores tienen dos operandos La raiz puede contener el operador Hijo izq: operando 1, Hijo derecho: operando 2 Ejemplo: (a+b) + a b c * (a+b)*c + a b

Ejercicio en Clase Arboles Binarios Construya arboles de expresión para: (X+(Y*Z)) * (A-B) Deducir la expresión del siguiente A.B. + a * b - c d

Evaluar una expresión aritmética en infija Arboles Binarios Evaluar una expresión aritmética en infija La expresión se transforma a la expresión posfija Esto, ya sabemos como hacerlo Crear un árbol de expresión Para esto se va a usar una pila y un árbol de caracteres Usando el árbol, evaluar la expresión

Crear un árbol de expresión Arboles Binarios Crear un árbol de expresión Los operandos serán siempre nodos hoja del árbol Los operadores serán nodos padre A*B-C*D+H AB*CD*-H+ + - * D C B A H D - C * H * B A * D C B * C D A A B

Evaluación de la expresión postfija Arboles Binarios Evaluación de la expresión postfija Lo ideal es recuperar los dos operandos, el operador, y ejecutar la opción ¿Que recorrido es el ideal? PostOrden Para evaluar el árbol: Si el árbol tiene un solo nodo y este almacena un operando El resultado de la evaluación es el valor de ese operando Si no 1. Res1 = Evaluó subarbol izquierdo 2. Res2 = Evaluó subarbol derecho 3. Recupero la info de la raiz y efectuo la operación allí indicada, entre Res1 y Res2 + - * D C B A H (A * B) - (C*D) (A * B) - (C*D) y H (A * B) y (C*D) (A * B) - (C*D) + H A * B A A y B (A * B) y C (A * B) y C y D

Árbol binario de búsqueda Árbol de búsqueda Árbol binario de búsqueda Los elementos en un árbol Hasta ahora no han guardado un orden No sirven para buscar elementos Los arboles de búsqueda Permiten ejecutar en ellos búsqueda binaria Dado un nodo: Todos los nodos del sub. Izq. Tienen una clave menor que la clave de la raíz Todos los nodos del sub. Der. Tienen una clave mayor que la clave de la raíz 55 30 75 85 4 41 4 5 9 6

TAD ABB: Definición Árbol de búsqueda Valores: Operaciones <abb>::= NULL | <abb_nodo> <abb_nodo>::=<clave>+<contenido>+<izq>+<der> <izq>::=<abb> <der>::=<abb> <clave>::<<dato>>|{<<dato>>} <contenido>::<<dato>>|{<<dato>>} Valores: Conjunto de elementos Dado un nodo p, Los nodos del árbol izquierdo almacenan valores mayores al de p Los nodos del árbol derecho almacenan valores menores al de p Operaciones Son las mismas operaciones que para un AB Pero en este caso ya tenemos reglas suficientes que nos indican como: Insertar Sacar Buscar typedef struct ABB_Nodo{ Generico clave, G; ABB_Nodo *izq, *der; }ABB_Nodo;

Crear con clave Árbol de búsqueda Como el nodo ahora tiene un campo clave Cambian un poco las operaciones del nodo Ejemplo NodoAB *NuevaHoja(Generico clave, Generico contenido){ NodoArbol *nuevo; nuevo = malloc(sizeof(NodoArbol)); nuevo->clave = clave; nuevo->G = contenido; nuevo->izq = NULL; nuevo->der= NULL; return nuevo; }

CREACION DE UN ABB Árbol de búsqueda Un árbol de búsqueda debe mantener A la derecha valores mayor a la raíz A la izquierda valores menor a la raíz Ejemplo: Construya árbol con los siguientes elementos: 8, 3, 1, 20, 10, 5, 4 8 3 20 1 5 10 4

? Ejercicio en clase Construya el árbol para almacenar: Árbol de búsqueda Ejercicio en clase Construya el árbol para almacenar: 12, 8, 7, 16, 11 ?

Búsqueda de un nodo Árbol de búsqueda Dada una clave, devolver el nodo que la contiene Se comienza en la raíz Si el árbol esta vacío No se encontró Si clave buscada es igual a la clave del nodo evaluado Se encontró Si no Si la clave buscada es mayor a la del nodo evaluado Buscar en el subarbol derecho Buscar en el subarbol izquierdo Buscar(raiz,25) Buscar(raiz,5) 8 3 1 20 10 5 4 5 5 No existe

Implementación de la búsqueda Árbol de búsqueda Implementación de la búsqueda NodoABB *ABB_Buscar(ABB A, Generico clave, Generico_fnComparar comp){ if(ABB_EstaVacio(A)) return NULL; if(f(clave, A->clave) == 0) return A; if(f(clave, A->clave) > 0)) return ABB_Buscar(A->der, clave, comp); else return ABB_Buscar(A->izq, clave, comp); }

Inserción de un nodo Árbol de búsqueda Muy parecido a la búsqueda Debo insertar en la posición correcta El árbol debe mantener sus propiedades Pasos: Crear una nueva hoja Buscar en el árbol donde ponerla Enlazar el nuevo nodo al árbol Insertar(raiz,15) 15>8…der 15<20…izq 8 3 1 20 10 5 4 15>10…der Insertar aqui 15

Implementación de la inserción Árbol de búsqueda Implementación de la inserción bool ABB_Insertar(ABB *A, NodoABB *nuevo, Generico_fnComparar f){ if(!ABB_EstaVacio(*A)){ if(f(nuevo->clave, (*A)->clave) >0) ABB_Insertar((*A)->der, nuevo,f); else if(f(nuevo->clave, (*A)->clave) <0) ABB_Insertar((*A)->izq,nuevo,f); else return FALSE; } else{ //Si esta vacio, alli insertar *A = nuevo; } return TRUE;

Eliminación de un nodo Árbol de búsqueda Es mas compleja que la inserción Al sacar un nodo del árbol El árbol debe mantener sus propiedades El árbol debe reajustarse Pasos: Buscar el nodo p que se va a eliminar Si el nodo a eliminar tiene menos de dos hijos Subir el nodo hijo a la posición del nodo eliminado Si no Ubicar el nodo q con la mayor de las claves menores Reemplazar contenido de p con el del nodo q Eliminar el nodo q que se encontró en el primer paso Eliminar(raiz,34) 34 18 6 90 28 25 20 100 28 34 28 nmayor

Implementación de sacar un nodo Árbol de búsqueda Implementación de sacar un nodo NodoABB *ABB_SacarNodoxContenido(ABB *A, Generico clave, Generico_fnComparar fn) { NodoABB *p, *tmp = *A; if(ABB_EstaVacio(*A)) return NULL; if(fn((*A)->clave, clave) < 0) return(ABB_SacarNodoxContenido(&(*A)->der, clave, fn)); else if(fn((*A)->clave, clave) >0) return(ABB_SacarNodoxContenido(&(*A)->izq, clave, fn)); if((*A)->der == NULL) (*A) = (*A)->izq; else if((*A)->izq == NULL) (*A) = (*A)->der; else tmp = ABB_SacarRaiz(A); return tmp; }

REVISAR… Métodos de búsqueda elementales: Búsqueda secuencial Búsqueda binaria Búsqueda por árbol binario Búsqueda directa en arboles binarios Métodos de ordenación elementales: Ordenación por selección Ordenación por inserción Ordenación de burbuja Ordenación de shell Ordenación rápida (Quicksort)

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