1 7.1 Búsqueda Externa Los algoritmos vistos hasta ahora son adecuados cuando todos los datos están en memoria principal. Gran volúmen de datos: se recurre a memoria secundatria (almacenamiento externo) incluso para las claves. Acceso: siempre igual a un bloque entero (página) de datos, por ejemplo: 4096 Bytes. Effizienz: Número de accesos a una página debe mantenerse al mínimo!

2 Para búsqueda externa: Variante de árboles de búsqueda con: Knoten = Seite Vielwegsuchbäume (árboles de búsqueda de múltiples caminos)

3 Definición (Arbol de busqueda de multiples caminos) El arbol vacio es {}. Sean T 0,..., T n Arboles de busqueda de multiples caminos de un conjunto de claves S, und sea k 1,...,k n una lista de claves con k 1 <...< k n. Entonces la serie T 0 k 1 T 1 k 2 T 2 k k n T n Es un Arbol de busqueda de multiples caminos cuando: Para todas las claves x deT 0 se cumple: x < k 1 Para i=1,...,n-1, para todas las claves x en T i se cumple : k i < x < k i +1, Para cada clave x de T n se cumple: k n < x.

4 Árbol B Definition Un árbol B de orden m ist es un Arbol de busqueda de multiples caminos con las siguientes características 1  #(claves en la raíz)  2m y m  #(claves en nodo interno)  2m Todos los caminos de la raíz a una hoja son igual de largo. Cada nodo con s claves tiene exactamente s+1 hijos.

5 Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:

6 Abschätzungen zu B-Bäumen Un árbol minimal de orden m y altura h tiene: Numero de nodos en el árbol izquierdo y derecho 1 + (m+1) + (m+1) (m+1) h-1 = ( (m+1) h – 1) / m. La raiz tiene una clave, todos los otros nodos tiene m claves. En total: Numero de claves n en un B-Baum de altura h: n  2 (m+1) h – 1 Por lo tanto se cumple que para todo B-Baum de altura h con n claves: h  log m+1 ((n+1)/2).

7 Ejemplo Por lo tanto se cumple que para todo B-Baum de altura h con n claves : h  log m+1 ((n+1)/2). Ejemplo: para Tamaño de página : 1 KByte y Cada entrada correspondiente a una clave: 8 Byte, Se puede elegir m=63 y para Un número de datos de n= Se tiene h  log < 4 y con esto h max = 3.

8 Algoritmos para insertar y eliminar claves en un árbol B Algorithmus insert (root, x) //insertar clave x en el árbol con raíz root buscar x en el árbol de raíz root ; si no se encuentra { sea p hoja donde se terminó la búsqueda; insertar x en la posición adecuada (ordenado); si p tiene 2m+1 claves {overflow(p)} }

9 Algorithmus overflow (p) = split (p) Algorithmus split (p) primer caso: p tiene un padre q. Dividir el nodo rebalsado. La clave del medio va al padre. Anmerkung: la división se tiene que repetir hasta que se llegue a la raiz si es necesario, con lo que la altura del árbol crece en 1. Algorithmus Split (1)

10 Algorithmus split (p) segundo caso: p es la raiz. Dividir el nodo rebalsado. Abrir un nuevo nivel hacia arriba con una nueva raíz que contenga la clave que divide. Algorithmus Split (2)

11 //borrar clave x del árbol con raíz root buscar x en el árbol con raíz root; cuando se encuentra x { si x està en un nodo interno { intercambiar x con la clave siguiente mayor x' // si x está en un nodo interno, hay una clave // siguiente mayor que está en una hoja } sea p la hoja que contiene x; borrar x de p; si p no es la raíz { si p queda con m-1 claves {underflow (p)} } } Algorithmus delete (root,x)

12 Algorithmus underflow (p) si p tiene un nodo hermano con s>m { balance (p,p') } else // como p no es la raíz, un hermano de p tiene que tener por lo menos m claves { sea p' hermano de p; merge (p,p')}

13 Algorithmus balance (p, p') // balancear p con su hermano p' (s > m, r =  (m+s)/2  -m )

14 Algorithmus merge (p,p') // unir p con su hermano realizar las siguientes operaciones: Al final : Si ( q != raíz) und (q tiene m-1 claves) underflow (q) Else (si (q= raíz) y (q vacío)) {liberar q y hacer p la nueva raíz}

15 Rekursion Cuando por un underflow se llega a un merge, debe eventualmente hacerse underflow de un nivel más arriba. Esto puede extenderse hasta la raíz.

16 Ejemplo: ärbol B de Orden 2

17 Costo Sea m el orden del B-Baums, n el número de claves. Costo de la búsqueda, inserción y eliminación: O(h) = O(log m+1 ((n+1)/2) ) = O(log m+1 (n)).

18 Anmerkung: B-Bäume auch als interne Speicherstruktur zu gebrauchen: Besonders: B-Bäume der Ordnung 1 (dann nur 1 oder 2 Schlüssel pro Knoten – keine aufwändige Suche innerhalb von Knoten). Aufwand für Suchen, Einfügen, Löschen: O(log n).

19 Anmerkung: Speicherplatzausnutzung: über 50% Grund: die Bedingung: 1/2k  #(Schlüssel in Knoten)  k Für Knoten  Wurzel (k=2m)

20 Noch höhere Speicherplatzausnutzung möglich, z.B. über 66% mit Bedingung: 2/3k  #(Schlüssel in Knoten)  k für alle Knoten mit Ausnahme der Wurzel und ihrer Kinder. Erreichbar durch 1) modifiziertes Balancieren auch beim Einfügen und 2) split erst, wenn zwei Nachbarn ganz voll. Nachteil: Häufigere Reorganisation beim Einfügen und Löschen notwendig.