ARBOLES ROJO – NEGROS

INTEGRANTES Bazan Gonzales Jose Antonio García López Carlos Omar

Los árboles Rojo – Negros es un tipo de árbol que estan balanceados de tal manera que el tiempo de realizar operaciones sea O(log n) en el peor de los casos. DEFINICION

CARACTERISTICAS Fueron inventados por R. Bayer el cuál los llamo árboles simetricos binarios. El Nodo contiene un campo extra el cuál se llama color. El árbol puede recorrerse por cualquier color, ya sea rojo o negro. Los recorridos mas largos varian a lo mas el doble del mas corto, esto quiere decir que el árbol esta practicamente balanceado.

PROPIEDADES Cada Nodo solo puede tener un solo color ya sea Rojo ó Negro. Cada apuntador de Hoja es de color negro. Si el Nodo es Rojo ambos Hijos son negros Cada camino desde cualquier Nodo hasta una Hoja contiene el mismo número de Nodos negros.

NODORB enum BOOL{ FALSO, VERDADERO}; enum COLOR{ NEGRO, ROJO}; template class NODO_ARBOL{ public: NODO_ARBOL(T x){dato = x; izquierdo = derecho = NULL; Color = NEGRO}; NODO_ARBOL *GetIzq(){return izquierdo;}; void SetIzq(NODO_ARBOL *ptr){izquierdo = ptr;}; NODO_ARBOL *GetDer(){return derecho;}; void SetDer(NODO_ARBOL *ptr){derecho = ptr;}; T GetDato(){return dato;}; COLOR GetColor(){return Color;}; void SetColor(COLOR C){ Color = C;} void SetDato(T x){ dato = x;}; private: NODO_ARBOL *izquierdo, *derecho; T dato; COLOR Color; }

ROTACION Las operaciones INSERTA y ELIMINA de un arbol Rojo-Negro modifican la estructura de este y pueden violar las propiedades de los mismos antes mencionadas, por lo cual es necesario reestablecerlas lo que implicaria cambiar el color de algunos nodos.

TIPOS DE ROTACION Rotacion Izquierda: –Cuando realizamos una Rotacion Izquierda a un nodo x, asumimos que su hijo derecho no es nulo. x y y b a y x by a

TIPOS DE ROTACION Rotacion Derecha: –Cuando realizamos una Rotacion Derecha a un nodo Y, asumimos que su hijo izquierdo no es nulo. x y y b a y x by a

CODIGO PARA ROTAR A LA IZQUIERDA void ARBOLRB ::RotarIzq(NodoRB *x){ NodoRB *y; y = x -> GetDer(); x = SetDer(Y -> GetIzq()); y -> setIzq(x); if(Padre(x) == NULL) Raiz = y; else{ if (Padre(x) -> GetIzq() == x) Padre(x) -> SetIzq(y); else Padre(x) -> SetDer(y); }

SENTINELA El sentinela es un modo auxiliar que nos ayudará para el proceso de eliminación de un nodo, al insertar un nuevo ambos hijos deberán apuntar al sentinela, el sentinela será de color negro y no guardará ningún dato, éste se declarará dentro de la clase árbol

Declaración de un sentinela //parte privada de la clase ARBOLRB private: NODORB *RAIZ, SENTINELA(-26554); // se crea con // un dato arbitrario };

INSERCIÓN Un arbol Rojo-Negro es un arbol binario, por lo tanto una inserción en este se hara de la misma forma que en un binario, pero el nodo a insertar sera siempre rojo. Posteriormente se reajustan las propiedades del mismo. Al momento dehacer la insercion, los apuntadores derecho e izquierdo del nuevo nodo son apuntados hacia el “centinela”. Existen tres casos para la inserción de un nuevo nodo.

Caso 1: El tio de x es Rojo. –Como el abuelo de x es negro, se colorea al padre y al tio de x de Negro y de Rojo al abuelo. Caso 2: El tio de x es Negro y x es hijo derecho. –Se usa una rotación a la izquierda para llevarlo al caso tres, en el que x es hijo izquierdo CASOS DE INSERCIÓN

Caso 3: El tio de x es Negro y x es hijo izquierdo. –Como x y su padreson rojos, se hace una rotacion derecha, para colorear al padrede x de negro y al abuelo de x de rojo, de modo que la nueva raiz del subarbol es el padre de x, cuyo hijo izquierdo es x e hijo derecho el abuelo de x.

INSERTA BOOL ARBOLRB ::Inserta(T x){ NodoRB *aux, *y; if(inserta2(x,Raiz)){ // dentro de este inserta se modifican los aux = Localiza(x); //apuntadores al centinela aux -> SetColor(ROJO); while(aux != Raiz && Padre(aux) -> GetColor = ROJO){ if(Padre(aux) = Padre(Padre(aux)) -> GetIzq()){ y = Padre(Padre(aux)) -> GetDer(); if(y -> GetColor() = ROJO){ Padre(aux) -> SetColor(Negro); y -> SetColor(NEGRO); Padre(Padre(aux)) -> SetColor(ROJO); aux = Padre(Padre(aux)); } else{ if(aux = Padre(aux) -> GetDer()){ aux = Padre(aux); RotarIzq(aux);

CONTINUACIÓN Padre(aux) -> SetColor(NEGRO); Padre(Padre(aux)) -> SetColor(ROJO); RotarDer(Padre(Padre(aux))); } else //lo mismo que el if pero con GetIzq y GetDer intercambiados } Raiz -> SetColor(NEGRO); return VERDADERO; } return FALSO; }

ELIMINA void NODORB ARBOLRB ::Elimina(T dato){ NODORB *z, *y, * x; z = Localiza(dato); if(z -> GetIzq() = &SENTINELA || z -> GetDer() = &SENTINELA) y =z; else y = Sucesor(z); if(y -> GetIzq() != SENTINELA) x = y -> GetIzq(); else x = y -> Getder(); if(Padre(y) = SENTINELA) RAIZ = x;

CONTINUA else{ if(EsIzq(y)) Padre(y) -> SetIzq(x); else Padre(y) -> Setder(x); } if(y != z){ // copiar los campos de y a z } if( y -> GetColor() == NEGRO) Reordena(x); }

REORDENA void ARBOLRB ::Reordena(NodoRB *ptr){ NodoRB *aux; while(ptr != Raiz && ptr -> GetColor = NEGRO){ if(ptr = Padre(ptr) -> GetIzq()){ aux = Padre(ptr) -> GetDer(); if(aux -> GetColor() = ROJO){ aux -> SetColor(NEGRO); Padre(ptr) -> SetColor(ROJO); RotarIzq(Padre(ptr)); aux = Padre(ptr) -> GetDer(); } if(aux -> GetIzq() -> GetColor() == NEGRO && aux -> GetDer() -> GetColor == NEGRO){ aux -> SetColor(ROJO); ptr = padre(ptr); }

CONTINUACION else{ if(aux -> GetDer() -> GetColor() == NEGRO){ aux -> GetIzq() -> SetColor(NEGRO); aux -> SetColor(ROJO); RotarDer(aux); aux = Padre(ptr) -> GetDer(); } aux -> SetColor(Padre(ptr) -> GetColor); Padre(ptr) -> SetColor(NEGRO); aux -> GetDer -> SetColor(NEGRO); RotarIzq(Padre(ptr)); ptr = Raiz; } else //lo mismo que el if pero con GetIzq y GetDer intercambiados } ptr -> setColor(NEGRO); }

SUCESOR El sucesor es una funcion que nos regresa el valor del dato siguiente al dato actual, pero siguiendo las reglas del recorrido en orden, es decir si existen los numeros 5, 8, 9 en el arbol, la funcion Sucesor del 5 me debera retornar un apuntador al dato siguiente en el recorrido el cual es 8.