33 COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD II :INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Competencia: -El estudiante debe utilizar correctamente los conceptos de experimento aleatorio,espacio muestral, eventos, para su aplicación en el Algebra de Eventos ;la Teoría Combinatoria en las técnicas del conteo Objetivos. -Aplicar adecuadamente los conceptos de experimentos aleatorios, la Teoría Combinatoria y el Algebra de eventos en la descripción y determinación de los espacios muestrales. Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes conceptos :Experimento aleatorio, espacio muestral,eventos, Algebra de eventos ; La teoría combinatoria como la Combinación y Permutación de un conjunto de elementos,el muestreo con y sin reposición. Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.41 al 47 Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,121 al 133 Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú.Pags1al 51 Referencia electrónica:

34 CONTENIDO MÍNIMO DE TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES: 1.-Introducción a la probabilidad 2.-Definición,axiomas y teoremas de probabilidad 3.-Variable aleatoria 4.-Características de una variable aleatoria 5.-Variable Aleatoria bidimensional

35 Unidad II INTRODUCCIÓN A LA T. DE LAS PROBABILIDADES - Introducción.- La T.de las Probabilidades es el fundamento de la Estadística Matemática ó Inferencial. Para desarrollar ésta teoría es necesario recordar algunos conceptos básicos: -Experimento.- Es todo acto por el cual se prueba una ó más veces algo de la teoría de las ramas de las ciencia Clases de experimentos.:a)Determinístico,b)No determinístico a)Determinístico.-cuando los resultados del experimento pueden determinarse con exactitud. b)No determinístico.- cuando los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud -Experimento Aleatorio.- es todo experimento no determinístico que debe cumplir 2 requisitos: 1.cada experimento puede realizarse indefinidamente 2.-cada experimento tiene varios posibles resultados. Espacio muestral.-  =S es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. -Elemento ó suceso.-a,b,c,....w,es todo elemento del espacio muestral

36 Tipos de experimentos por su composición.- a)Simples ε i ; i=1,2,3,.., cuando se compone de un solo experimento Ej: Sea el ε1 :”lanzar una moneda”  =S={ c, s } b)Compuesto ε.- cuando se compone de 2 ó más experimentos simples simultaneamente,tenemos. 1.b.)Unidos por ó excluyente.- ε = ε1 ó ε 2 Significa que el experimento principal ocurre cuando uno de los simples ocurre,pero no ambos Ej: Sea el ε =“Lanzar una moneda ó un dado”,Describa el  Sol.- ε = ε1 ó ε2   ={ c, s }U {1,2,3,,4,5,6 } ={ c, s,,1,2,3,4,5,6 } 2.b.)Unidos por la “y” incluyente.- ε = ε1 y ε2 significa que el experimento principal ocurre cuando ambos simples ocurren simultaneamente ó uno tras otro Ej.Sea el ε =“Lanzar una moneda y un dado”,Describa el  Sol: ε = ε1 y ε2  ={ c, s }x {1,2,3,,4,5,6 }   = ={1c,2c,3c,4c,5c,6c,1,s,2s,3s,4,s,5,s,6s }

37 -Eventos A,B,C,.....E....-es todo subconjunto del espacio muestral E C S. Clases de eventos.- -Unitario.- aquel evento que tiene un solo evento  E={w} -Imposible.- aquel evento que no tiene elementos  E =  -Eventos compuestos.-cuando se componen de 2 ó más eventos,cuya descripción necesita de algunas técnicas como tablas árbol lógico, teoría combinatoria Ej.Sea el ε=“Lanzar un dado 2 veces”,se definen los siguientes eventos: A:”La suma sea 1”,B:”la suma sea 12”,C:” La suma sea 7” ;descríbalos-  ={(11)(12)(13)(14)(15)(16)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(31)(32)(33)(34)(35)(36).(41)(42)(43)(44)(45)(46)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(61)(62)(63)(64)(65)(66) } A=  ; B ={6,6 }; C={16, 25,34,43,52,61 }

38 - Algebra de Eventos.-dado que el “ S” se asemeja al conjunto Universo y un evento a un subconjunto,se puede aplicar la teoría de conjuntos a los eventos,donde se presentan algunos eventos especiales: 1)A U B = ocurre por lo menos uno de ellos 2)A  B= ocurren todos 3)AUB= AB =ninguno ocurre 4) AB U AB = exactamente uno ocurre Ej.sean A,B,C ;3 eventos definidos en el”S”.Expresar c/u de los siguientes eventos en términos de conjuntos a)Ocurren exactamente 2 de los eventos: ABCUABC UABC b)No ocurre ninguno de ellos : A  B  C c)Ocurren todos: ABC

39 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Sean 2 eventos A;B definidos en “S”,tal que A  B=  ; generalizando :sean n eventos Ai mutuamente excluyentes,tal que Ai  Aj=  ;  i  j i,j:1,2,3,....n EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS.- Sean 2 eventos A,B definidos en el “S”,tal que AUB=  generalizando sean n eventos Ai colectivamente exhaustivos tal que A 1 UA 2 U...UA n =  ; UA i = 

40 TECNICAS DEL CONTEO.- Cuando el espacio muestral o los eventos tienen una gran cantidad de elementos,entonces ya no es necesario describir sino determinar cuantos son los elementos,para ello se debe recurrir a la teoria combinatoria,la misma que se basa en dos proncipios fundamentales: 1) De la multiplicacion.-Si un experimento aleatorio ε 1 ocurre de n 1 maneras y si para cada una de estas,un experimento ε 2 ocurre de n 2 maneras entonces los dos experimentos juntos ocurren de n 1 * n 2 maneras. Ej. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del: ε :” lanzar una moneda y un dado” Sol.- ε = ε 1 ^ ε 2 n = n 1 * n 2 ; n= 2x6 = 12 elementos 2) De la Adicion.-Si un experimento aleatorio ε 1 ocurre de n 1 maneras y un segundo experimento ε 2 ocurre de n 2 maneras entonces el experimento ε que consiste en realizarlos ε 1 o ε 2 (forma excluyente),ocurre de n 1 + n 2 maneras Ej.¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del: ε :” lanzar una moneda o un dado” Sol.- ε = ε 1 o ε 2 n = n 1 + n 2 ; n= 2 +6 = 8 elementos

41 TEORÍA COMBINATORIA Que se basa en los principios:el de la multiplicación y el de la adición -Permutación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto,donde interesa el orden Definición.- nPr = n! / (n-r)! Cuando r < n ; nPr = n!,si r = n -Combinación.-es un arreglo de todo o parte de un conjunto donde no interesa el orden. Definición.- nCr = n! / r! (n-r)! Ej,Un estudiante debe responder 8 de 10 preguntas,de cuántas maneras a)Puede escoger,b) si tiene q´contestar 4 de las 5 primeras. Sol.-a) 10 C 8 = 10! / 8 ! 2! = 45 maneras b) 5 C 4* 5 C 4 = 25 maneras

42 Permutaciones especiales.- A) Permutaciones circulares.- se aplican cuando el arreglo es poligonal Definicion.- PCn = (n-i)! Ej. De cuantas formas diferentes pudieronen sentarse en la ultima cena? Sol.- n= 13 comensales ; PC13 = (13-1)! =12! = formas B)Permutaciones condicionales.- se aplica cuando se desea ordenar n objetos de manera que k (k<n) de ellos no esten juntos. Definicion.- PKn = n! – k!(n-k+1)! Ej.-De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar todos los elementos del conjunto={1,2,3,4,5,6,7,8,9} de manera que los elementos 1 y 9 no aparezcan juntos. Sol.- n=9 k=2 ; PK9 = 9! -2!(9-2+1)! = c) Permutaciones con reiteracion.- apliacmos cuando el conjunto total de elemntos tiene elemntos que se repiten Definicion.- Pn1 n2….nk = n!/n1! n2! n3!....nk! Ej.De cuantas maneras pueden disponerse 12 objetos iguales en todo excepto el color de los cuales 3 son negras,4 blancas y 5 rojas Sol.- n=12; n1=3 ; n2= 4; n3= 5 ; P3,4,5 = 12!/(3!4!5!) = 27720

43 Aplicaciones de la combinatoria en el muestreo.- El muestreo se puede realizar de dos formas: a)Muestreo con reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo cuando un objeto se extrae y luego se lo repone antes de extraer el siguiente objeto. Entonces si se extrae “r” extracciones de una muestra de “n” elementos entonces el numero de formas sera nxnx n xn ……….xn B)Muestreo sin reemplazo.-se tiene este tipo de muestreo cuando un objeto se extrae y luego no se lo repone antes de extraer el siguiente objeto.Por lo tanto el numero de maneras de extraer “n” elementos de una muestra con “r” extracciones sera n(n-1)(n-2)(n-3)……….(n-r+1) = n!/(n-r)!. Ej. Considerando las placas de automoviles que tiene tres letras seguidas de tres digitos.si pueden emplearse todas las combinaciones posibles¿Cuántas placas diferentes pueden formarse? Sol.- 26³. 10³= 17576(10)³