Mecanicismo-determinismo-predicción Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) Demonio

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos." Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)

¿Predicción? Sí Átomos/Entropía Probabilidad Mecánica estadística Mecánica cuántica Indeterminación ¿Predicción? Sí

Caos determinista ¿Predicción? No Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos prever, y entonces decimos que dicho efecto se debe al azar. H. Poincaré, Ciencia y método (1908)   Caos. La Creación de una Ciencia James Gleick Seix Barral, 1998 Traducción del original "Chaos. Making a New Science" en Viking, 1987. Escrito por un periodista del periódico The New York Times. Relata los comienzos y el primer desarrollo de la ciencias no lineal en un lenguaje muy accesible. Un síntoma de que se trata de un buen escrito es que aparece como bibliografía en algunos artículos científicos. Sensibilidad a las condiciones iniciales (Efecto mariposa). Azar a partir de ecuaciones simples. Orden en el azar. Azar local vs. estabilidad global. ¿Predicción? No Determinismo no es igual a predicción.

Sistemas dinámicos discretos Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio.    

Sistemas dinámicos discretos    (1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido crearemos un circuito de retroalimentación del volumen: Vt+1 = r·Vt    donde V es el volumen y r la ganancia efectiva.    (2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos capital (generalmente vemos que menos).     St+1 = r·St   donde St es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa de interés - tasa de inflación).    (3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones varían en el tiempo (solo para gente con microscopio).    Pt+1 = r·Pt  donde Pt = número de células, población, en la t-ésima generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción) = fecundidad.  

xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ... xt+1 = rt+1 · x0 La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V0 decibelios, S0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente. Tenemos:    xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ...    Dada una condición inicial x 0:  x1 = r · x0     x2 = r · x1 = r2 · x 0  ...  Y en general:  xt+1 = rt+1 · x0    Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en cualquier instante. Observemos que, a pesar de que la ecuación es lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión geométrica.  Una serie temporal no lineal no implica necesariamente reglas dinámicas no lineales.   

Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r. Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles. Decaimiento exponencial 0 < r < 1 xt+1 = r· xt

xt+1 = r· xt xt+1 = r· xt Crecimiento exponencial r > 1 Comportamiento estacionario r = 1  xt+1 = r· xt

xt+1 = r· xt Decaimiento oscilante -1 < r < 0 Crecimiento oscilante r < -1 Ciclo periódico r = -1

El mundo es un pañuelo Un paseo pluridisciplinar por la ciencia Bartolo Luque Publicacions de la Universitat de València, colección sin fronteras (2009). Finalista del Premio Europeo de Divulgación Científica Estudi General 2007. ISBN: 978-84-370-7325-5.  El mundo es un pañuelo Un paseo pluridisciplinar por la ciencia Bartolo Luque Publicacions de la Universitat de València, colección sin fronteras (2009). Finalista del Premio Europeo de Divulgación Científica Estudi General 2007. ISBN: 978-84-370-7325-5. Capítulo 3. Vídeo-iterando, video-iterando, el caos se va alcanzando ¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.

Patrones complejos pueden ser generados por procesos simples

Vídeo-retroalimentación El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenieros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) para referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de retroalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.       Conecte la salida de una cámara de vídeo a la entrada de señal de un televisor. De esa manera las imágenes recogidas por la cámara serán vistas en la pantalla. ¿Qué ocurre si apuntamos la cámara a la propia pantalla del televisor? La imagen que aparece en el televisor es capturada por la cámara, que la regresa de nuevo al televisor, que vuelve a ser capturada por la cámara, que... ¡Estamos iterando la imagen! En nuestra calculadora conseguíamos iterar un paso cada vez que apretábamos el botón de raíz cuadrada. Con este experimento conseguimos 25 iteraciones por segundo y sin tan siquiera mover un dedo. Y además obtenemos imágenes físicas y no cadenas simbólicas.

¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje ¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje? Si situamos la cámara a larga distancia obtendremos una secuencia de pantallas dentro de pantallas en una sucesión que se aleja. En la fotografía puede observar uno de estos efectos conseguido con un astuto giro de la cámara.  El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente, como para que desde su visor de cámara sólo observemos pantalla, observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que le resultarán hipnóticas, baje el brillo del televisor y ponga alto el contraste. Apague la luz de la habitación y ajuste ahora el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco del televisor. Es decir, nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema puede modificar muchas variables como el zoom, el foco, el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor, etc.

Al igual que en nuestra calculadora podíamos comenzar a partir de un número x0 cualquiera (excepto negativos) como condición inicial, en nuestro experimento podemos utilizar un sinfín de objetos como imagen inicial. Pruebe a mover una vela o un mechero encendidos entre la cámara y el televisor para obtener resultados semejantes al de las siguientes fotografías.  

Clasificando los resultados Después de experimentar un rato observará que los patrones espaciales se pueden clasificar en cuatro clases según su evolución en el tiempo: (1) La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo. (2) Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico). (3) Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista). (4) Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).          Sin duda las imágenes más interesantes corresponden a esta cuarta categoría. Aquí tiene algunos ejemplos:

Simular para entender Los experimentos con vídeo-retroalimentación se remontan al nacimiento de la televisión. Muchos artistas se han mostrado interesados en sus posibilidades estéticas. Si ha experimentado con el sistema habrá observado que el efecto de algunos controles sobre el resultado final es relativamente fácil de entender. Sin embargo, el de otros es endemoniadamente difícil. Fue el físico J. P. Crutchfield ("Space-time dynamics in video feedback," Physica 10D (1984) 229-245)  quien primero estudió teóricamente el sistema.      Crutchfield propone un modelo matemático para emular lo que ocurre en nuestro experimento con vídeo y televisor. Asume que una imagen se describe como una matriz dos dimensional que puede ser rotada o magnificada. Para iterar una imagen se acopla cada píxel de la matriz con sus píxeles vecinos de manera especificada por el valor del foco, se rota la imagen de manera especificada por el ángulo escogido y se magnifica por el valor z del zoom, los tres parámetros regulables del modelo. El proceso viene descrito por una ecuación de iteración semejante a las que expusimos al comienzo del ensayo, pero, como el lector puede suponer, matemáticamente mucho más compleja. Para iterar la ecuación, Crutchfield utilizó un ordenador. De esta manera determinó que existían dos tipos básicos de comportamientos dependientes del valor del zoom. Cuando el zoom era menor que uno los puntos de luz en la imagen, se obtenían patrones en espiral hacia el centro. Cuando el zoom es mayor que uno los puntos de luz se magnifican hacia el exterior, formando en algunos casos espirales con estructura autosimilar, fractal. La siguiente tabla muestra una clasificación de los resultados:

Para seguir explorando Si dispone de una cámara acoplada a su ordenador, una típica web-cam, puede construir igualmente el circuito de retroalimentación que hemos descrito. Y además, con un poco de pericia informática podrá medir la intensidad luminosa de los patrones dinámicos que genere. En la gráfica que acompaña a este texto presentamos el resultado de la variación de intensidad con el tiempo. Las primeras gráficas muestran el comportamiento de una mancha pulsante periódica. Al variar convenientemente las variables del sistema se observan cambios en el periodo. En concreto la quinta, sexta y séptima línea muestran un periodo de duración doble.  Así que al variar los parámetros de forma continua, el periodo se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de video-iteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.

One-dimensional maps One-dimensional maps, definition: - a set V (e.g. real numbers between 0 and 1) - a map of the kind f: VV Linear maps: - a and b are constants - linear maps are invertible with no ambiguity  no chaos 1) Why linear maps are not good for chaos? Check EXACTLY what goes wrong 2) Add a formal definition of a map: given a set V={x_n}, a map is f:VV Non-linear maps: The logistic map Iniciación al Caos. Sistemas Dinámicos Miguel Ángel Martín, Manuel Morán Cabré, Miguel Reyes Síntesis, 1995

One-dimensional maps Non-linear maps: The logistic map with Discretization of the logistic equation for the dynamics of a biological population x Motivation: b: birth rate (assumed constant) cx: death rate depends on population (competition for food, …) How do we explore the logistic map? 1) STRTCHING AND FOLDING??!!!!

Geometric representation 1 Evolution of a map: 1) Choose initial conditions 2) Proceed vertically until you hit f(x) 3) Proceed horizontally until you hit y=x 4) Repeat 2) 5) Repeat 3) . : x f(x) 0.5 1 Evolution of the logistic map fixed point ? 1) In the motivation (Pag.40 of notes) it is written that if species have a definite reproductive season, then one has a discrete map, and not a differential equation… WHY??!!!

Phenomenology of the logistic map b) y=x f(x) 1 0.5 y=x f(x) 1 0.5 fixed point fixed point c) 1 0.5 1 0.5 d) chaos? 2-cycle? In the motivation (Pag.40 of notes) it is written that if species have a definite reproductive season, then one has a discrete map, and not a differential equation… WHY??!!! Recall the DEFINITION OF A FIXED POINT, from Pag.7 of the notes (“special point where the velocity field is zero”. The system is then in mechanical equilibrium) What’s going on? Analyze first a)  b) b)  c) , …

Geometrical representation x f(x) 1 0.5 x f(x) 1 0.5 Evolution of the logistic map fixed point In the motivation (Pag.40 of notes) it is written that if species have a definite reproductive season, then one has a discrete map, and not a differential equation… WHY??!!! Recall the DEFINITION OF A FIXED POINT, from Pag.7 of the notes (“special point where the velocity field is zero”. The system is then in mechanical equilibrium) How do we analyze the existence/stability of a fixed point?

Fixed points Stability Logistic map? - Condition for existence: - Notice: since the second fixed point exists only for Stability - Define the distance of from the fixed point - Consider a neighborhood of - The requirement implies Logistic map? Taylor expansion 1) In the motivation (Pag.40 of notes) it is written that if species have a definite reproductive season, then one has a discrete map, and not a differential equation… WHY??!!!

Stability and the Logistic Map - Stability condition: - First fixed point: stable (attractor) for - Second fixed point: stable (attractor) for No coexistence of 2 stable fixed points for these parameters (transcritical bifurcation) x f(x) 1 0.5 x f(x) 1 0.5 What about ?

Evolution of the logistic map Period doubling 1 Observations: x 1) The map oscillates between two values of x f(x) 0.5 1 0.5 1 Evolution of the logistic map Check WHAT IS THE EXACT DEFINITION OF PITCHFORK BIFURCATION??!!! FROM egwald-online. MAKE A LIST OF POSSIBLE BIFURCATIONS?! Add that since x_{n+2}=x_n it is natural to regards these fixed points as stable fixed points (attractors) for f(f(x)). 2) Period doubling: What is it happening?

Why do these points appear? Period doubling - At the fixed point becomes unstable, since Observation: an attracting 2-cycle starts  (flip)-bifurcation The points are found solving the equations 1 0.5 > and thus: These points form a 2-cycle for However, the relation suggests they are fixed points for the iterated map Stability analysis for : and thus: For , loss of stability and bifurcation to a 4-cycle Now, graphically.. Why do these points appear? Rifare the stability analysis as in pag.22 of Rasband EXPLAIN SOMEWHERE HOW TO GET THE FEILGELBAUM NUMBER, \mu_{\infty}, AND SHOW THE TABLE WITH THE BIFURCATION NUMBERS AS IN Rasband PAG.23

Bifurcation diagram Plot of fixed points vs Check WHAT IS THE EXACT DEFINITION OF PITCHFORK BIFURCATION??!!! FROM egwald-online. MAKE A LIST OF POSSIBLE BIFURCATIONS?! _DEFINE_ PITCHFORK BIFURCATIONS!! AS IN PAG.31 OF Rasband 3) SHOW THAT THE LYAPUNOV EXPONENT SHOWS CHAOS..

Bifurcation diagram Plot of fixed points vs What is general? Observations: Infinite series of period doublings at pitchfork-like (flip) bifurcations After a point chaos seems to appear 3) Regions where stable periodic cycles exist occur for What is general? Check WHAT IS THE EXACT DEFINITION OF PITCHFORK BIFURCATION??!!! FROM egwald-online. MAKE A LIST OF POSSIBLE BIFURCATIONS?! _DEFINE_ PITCHFORK BIFURCATIONS!! AS IN PAG.31 OF Rasband 3) SHOW THAT THE LYAPUNOV EXPONENT SHOWS CHAOS..

Bifurcation diagram How do we characterize/quantify chaos? General points: Period doubling is a quite general route to chaos (other possibilities, e.g. intermittency) Period doublings exhibit universal properties, e.g. they are characterized by certain numbers that do not depend on the nature of the map. For example, the ratio of the spacings between consecutive values of at the bifurcation points approaches the universal “Feigenbaum” constant. The latter occurs for all maps that have a quadratic maximum Thus, we can predict where the cascade of period doublings ends, and something else starts The something else looks chaotic, however, can we quantify how chaotic really is? How do we characterize/quantify chaos? Chaos: rapid divergence of nearby points in phase space Measure of divergence: Lyapunov exponent

Lyapunov exponent One dimensional systems One-dimensional system with initial conditions and with After n iterations, their divergency is approximately - If there is convergence  no chaos - If there is divergence  chaos One dimensional systems After n steps Logistic map Thus: Prove the “CHAIN RULE” (chain rule)

Stretching and folding Beginning of the lecture: “Chaos: is aperiodic long-term behavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence on initial conditions ” However, in general it is necessary to have a mechanism to keep chaotic trajectories within a finite volume of phase-space, despite the expoential divergence of neighboring states 1/2 1 “stretching” (divergence) for (0,1/2) “folding” (confinement) for (0,1/2) - “stretching+folding” is responsible for loss of information on initial conditions as the iteration number (time) increases - for 1D maps, non-linearity makes “time”-inversion ambiguous  loss of information Prove the “CHAIN RULE” 1/2 1

Conclusions Chaos - the logistic map Phenomenology: - Initial conditions, fixed points and linear stability - Bifurcation analysis, period doubling - Bifurcation diagrams - Chaos Prove the “CHAIN RULE” Analysis: Lyapunov exponents Stretching and folding Conclusions

  Chaos and Fractals. New Frontiers of Science Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe Springer-Verlag, 1992   Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise Manfred Schroeder W. H. Freeman, 1992

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback Gain=.59 M(xn) Frequency xn x

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback Gain=.59 M(xn) Frequency xn xn+1 x

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) Gain=.59 M(xn) Frequency xn xn+1 x

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) Gain=.59 M(xn) Frequency xn xn+1 x xn+2

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) M(xn+1) Gain=.59 M(xn) M(xn) Frequency xn xn xn+1 xn+1 x xn+2 xn+2

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) M(xn+1) Gain=.59 M(xn) M(xn) Frequency xn xn xn+1 xn+1 x xn+2 xn+2

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) Gain=.59 M(xn) Frequency xn xn+1 x xn+2

Period Doubling Single Frequency Steady State M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback M(xn+1) Gain=.59 M(xn) Frequency xn xn+1 x xn+2

Period 2 Orbit Logistic Map M(x) xn+1=rxn(1-xn) x Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback Gain=.78 x Frequency

Period 4 Orbit M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) x Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback Gain=.87 x Frequency

Period 8 Orbit M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) x Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback x Frequency

Period 16 Orbit M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) x Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback x Frequency

Chaotic Orbit M(x) Logistic Map xn+1=rxn(1-xn) x Power M(x) Filter profile x=y Frequency shift due to feedback Frequency x

Iterated Map Poincare sections: ODEs → Map Maps by themselves. 1-D map: xn+1 = f(xn) Map → ODEs ???

Poincare Sections Uniqueness of solutions of ODEs → existence of Poincare map Example of Reduction to 1-D map:

Another example: Dissipative system: IC cluster → 0 volume Poincare section of 3-D system Directions with M<<1 ( λ<<0 ) quickly contract. If system is sufficiently dissipative: IC cluster → curve → 1-D map

Essentially 1-D system: Diode circuit High Q: 2-D ? Low Q: 1-D

Effectively 1-D System: Pendulum D = 2/3, b = 1, F = 2.048

1-D Iterated Map Maps have greater range of dynamical behavior than their ODE counterparts Logistic map: Fixed point: Logistic map: Linear stability analysis:

Bifurcations: Period Doubling Route to Chaos Logistic map A < 1 1 < A < 3 A > 3 A = 3 x* = 0 f = A Stable Unstable x* = 1 - 1/A f = 2 - A 2-cycle x1* = f(x2*) x2* = f(x1*) x*j = f(2)(x*j) Period-doubling bifurcation f = -1

2-cycle: → Same stability at x1* and x2* S,U,S At bifurcation point ( A1 = 3 ) : x* = x1* = x2* In general  But not vice versa

(Un)stable f(x*)  (Un)stable f(n)(x*) Let xi(n)* be the ith fixed point of an n-cycle, then (Ex.5.4-4) for i = 1, …, n Prime period of a fixed point = smallest n  x* = f(n)(x*) Ex 5.4-6

f(n): f(2n): f(n) > -1 f(n) = -1 f(n) < -1 S S S, U, S

Lyapunov Exponents Chaos: Divergence of nearby trajectories. x ~ exp(λt) n = Mn-1 1 with λ>0 & |M|>1 Dissipative system: ergodic Consider 2 neighboring points on a chaotic attractor: n large, ε→ 0 xi on same trajectory Best choice of n: dn ~ X/2 An 1-D map is chaotic if λ > 0

Universality: The U Sequence Unimodal map: Piecewise C(1) function of [0,1] into itself with a single maximum at the critical point xc. Monotonic otherwise. By convention, f(0) = f(1) = 0 and xc = 0.5. Shift + scale to unimodal Non-unimodal

Metropolis, Stein & Stein’s U-Sequence Reprinted in P.Cvitanovic, “Universality in Chaos”, 2nd ed., Adam Hilger (84,89) Supercycle of period n: x1 = f(xc) x2 = f(x1) … xn-1 = f(xn-2) xc = f(xn-1) Symbol (kneading) sequence: xi > xc → R, xi < xc → L → Supercycles are most stable

λ = .9895107

Comparison with experiments: favorable. Exceptions: U-sequences beyond periodic doubling accumulation point ( A ~ 3.5699… for logistic map ) are in windows within chaotic regime. Universality. Non-uniqueness: there are other sequences not involving xc. (cf. Singer’s theorem ) Comparison with experiments: favorable. Exceptions: oscillating chemical reactions varactor diode circuit Gaussian map Ex. 5.5-2

Some Generalizations Single minimum: f(x) = 1 – Ax(1-x) Ex. 5.5-3 Scaling: f(x) = Bx(b-x) u = x/b

Schwarzian derivative Introduced originally for complex analysis Sf = 0 if f = (az+b)/(cz+d) = linear fractional transform. Sf < 0, Sg < 0 → S(f。g) < 0 Sf < 0 → Sf(n) < 0. Sf < 0 restricts existence of inflection points: Schwarzian min-max principle: Sf < 0 → f has no positive local minimum or negative local maximum. Pf: f(x*) is min → f(x*) = 0 & f(x*) > 0  Sf < 0 → f(x*) < 0 A unimodal map can have an infinite series of pitchfork bifurcations only if Sf < 0

f < 0, f > 0 , f < 0 f < 0 f > 0, f < 0, f > 0 f > 0 Allowed: Pichfork bifurcation

Singer’s Theorem Let Dom(f)  Ran(f) and Sf < 0, then n critical points → at most n+2 attracting cycles Proof: D.Gulick, “Encounters with Chaos”, McGraw Hill (92) or, R.L.Devaney, “ An Introduction to Chaotic Dynamical Systems”, Benjamin (86)…Theorem 11.4. Corollary: unimodal map has at most 3 stable cycles ( usually only 1 with basin almost everywhere )

Sarkovskii’s Theorem Let f(x,A)  C0. If f has a prime period m at A0, then f(x,A0) has period n to the right of m in the following sequence: 3→5→7→ … → 2×3 → 2×5 → … → 22×3 → 22×5 → … … → 23 → 22 → 2 → 1 { 20(2n+1) } → { 21(2n+1) } → { 22(2n+1) } → … → { 2n ↓ } Note: Multiple appearances not counted. Only stable cycles computable. Pf: R.L.Devaney, “ An Introduction to Chaotic Dynamical Systems”, Benjamin (86) Period 3 → all periods Logistic map: A = 3.8319…. Li & Yorke, “ Period 3 implies Chaos? ” Logistic map: 1→2→4→ … Chaos → ( windows …→7→5→3 )

Organization of Chaos First 8 images of xc. B.D.: only 10 points plotted. Logistic map: bifurcation Heavy lines: images of xc since f’(xc) = 0. If xc is within basin of attractor: xmax = f(xc) xmin = f(2)(xc) f(n)(xc): boundaries of interior bands windows: merging of images of xc. At Ac, images of xc = supercycle. Sarkovskii’s sequence Misiureweiz point: Ex 5.5-7

Feigenbaum Universality Details in Appendices F & H. See operator approach in H.G.Schuster, “Deterministic Chaos” Distance from xc to its nearest neighbor (at half-way) in the 2n supercycle: Feigenbaum α:

Existence of α implies that of a universal function g  Proof: Define  Ansatz: →

Calculating α & g Universality classes of maps are determined by the form of g(y→0). Different class, different α Quadratic class: Maximum at y = 0 with  y Constant term: y2 term:  Better values obtained by considering higher order terms.

Tent ( Triangle ) Map Piecewise linear r Fixed points x* < ½ :

x* condition f(x*) Stability all r 2r stable for r < ½ unstable for r > ½ 2r / (1+2r) r > ½ -2r unstable 1  r > ½ : chaotic Ex 5.7-3: <λ> > 0 f(4) All fixed points of all the f(n)s are unstable.  No period-doubling route 1 unstable f.p. → 2 stable f.p.’s. Period-doubling requires f  C1

Shift Maps & Symbolic Dynamics Decimal shift map: x mod[1] = x (mod 1) = mod(x,1) = fractional part of x xn is left-shifted by 1 digit to give xn+1. x0 x1 x2 x3 0.89763428 0.97634280 0.76342800 0.63428000 x0  Q  fixed point / periodic cycle. x0 = 3/8 → x* = 0 x0 = 22/70 → 6-cycle x0 irrational  trajectory ergodic There’re infinitely many A numbers between any two B numbers ( A,B = rat/irrat )  Sensitive to I.C. Chaotic: <λ> > 0 R is uncountably infinite Q is countably infinite → measure 0 Computer: no irrat numbers

Bernoulli Shift Fractional binary numbers: (7/8)10 = (0.875000)10 = (0.111000)2 .5 + .25 + .125 = .875 Bernoulli Shift x0 x1 x2 x3 0.1101011 0.1010110 0.0101100 0.1011000 Ex. 5.8-1: <λ> = ln 2 Irrational number : digits = randomn sequence Symbolic dynamics C.f. U-sequence Ref: Devaney

Logistic Map (A = 4) ~ Bernoulli Shift <λ> = ln2 Use as random number generator

The Gaussian Map f  C1.  period-doubling sequence Inflection points at → |f|<< 1 for large |x| → stable fixed point at –x << -1 → period-halving sequence ( bubbling ) U-seq violated: diode, osc chem reaction… b = 7.5, x0 = 0

b = 7.5, x0 = 0 b = 4, x0 = 0 b = 7.5, x0 = 0.7 3 fixed points Another violation of U-seq: Antimonotonicity ~ dimple near xc -- e.g., Diode.

2-D Maps Henon Map: C > 0; x,y  R 3-term recurrence: Invertible: For 0 <|B|< 1, y-spread → 0 B = 0.3, C = 1 f(sq) = dots

Bifurcation diagrams (B = 0.3) : {x0,y0} = {0,0.5} {x0,y0} = {0.5,0.5} combined 2 attractors → hysteresis crisis

Smale Horseshoe Map Ref: D.Gulick, “Encounters with Chaos”, McGraw Hill (92) T = [0,1]  [0,1] B, E = semi-circles S = T∪B∪E Shrinks vertically by a < 1/3. Expands horizontally by b = 3. Reshape M(B) & M(E) into semicircles. Fold to fit back in S ( boundaries of M(D) = semicircles ) 

M(n)(S) = 2n-1 connected horseshoes each of width ~ an. M has a unique fixed point p in B to which iterates of all points in B & E converge. All points in S migrate either to p or C+, where = intersect of nested sequence of strips Cijk… i,j,k,… = 0,1 vCijk…  vCi M(v)Cj M(2)(v)Ck … v ~ z = ˙ijk… Forward sequence Cantor set

Inverse mapping: Vi = M(Ci) M(-1)(Vi) = Ci v Vi j = M2(Ci j)  M(-1)(v) M(Ci j)  Cj M(-2)(v)Ci j  Ci v ~ z = ij˙ backward sequence

h ←→ h-1 → h-1 h ← z-2˙z-1 z0˙z1 ˙z0 z-2z-1˙ z-1˙ ˙z0z1 Vij → ij˙ Cij → ˙ij

2-sided sequence: … z-3z-2z-1˙z1 z2 z3 … Invariant set: C* = C+ ∩ C- M is strongly chaotic on C*: Stretch & fold mechanisms. Sensitive on I.C. (Unstable) Periodic points: z  Q. Ergodic ( dense orbits ).

Structure on All Scales Percolation Structure on All Scales Connectivity Transition Punch Holes at Random, Probability 1-P Pc =1/2 Falls Apart (2D, Square Lattice, Bond) Static (Quenched) Disorder David Thouless came up with this example of a continuous transition in a disordered system. One can snip the bonds in a wire mesh at random: at first nothing happens, then a few chunks start falling out, but eventually the mesh falls apart. For an infinite initial mesh, there is a first probability (1-P) of breaking bonds that leads to disintegration. Just at this point, the surviving infinite cluster has holes of all sizes, and zero average mass M(P) per unit area. The picture shown is site percolation, where sites and not bonds are cut out. Why isn’t the mass per unit area P? Plot M(P). Plot cluster size distribution. Largest Connected Cluster P=Pc P=0.49 P=0.51

Self-Universality on Different Scales Self-Similarity Self-Universality on Different Scales Self-similarity → Power Laws Expand rulers by B=(1+e); Up-spin cluster size S, probability distribution D(S) D[S] = A D[S’/C] =(1+ae) D[(1+ce) S’)] a D = -cS’ dD/dS D[S] = D0 S-a/c Random Walks Ising Model at Tc Universal critical exponents c=df=1/sn, a/c=t : D0 system dependent Ising Correlation C(x) ~ x-(d-2+h) at Tc, random walk x~t1/2

Fractal Dimension Df Mass ~ SizeDf Logistic map: Fractal at critical point Cantor Set Middle third Base 3 without 1’s Df = log(2)/log(3) Percolation Random Walk: generic scale invariance critical point

Universality: Shared Critical Behavior Ising Model and Liquid-Gas Critical Point Same critical exponent b=0.332! Liquid-Gas Critical Point r-rc ~ (Tc-T)b r Ar(T) = A r CO(BT) Ising Critical Point M(T) ~ (Tc-T)b r Ar(T) = A(M(BT),T) Universality: Same Behavior up to Change in Coordinates A(M,T) = a1 M+ a2 + a3T Nonanalytic behavior at critical point (not parabolic top) All power-law singularities (c, cv,x) are shared by magnets, liquid/gas

The Renormalization Group Why Universal? Fixed Point under Coarse Graining Renormalization Group Not a group Renormalized parameters (electron charge from QED) Effect of coarse-graining (shrink system, remove short length DOF) Fixed point S* self-similar (coarse-grains to self) Critical points flow to S* Universality Many methods (technical) real-space, e-expansion, Monte Carlo, … Critical exponents from linearization near fixed point System Space Flows Under Coarse-Graining

Renormalization Group Coarse-Graining in Time Dynamics = Map f(x) = 4m x(1-x) m Renormalization Group xn = f(xn-1) x0, x1, x2, x3, x4, x5,… New map: xn = f(f(xn-2)) x0, x2, x4, x6, x8, x10,… Decimation by two! Universality fsin(x) = B sin(p x) ~B