UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Teoría de juegos: Juegos dinámicos (información perfecta) Rafael Salas marzo de 2015

Juegos dinámicos 1. Juegos secuenciales. Está claro el orden en que mueven los jugadores Información perfecta Información imperfecta Información incompleta 2. Juegos estáticos que se juegan un número repetido de veces: juegos repetidos

Juegos dinámicos con informacón perfecta Ejemplo 4-1 (secuencial): Dos empresas rivales consideran la posibilidad de entrar o no en el mercado. Si entran las dos empresas tienen unas pérdidas de 10. Si sólo entra una y la otra, no; tienen beneficios de 50 y 0, respectivamente. Para hacerlo dinámico, la empresa 2 observa lo que hace la 1 antes de tomar la decisión. Es un juego dinámico con información perfecta. Antes habíamos resuelto este mismo juego como un juego estático. ¿Existirá algún cambio de comportamiento al hacerlo secuencial?¿Quién sale ganando?

Versión estática  En forma estratégica.. EMP 2 EMP 1 0 FE F E

Versión dinámica  En forma extendida (-10,-10) E F FFE E (50, 0)(0, 50)(0, 0)

Versión dinámica  En forma estratégica.. EMP 2 EMP 1 0 FFEE F E FEEF

Conceptos de equilibrio Tenemos que definir los conceptos de equilibrio apropiados y estudiar sus implicaciones En todo caso, las soluciones de equilibrio tienen que ser algún equilibrio de Nash del juego (refinamientos del EN)

Teorema previo Teorema de Zermelo (1913) o de Kuhn (1953) Todo juego finito en forma extensiva, con información perfecta, tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias puras La demostración se obtiene por inducción hacia atrás (backward induction)

Inducción hacia atrás  Solución: nos situamos en los nodos anteriores a los terminales y optimizamos. Luego, plegamos y proseguimos (-10,-10) E F FFE E (50, 0)(0, 50)(0, 0) E F (0, 50)(50, 0)

Inducción hacia atrás (IHA)  Solución:  La solución por inducción hacia atrás es (E,EF) o si se quiere la jugada [ E,F ] con pagos (50,0). Demostrado: siempre existe (-10,-10) E F FFE E (50, 0)(0, 50)(0, 0)

Juego de las monedas con información perfecta  No siempre gana el jugador 1:  La solución de este juego trivial, en el que gana 2 es doble (CA,CRCA) y (CR,CRCA) si se quiere las jugadas [CA,CR] ó [CR,CA] con pagos (- 1,1) (1,-1) CR CA CR (-1, 1)(1, -1)(-1, 1)

Práctica  (1) Solucionad por inducción hacia atrás los ejercicios 6 y 7 (distintas versiones) que se plantearon al principio del curso.  NOTA: Cuando aparece la incertidumbre, se aplica la optimización en cada nodo de acuerdo con la utilidad esperada.  (2) Juegos de supermercados de Selten: Un monopolio (emp 1) existente gana 5. Otra empresa (emp 2), que está pensando entrar, gana 1 si decide no entrar y si decide entrar, el monopolio puede: inundar el mercado, en cuyo caso las dos empresas obtendrían un beneficio de 0 ó repartirse el mercado, en cuyo caso las dos empresas obtendrían un beneficio de 2. Resolved por inducción hacia atrás..

Ejemplo (1, -1) d i I D (-1, 1) (1, -1) ID M 2 (1, -1) (-1, 1) 2 1 D id I

Propiedades de la IHA La solución por inducción hacia atrás es un EN del juego, pero no todo EN es la solución por inducción hacia atrás (es un refinamiento del EN). Véase el ejemplo 4-1. La solución por inducción hacia atrás incorpora el concepto de racionalidad secuencial. Excluye las amanazas no creíbles, pues eventualmente nunca serían realizadas por agentes racionales.

Refinamiento del EN  En el ejemplo 4-1 existen 3 EN: (E,FF),(F,EE) y (E,EF) Sólo (E,EF) es el que se consigue por inducción hacia atrás. EMP 2 EMP 1 0 FFEE F E FEEF

Ejemplos Disuasión a la entrada Modelo de Stackelberg Modelo de negociación salarios con empresarios o sindicatos monopolistas Disuasión a la entrada: Teoría del precio límite de Bain (1956)

Disuasión a la entrada  Juego de los supermercados: 2 1 (2, 2) E F L A (0, 0) (5, 1)  Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)

Disuasión a la entrada (2)  No obstante existen 2 EN en forma estratégica:. EMP 2 EMP 1 5 FE L A  Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)  Nos da a pensar en las propiedades de la inducción hacia atrás

Racionalidad secuencial La solución por inducción hacia atrás incorpora el concepto de racionalidad secuencial: Todas las soluciones de equilibrio deben ser mejores respuestas en cada nodo de decisión. Garantizado por la inducción hacia atrás Implica una cierta consistencia dinámica, pues se excluyen las estrategias o acciones que no son óptimas en cada nodo de decisión, que son difíciles de justificar en términos de los jugadores no tengan incentivos a desviarse de esa acción en equilibrio

Racionalidad secuencial (2) Implicaciones de la racionalidad secuencial: Los EN que salen de la inducción hacia atrás la cumplen y los que no, no la cumplen. Es lo que justifica el adoptar este refinamiento de los EN en los juegos secuenciales Otra: Este principio excluye la posibilidad de que los jugadores empleen estrategias o amenazas no creíbles

Amenazas no creíbles  En el juego de los supermercados había 2 EN:. EMP 2 EMP 1 5 FE L A  Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)  Podemos entender el otro EN (L,F) como una amenaza no creíble por parte de la empresa 1...

Amenazas no creíbles (2)  En rojo representamos en EN que sale por IHA: 2 1 (2, 2) E F L A (0, 0) (5, 1)  En azul representamos el otro EN (L,F) con pagos (5,1)  L es una amenaza no creíble. Llegado el juego al nodo segundo, la empresa 1 nunca llegaría a ejercer la amenaza, que va en su perjuicio

Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS) El procedimiento de inducción hacia atrás solo se pueden aplicar a juegos dinámicos finitos y con información perfecta. El tratar de generalizarlos a juegos infinitos o con información imperfecta requiere definir conceptos de equilibrio más generales. ENPS (Selten 1965)

Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS) Subjuegos: Todo juego que empiece en un conjunto de información que contiene un solo nodo e incluye a todos sus sucesores. De existir conjuntos de información con más de un nodo, un subjuego debe incluir todos los nodos (no puede romper esos conjuntos de información) ENPS: Son EN en todos los subjuegos ENPS es un refinamiento: ENPS implica EN de todo el juego No todo EN del juego completo es ENPS

Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS) Mantienen la racionalidad secuencial que vimos para los resultados que salían del algoritmo de inducción hacia atrás. Si hay equilibrios múltiples, hay que definir el algoritmos de IHA generalizado: en el caso de que en un subjuego haya un eq. múltiple, hay que repetir el procedimiento para cada equilibrio.

Ejemplo: 1 Entrante potencial y 2 Monopolio existente (0,2) F E A L LLAA (-2,-1)(3,1)(-3,-1) (1,-2)

Ejemplo: 1 Entrante potencial y 2 Monopolio existente (0,3) F E A L LLAA (-1,-1)(1,1)(-1/2,-1) (1/2,-1)

Otros ejemplos Modelo de Stackelberg Votación con veto El juego de las ruedas El juego del ultimátum Juegos de negociación

Práctica  (3) Modelo de Stackelberg: Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades. La demanda agregada es P=a-X, donde X=X 1 +X 2 y los costes C i =c X i, donde a y c>0. La empresa 1 es la empresa líder o dominante y fija primero las cantidades y la empresa 2, que es la seguidora, las fija una vez que observa lo que hace la líder.  NOTA: Es parecido al modelo de Cournot, pero con esta estructura secuencial.

Práctica  (4) Votación con veto: Primero, el jugador 1 veta a uno de los candidatos {A,B,C,D}. Después, el jugador 2 veta a otro de los restantes. Por último el jugador 3 veta a otro de los restantes y el que queda sale elegido. Las preferencias de los tres jugadores es: U 1 (D)>U 1 (C)>U 1 (B)>U 1 (A) U 2 (C)>U 2 (D)>U 2 (A)>U 2 (B) U 3 (C)>U 3 (A)>U 3 (B)>U 3 (D)  Resuelve por inducción hacia atrás.

Práctica  (5) Juego de las ruedas: Primero, el jugador 1 elige una de las tres ruedas y la hace girar. Después, y antes de que pare, el jugador 2 elige una de las restantes. Gana el que saque el número más alto.  ¿Quién tiene ventaja en este juego?

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