Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Balances envolventes de cantidad de movimiento Película descendente Flujo por el interior de un tubo circular Flujo reptante alrededor de una esfera sólida Nomenclatura Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenados Ecuación de movimiento La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenados Software de modelado de procesos Condiciones límite Ecuación de energía mecánica Forma adimensional de las ecuaciones de variación Capa límite y flujo potencial Capa límite Flujo potencial

Balance de cantidad de movimiento Balance de materia Balance de cantidad de movimiento

Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite 1. Película descendente Régimen estacionario Fluido incompresible z x x = 0 x = δ β L Δx vz(x) Balance de materia

CUESTIÓN vz(x) L Δx z x x = 0 x = δ CUESTIÓN ¿Qué limitaciones se han hecho en la deducción de la fórmula que da el espesor de una película descendente? Cuestión 6, Cap. 2, Bird, Fenómenos de Transporte (1961) Balance de c.d.m. vz(x) L Δx z x x = 0 x = δ β Límite cuando Δx tiende a cero: Integrando: Ley de Newton: CUESTIÓN Ejercicio en la Web: 2005-Sep-No:3a Integrando:

Magnitudes derivadas Velocidad máxima: Flujo volumétrico: Velocidad media: Fuerza sobre la superficie:

2. Flujo por el interior de un tubo circular CUESTIÓN ¿Por qué en el balance de c.d.m. en el plano inclinado no se considerá la fuerza ejercida por la presión? 2. Flujo por el interior de un tubo circular Balance de materia Régimen estacionario Fluido incompresible r z P0 Balance de c.d.m. vz(r) En el límite (Δr→0): Integrando: PL

Magnitudes derivadas Velocidad máxima: Flujo volumétrico: Velocidad media: Fuerza sobre la superficie:

3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida z x (x,y,z) Flujo reptante Ft Solución analítica F Fn Magnitudes derivadas Fuerza normal: CUESTIÓN Realizar el análisis de velocidad en los ejercicios: 1995-Jun-No:10 1998-Sep-No:13 Fuerza tangencial: Fuerza total: (Ley de Stokes)

Nomenclatura: Magnitudes Productos Producto diádico:

Operadores diferenciales Operador nabla: Gradiente de un campo escalar: Divergencia de un campo vectorial: Rotacional de un campo vectorial: Laplaciana de un campo escalar: Laplaciana de un campo vectorial:

Derivadas con respecto al tiempo Derivada parcial: Derivada total: Derivada substancial:

Ecuación de continuidad z x y

Forma vectorial: Transformación: Fluidos incompresibles (ρ=constante):

La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas Coordenadas rectangulares (x, y, z): Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):

Ecuación de movimiento Balance: Balance a la componente x: z x y

Balance de fuerzas: Término de acumulación: Substituyendo en el balance: Haciendo uso de la ecuación de continuidad:

Ley de Newton La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:

Formas simplificadas de la ecuación de movimiento Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes) Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler) Fluido en reposo.

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (en función de τ) componente x: componente y: componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente x: componente y: componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente Φ:

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente Φ: En estas ecuaciones:

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas CUESTIÓN Realizar el análisis de velocidad en los ejercicios: 1995-Sep-No: 6 1994-Jun-No:13 En la próxima clase se utilizará este análisis para obtener las correspondientes ecuaciones de variación.

Software de modelado de procesos http://www.fluent.com Profiled contours of axial velocity Pressure Driven Flow in a Jet Pump Pump Efficiency

Residence Time Distribution in CSTR’s Liquid-phase Reaction The transient behavior of the tracer dispersion through the multistage reactor is captured. Residence Time Distribution in CSTR’s Product plume forming as a result of reactant injection through the dip tube. Liquid-phase Reaction

Blending Time Prediction Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel and plotted as uniformity of concentration, U, as a function of time.

Cerebral Aneurysm Risk Assessment Automotive industry: Aerodynamics Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan Cerebral Aneurysm Risk Assessment Pathlines around the Opel Astra, Courtesy of Opel AG Automotive industry: Aerodynamics

Condiciones límite (interfase) VELOCIDAD: TRANSPORTE DE C.D.M.:

Ecuación de energía mecánica Ecuación de movimiento: , multiplicándola escalarmente por

SISTEMA Compresión/ Expansión Disipación viscosa Energía Interna Mecánica ALREDEDORES Trabajo Calor (conducción) E. Interna E. Mecánica

Forma adimensional de las ecuaciones de variación Propiedades físicas constantes: r, m Magnitudes características: L, V, p0 Ecuación de continuidad: Ecuación de movimiento: Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: Número de Froude:

Capa límite y flujo potencial Fluido ideal: Velocidad originada por un campo potencial (F): Ecuación de continuidad (r = constante): Carácter irrotacional:

Función de corriente ():

Capa límite

“Despegue” de la capa límite