TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

ÍNDICE INTRODUCCIÓN LEYES DE KEPLER LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Aplicaciones de la Teoría de la Gravitación Universal al movimiento de satélites y planetas. Periodo de revolución y velocidad orbital. Velocidad de escape de un satélite. Lanzamiento de satélites. Energía y órbitas. Energía mecánica de un satélite. Cambio de órbita de un satélite. Satélites geoestacionarios

INTRODUCCIÓN Para Newton, todos los movimientos que tienen lugar en el Universo están regidos por las mismas leyes. Partiendo de esta hipótesis y apoyándose en las ideas de científicos como Ptolomeo, Copérnico, Brahe y Kepler, formuló la Teoría de Gravitación Universal. Ptolomeo: (100-170 d. C.) Defendió la idea aristotélica de que la Tierra era el centro del Universo. Todos los planetas, incluido el Sol, giraban alrededor de ella. Teoría geocéntrica.

INTRODUCCIÓN Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolla el modelo heliocéntrico. Según esta teoría, el Sol es el que está inmóvil y todos los demás planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del Sol. Copérnico basó teoría en dos hipótesis: - La revolución diaria de la Tierra alrededor de su eje. - El movimiento anual de la Tierra alrededor del Sol. Las ideas de Copérnico recibieron fuerte oposición, tanto de carácter científico como eclesiástico. Hacía el año 1530 Copérnico publicó un resumen en el que explicaba su modelo astronómico y en 1543 se imprime su libro De revolutionibus orbitum caelestium Tycho Brahe (1546-1601) es el primer astrónomo moderno que registró detalles precisos acerca de los movimientos planetarios. El sistema del Universo que presenta Tycho es una transición entre la teoría geocéntrica de Ptolomeo y la teoría heliocéntrica de Copérnico. En la teoría de Tycho, el Sol y la Luna giran alrededor de la Tierra inmóvil, mientras que Marte, Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno girarían alrededor del Sol. Trató de perfeccionar el sistema geocéntrico, situando la Tierra en el centro del Universo.

LEYES DE KEPLER Kepler , en 1609, enuncia sus tres famosas leyes empíricas que rigen el movimiento de los astros. 1ª. Ley de las Órbitas. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. 2ª. Ley de las Áreas. El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es directamente proporcional al tiempo empleado en barrerla. 3ª. Ley de los Periodos. Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas órbitas. T12 / r13 = T22 / r23

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. A partir de la leyes enunciadas por Kepler, Newton dedujo la Ley de la Gravitación Universal: “Dos cuerpos se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.” La constante de proporcionalidad, G, tiene un valor de 6,67 . 10 -11 Nm2kg-2 G es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg cada una cuando están situadas a 1 m de distancia. El valor de G fue calculado experimentalmente por H. Cavendish en 1798 mediante una balanza de torsión.

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. El peso de los cuerpos es un caso particular de la Ley de Gravitación Universal. La fuerza con que la Tierra atrae a una masa es: Esta fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo que, como sabemos, viene dado por la expresión de donde se deduce que la expresión de la intensidad del campo gravitatorio terrestre.

Naturaleza central de la fuerza gravitatoria La fuerza que actúa sobre un cuerpo se denomina central cuando está continuamente dirigida hacía un mismo punto y el valor depende exclusivamente de la distancia desde el cuerpo hasta dicho punto.

Momento de la fuerza gravitatoria

Momento angular

Conservación del momento angular

Consecuencias de la conservación del momento angular

FUERZAS CONSERVATIVAS. “Una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre un cuerpo, cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero”. El trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende del camino seguido, y si depende de las posiciones inicial y final. Ejemplos de fuerzas conservativas: La fuerza recuperadora de un muelle F = - Kx La fuerza gravitatoria F = G M m/ r2 La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas conservativas, cuya disminución mide el trabajo realizado por este tipo de fuerzas. La energía potencial se representa por U o Ep. La fuerza gravitatoria es conservativa. Por consiguiente, lleva asociada una energía potencial.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. La energía potencial se obtiene de integral la fuerza gravitatoria en función de la distancia. La expresión simboliza la energía potencial gravitatoria porque representa el trabajo realizado por una fuerza conservativa A cada posición relativa de dos masas corresponde una energía potencial. En el infinito la energía potencial es nula. La energía potencial gravitatoria es siempre negativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial. Cuando dos cuerpos se aproximan, la energía potencial del sistema disminuye y si se separan la energía potencial aumenta. La unidad es el julio.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Energía asociada a un sistema formado por la Tierra y un cuerpo cualquiera Cuando un cuerpo se encuentra a una distancia del centro de la Tierra posee Ep. Donde R es el radio de la Tierra y h la altura a la que se encuentra el cuerpo. Si R >>> h la expresión de la energía potencial queda de esta manera:

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Para aplicar correctamente la fórmula anterior hay que tener en cuenta: Que representa variaciones de energía potencial. Es necesario establece un nivel de referencia. La energía potencial se mide en julios, en el SI. Y para la gravedad se toma g = 9,8 m/s2 La variación de energía potencial entre dos puntos puede ser positiva o negativa. Solamente es válida para desplazamientos pequeños comparados con el radio terrestre.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA La energía potencial elástica es propia de los cuerpos elásticos. Todo cuerpo elástico almacena energía cuando experimenta alguna deformación. Indica el trabajo necesario para deformar los cuerpos venciendo una fuerza recuperadora conservativa. La integral de la fuerza elástica ( F = - kx ) para una distancia cualquiera da la energía potencial elástica. La constante k indica el grado de elasticidad, recibe el nombre de constante elástica y se mide en N/m. La energía potencial elástica es siempre positiva. Es decir, un resorte siempre almacena energía, tanto si se alarga como si se comprime.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. FUERZAS CONSERVATIVAS “Si sobre un cuerpo solamente actúan fuerzas conservativas, como gravitatorias y elásticas, la energía mecánica del sistema permanece constante.” Es el principio de conservación de la energía mecánica. FUERZAS NO CONSERVATIVAS. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es igual a la variación de la energía mecánica.

MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS. La ley de Gravitación Universal permite determinar aspectos de los movimientos de los cuerpos celestes, como velocidad orbital, periodo de revolución, energía de un satélite y la masa de un planeta. A – Periodo de revolución y velocidad orbital Para que un satélite gire en una órbita debe estar sometido a una fuerza centrípeta y esta fuerza centrípeta la suministra la atracción gravitatoria se igualan la fuerza gravitatoria y la centrípeta: r = RT + h Velocidad orbital Periodo de revolución

MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS. B – Velocidad de escape de un cohete. Para conseguir que un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio de ésta, habrá que comunicarle una gran velocidad. Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima de lanzamiento de un cohete para que éste pueda escapar de la atracción terrestre Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica se obtiene la velocidad de lanzamiento para que el cohete abandone el campo gravitatorio que coincide con la velocidad de escape

VELOCIDAD DE ESCAPE La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto. Si la velocidad de lanzamiento es mayor que la velocidad de escape, la energía mecánica es mayor que cero, y el cohete llegará a una distancia infinita. Si la velocidad de lanzamiento es menor que la velocidad de escape, el cuerpo quedará ligado al campo gravitatorio. La velocidad de escape depende de la posición del punto de lanzamiento.

MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS. C - Lanzamiento de satélites. Energía y órbitas. El lanzamiento del primer satélite fue en 1957. La velocidad orbital de un satélite se deduce de igualar la fuerza gravitatoria y la centrípeta. El tipo de órbita depende de la velocidad de lanzamiento D - Energía de un satélite en una órbita. La energía que tiene un satélite en órbita es la energía mecánica (cinética + potencial)

MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS. E - Cambio de órbita de un satélite. Hay que suministrar energía a un satélite para pasar de una órbita inicial a otra final. F - Satélites geoestacionarios. Se llaman así porque siempre están sobre el mismo punto de la superficie de la Tierra. Coincide el periodo de la órbita con el periodo de revolución de la Tierra