Sincronización en osciladores acoplados a pulsos Albert Díaz-Guilera Conrad J. Pérez Alex Arenas Álvaro Corral Xavier Guardiola Mateu Llas UNIVERSIDAD DE BARCELONA http://www.ffn.ub.es/albert

2 modelos Pilas de arena, terremotos y luciérnagas Sincronización y estructuras espacio-temporales

Pilas de arena, terremotos y luciérnagas Bak Tang Wiesenfeld (PRL 59 (1987) 381) Sistemas dinámicos extendidos Ruido 1/f: superposición de escalas de tiempo Autosimilaridad espacial Terremotos: leyes potenciales de distribución AUSENCIA DE ESCALAS CARACTERÍSTICAS

Autómata celular Sistema discreto con reglas dinámicas sencillas Condición umbral que introduce la nolinearidad

Criticalidad auto-organizada Autoorganizada: El sistema evoluciona de forma natural hacia un estado estacionario de no-equilibrio Crítico: El sistema es crítico en el sentido que no hay escalas características en su evolución: ni espaciales ni temporales Sin necesidad de reglas complicadas y sin ajustar ningún parámetro externo

Terremotos: modelo de muelles y bloques

Olami, Feder y Christensen PRL 68 (1992) 1244 Ei,j ® 0 Enn ® Enn+eEi,j 2 time scales

Sincronización Física: uniones Josephson Química: reacciones químicas Biología: Celulas marcapasos del corazón Neuronas en el córtex visual Luciérnagas

Osciladores de fase 1 escala temporal Positivo Negativo Osciladores nolineales que se mueven en un ciclo límite Interaccion débil pero continua Modelo de Kuramoto Positivo Negativo

Integrate-and-fire oscillators 2 escalas temporales Si Ei(t)>Ec Pulso transmitido: EjEj+e(Ej) Reinicializado: Ei0

Mirollo & Strogatz SIAM J. Appl. Math. 50 (1990) 1645 Sincronización Todos con todos Acoplamiento uniforme positivo Tiempo refractario f’(E)>0

CPDA (PRL 75 (1995) 3697) Generalización a acoplamiento dependiente del estado

MS en 2d con interacciones nn y CC periódicas (CPDA)

SOC y oscilaciones de relajación TERREMOTO (FF-OFC) LUCIERNAGAS (MS) Nearest neighbors All-to-all Uniform driving rate dE/dt=1 Nonuniform dE/dt=f(E) Open BC’s No BC’c Enn® Enn+e (FF)    Enn® Enn+eEi  Ej® Ej+e   NO refractory time  Refractory time  SOC SYNCHRONIZATION    

Sin tiempo refractario (PRL 74 (1995) 118) Se rompe la sincronización OFC con driving no-uniforme

Efecto de la diversidad Periódico  SOC  Decaimiento exponencial (PRL 78 (1997) 1492)

Sincronización y estructuras espacio-temporales Representación continua Con la condición de puesta a cero Ei1

Acoplamiento independiente del estado siendo

Descripción en términos de fase siendo

Separando las escalas de tiempo Driving: di/dt=1 Firing PRC

Relación entre las interacciones Recibiendo n firings simultáneos

Evolución de las fases Evolución discreta

Dos tipos de interacciones Interacciones excitatorias <0 Interacciones inhibitorias >0 Ejemplo 2 osciladores

Dos osciladores Medio ciclo 10 1--1() F D  + 1()1 10 1--1() F D  + 1()1 Puntos fijos *=1- *- 1(*)

Estabilidad ’1()>0 Inestable -> Sincronización ’1()<0 Estable -> Phase-locking

Osciladores dirigidos en un anillo (PRE 57 (1998) 3820) Driving: di/dt=1 Firing

Firing + Driving Return map

Acoplamiento negativo

Acoplamiento positivo

Puntos fijos Analíticamente: cotas a los módulos de los valores propios <0 puntos fijos estables >0 puntos fijos inestables

Estructuras (PRE 60(1999) 3626) 1 4 C(N+1,m) Degeneración del patrón Ejemplo: N+1=4 osciladores

Selección de los patrones Aproximación “de campo medio” Cálculo de la degeneración:

Patrón dominante N par: m=(N+1)/2 N impar: m=(N+2)/2 y m=N/2

Desaparición de patrones Desaparece !!

Desorden topológico (PRE 62 (2000) 5565) Sincronización

Medida de la sincronización T tiempo de sincronización

Redes aleatorias ( N nodos, l conexiones) Estudiando como escala T con los parámetros de la red se obtiene la ley de escala:

Redes parcialmente desordenadas Caracterizamos el grado de desorden topológico de la red mediante un parámetro p (reconexionado) (Watts, Strogatz)

Orden y desorden

“Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente Simulaciones (T vs p) Dispersión en el número de vecinos “Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente Normalicemos los acoplamientos para compensar la frustración

Conclusiones Diferentes comportamientos espacio-temporales, obtenidos a partir de reglas muy sencillas Criticalidad auto-organizada Sincronización Formación de estructuras Mediante simulaciones y resultados analíticos exactos y de “campo medio”