Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 2 Clase 3.2 Tema: DESIGUALDADES LINEALES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES

OBJETIVOS: Reconocer una desigualdad de dos variables Graficar el conjunto solución de una desigualdad lineal de dos variables. Reconocer a un sistema de desigualdades lineales. Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineal de dos variables. pag.: 302 - 306

INTRODUCCIÓN Una aplicación muy importante de las desigualdades a los George Dantzig Una aplicación muy importante de las desigualdades a los negocios y a las ciencias sociales es en la Programación Lineal la cual se utiliza para encontrar el costo mínimo, la máxima ganancia, la cantidad máxima de ingresos que pueden obtenerse en condiciones dadas, etcétera. Los procedimientos para resolver problemas de programación lineal los concibió en 1947 el matemático norteamericano George Dantzig, mientras trabajaba en un problema sobre como asignar recursos para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos de manera que se minimizara el costo total.

¿Cómo expresa esta situación? Si cada lapicero cuesta S/. 2 y cada lápiz S/.1,5 ¿cómo expresa el gasto que puede realizar si dispone de S/.100?

Definición: Una desigualdad lineal con dos variables “x” y “y” puede escribirse en la forma: ax+by+c < 0 (puede ser >, > , < ) Donde a y b son constantes, con a y b no ambas cero. Geométricamente, la solución de una desigualdad lineal en x e y consiste en todos los puntos (x;y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen dicha desigualdad. Esta corresponde a una región del plano.

y > mx +b y x y < mx +b Gráfica de una desigualdad lineal y > mx +b y x y < mx +b y = mx +b Se grafica la ecuación y=mx+b 2. La gráfica de y >mx+b es la región que se encuentra sobre la recta y =mx+b. 3. La gráfica de y <mx+b es la región que se encuentra debajo de la recta y=mx+b. Si la desigualdad contiene a > ó < se considera todos los puntos de la recta como parte de la región solución.

y y > x/2 +1 1 x -2 Ejemplo: Solución: Determine la región que representa al conjunto solución de la desigualdad : 2(2x-y)<2(x+y)-4 Solución: y x 1 -2 La desigualdad es equivalente a: y > x/2 +1 4x-2y < 2x +2y – 4 y > x/2 +1

Solución: Ejemplo: Graficar todas las soluciones de la desigualdad: 2x+3y  6 Solución: Grafique la recta 2x +3y= 6 Tome algunos puntos al azar para ver si satisface la desigualdad.

2x + 3y  6 -3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 -1 (-1,1) . . (3,1) (-1,1) 2(-1) +3(1)  6 está en la gráfica (3, 1) 2(3) +3(1) > 6 no está en la gráfica

Sistema de desigualdades Conjunto de dos o mas desigualdades La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simultánea todas las desigualdades dadas. Geométricamente es la región común a todas las regiones determinadas por las desigualdades.

Graficar la región que corresponde al conjunto solución del sistema : y  -2x +10 y  x - 2

Solución: y x - y = -2x +10 y = x-2 Recuerde: Una recta continua está incluida en la solución mientras que una recta punteada no lo está

2x - y > 3 x  y 2y - 3 > 0 EJERCICIOS: Graficar el conjunto solución del sistema: 2x - y > 3 x  y 2y - 3 > 0 2. Un accionista planea invertir a lo más $30 000 en dos inversiones A y B. La acción A está valuada actualmente en $165 y la acción B en $90 por acción. Si el accionista compra x acciones de A y y acciones de B, grafique la región del plano XY que corresponde a las posibles estrategias de inversión.

Resuelva ud.: pag.: 306 - 307 Ejercicios: 21, 22, 23, 27 y 29