Ecuaciones Fundamentales Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires (FIUBA) Departamento de Hidráulica 69.01 Hidráulica General Presentación de las Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica Realizado por Ing. Alejandro Norberto Pardo

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica 1 Ecuaciones de Estado 2 Ecuación de Continuidad 3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) 4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)

Ecuaciones de Estado Las ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos, por lo que la temperatura deja de ser una variable. Ecuación de estado de un líquido en función del volumen por diferencias finitas por integración coeficiente de compresibilidad volumétrica. Ecuación de estado de un líquido en función de r por diferencias finitas por integración En la práctica : Fluído Ideal Medio contínuo de viscosidad nula - m=0 r = cte Ec. Estado Líquido Perfecto Fluído Ideal + Incompresible

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica 1 Ecuaciones de Estado r = cte Ec. Estado Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto 2 Ecuación de Continuidad 3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) 4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)

Ecuación de Continuidad Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la unidad de tiempo Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo + =0 Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto : Análisis según el eje y Si =cte  (Cond. de Compresibilidad) Simplificando (según el eje y) Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales o bien

Ecuación de Continuidad Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la unidad de tiempo Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo + =0 Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto : Si =cte  (Cond. de Compresibilidad) Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente dl Dmi me ms W W+DW Aporte de M en el tiempo Balance M. en el tiempo Aporte de M en el recorrido Simplificaciones Ecuación Continuidad para una vena liquida compresible y mov. con impermanencia total • Si fluido incompresible (r=cte) • Si mentrante no varía con t : • Si r=cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido:

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica 1 Ecuaciones de Estado r = cte Ec. Estado Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto 2 Ecuación de Continuidad Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente 3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) 4 Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento)

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas debidas a energía superficial. Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm • Se considera la acción del campo gravitatorio. • Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en el centro de gravedad • Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa. Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm • Son fuerzas de superficie. • Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas debidas a energía superficial. Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm Fuerzas de presión _ Fp • Son fuerzas de superficie. • La presión es proporcional a la velocidad de deformación lineal • Se considera que un alargamiento según un eje provoca una contracción según los otros dos.

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y : Reeplazando : En forma vectorial : Operando : Se ha considerado al fluido incompresible (r=cte) y según Ec. de Continuidad div(V)=0 :

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Simplificaciones : • Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) : • Se considera al fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT Ecuación CLAIREAUT Si se calcula el trabajo de las fuerzas Ec. Fund. Hidrostática Ecuación escalar

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Simplificaciones : • Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) : • Si se considera mov. permanente (dV/dt=0) => Ec. de EULER Integración de la Ec. de EULER => EC. de BERNOULLI

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) • Fluido perfecto r=cte. • Fluido no viscoso m=0. • Mov. irrotacional rot(V)=0. • Fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g). • Mov. Permanente dV/dt=0. Ecuación de BERNOULLI Se plantea el trabajo de las fuerzas : Escalarmente : Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso : Indica que el trabajo total realizado es nulo La energía es constante a lo largo del recorrido dl Ec. de BERNOULLI en la Línea de corriente

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Un concepto importante... Ecuación de Navier - Stokes Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : r=cte, m0 y s=0. Terna intrínseca (componente tangencial) Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando : Ecuación de BERNOULLI Generalizada Ec. de Bernoulli Indica una pérdida de energía Movimiento impermanente Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte de masa, sino a costa de un consumo de energía.

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Extensión de Ec. de BERNOULLI a un tubo de corriente La energía de un filamento de área dW Energía por unidad de tiempo, Potencia Integrando a toda la sección Energía por unidad de peso Energía Potencial por unidad de tiempo Energía Cinética por unidad de tiempo Para que la primer integral sea perfecta el término debe ser constante a lo largo de la normal. => Para resolver esta integral es necesario conocer como varía la velocidad en la sección W. En la práctica se evalúa la Potencia real en función de y del coef. de Coriolis siendo la Potencia ficticia : Se cumple si (reglas de Bresse) : • Movimiento rectilíneo. • Radio de curv grande - R   • Velocidad baja - V 0 Con lo que la expresión final para la sección queda

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Aplicaciones de la Ecuación de BERNOULLI en la Línea de Corriente • Distribución de presiones en un escurrimiento irrotacional. • Erogación por orificio (Teorema de Torricelli). • Medición de presiones en conductos. - Tubo Pitot. - Tubo Venturi (aplicación al tubo de corriente)

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica 1 Ecuaciones de Estado r = cte Ec. Estado Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto 2 Ecuación de Continuidad Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente 3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente Limitaciones - Reglas de BRESSE Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT 4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)

= + Ecuación de la Acción Dinámica Ecuación de la Cantidad de Movimiento • No se estudia el movimiento íntimo de las partículas, sino el comportamiento global (Vcontrol). • Se aplica la segunda ecuación de Newton a un volumen de control. • Esta ecuación es aplicable aún en aquellos casos, los cuáles no pueden ser estudiados con las ecuaciones locales del movimiento. tcontrol : Volumen control V (-) V (+) dW tcontrol Wcontrol dt Variación de la Cantidad de Movimiento Total Wcontrol : Superficie control dt : Dif. de Vol. de control dW : Dif. de Sup. de control = Variación de la cant. de mov. elem. por efecto del desplazamiento V. Var. Cantidad Movimiento de la masa que atraviesa la Wcontrol gasto elemental de masa + Variación de la cant. de mov. de una masa elemental. Var. Cantidad Movimiento de la masa contenida en el tcontrol masa elemental

Ecuación de la Acción Dinámica Ecuación de la Cantidad de Movimiento V (-) V (+) dW tcontrol Wcontrol dt integrando Vectores velocidad aprox. normales a la sección Sumatoria de fuerzas del fluído Fuerzas que no son del fluído Var. cant. de mov.de la masa que atraviesa la Scontrol Variación de la cant. de mov. de la masa contenida en Vcontrol Variación de la cantidad de movimiento en el tiempo para todo el volumen de control

Aplicaciones de esta ecuación Ecuación de la Acción Dinámica Extensión de la Ec. de la Cantidad de Movimiento al tubo de corriente Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido) Siendo Fuerzas del fluído (excepto A) debidas a : - Presiones secciones. - Peso masa vol. Control. - Fricción entre el fluído y el contorno sólido. Resultante de las fuerzas debidas a las velocidades medias que actúan en las secciones final e inicial del volumen de control. Aplicaciones de esta ecuación

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica 1 Ecuaciones de Estado r = cte Ec. Estado Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto 2 Ecuación de Continuidad Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad en un punto Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente 3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes) Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente Limitaciones - Reglas de BRESSE Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT 4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento) Ecuación de la Cantidad de Movimiento Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)

Fin

Ecuación de Continuidad Volumen de Control

Ecuación de Continuidad Tubo de Corriente

Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes

Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes

Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Interpretación de la Ecuación de Navier-Stokes

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes) Conducto a Presión Escurrimiento a Superficie Libre

Ecuación de la Acción Dinámica Volumen de Control

Acción de un chorro sobre una placa fija Acción Dinámica Acción de un chorro sobre una placa fija

Acción sobre un Codo reductor Acción Dinámica Acción sobre un Codo reductor

Acción sobre un Inyector Acción Dinámica Acción sobre un Inyector

Acción sobre un borde sólido Acción Dinámica Acción sobre un borde sólido