M.C. Juan Carlos Olivares Rojas Lógica M.C. Juan Carlos Olivares Rojas

Agenda Representación del Conocimiento Lógica de Proposiciones Lógica de Predicados Deducción Automática

Representación del Conocimiento El conocimiento debe estar expresado en un lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’. Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos. Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.

Representación del Conocimiento Inicialmente el agente cuenta con unos conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos. Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento. El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

El Juejo del Wumpus Percepciones: (4 sensores) Acciones: {Hedor, Brisa, Resplandor, Nada} El agente no percibe su situación Acciones: Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º Agarrar (estando en la casillla) Disparar (sólo una flecha) Objetivo: salir con el oro lo antes posible 1000 ptos: salir con el oro 1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos

Lógica de Proposiciones La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados que se pueden construir. Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición. Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.

Lógica de Proposiciones Los enunciados complejos se forman a partir de enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos. Los Conectivos Lógicos son cinco: NO (~) también conocida como Negación. Y (^) también conocida como Conjunción. O (v) también conocida como Disyunción. Implicación (⇒) también conocida como Condicional. Sí y sólo si (⇔) también conocida como Bicondicional.

Lógica de Proposiciones Las expresiones que contienen conectivos lógicos se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior. Por ejemplo: ~P ^Q v R ⇒ S equivale a: (~(P) ^(Q v R)) ⇒ S Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.

Lógica de Proposiciones La semántica nos define las reglas que permiten determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo. Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

Lógica en Wumpus Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la construcción de la base de conocimiento. Notación: Bij indica que hay brisa en la celda (i,j). Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j). A partir de un conocimiento inicial: E1: ~P11

Lógica en Wumpus Cuando hay brisa en una casilla implica que en una casilla contigua hay un pozo: E2: B11 ⇔ P12 v P21 Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1,1): E3: ~B11 ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?

Lógica de Proposiciones Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p) Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)

Lógica de Proposiciones Básicamente la inferencia es la implementación de una implicación. Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente. El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así: antecedente :: consecuente

Lógica de Proposiciones La equivalencia lógica se presenta cuando dos enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos. A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes: Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p

Lógica de Proposiciones Leyes Conmutativas ( p v q ) ≡ ( q v p ) ( p ^ q ) ≡ ( q ^ p ) Leyes Asociativas ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r ) ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )

Lógica de Proposiciones Leyes Distributivas p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r ) p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) Leyes de Idempotencia ( p v p ) ≡ p ( p ^ p ) ≡ p

Lógica de Proposiciones Leyes de DeMorgan ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q Leyes de Identidad ( p v ~p ) ≡ t ( p ^ ~p ) ≡ f ( p v f ) ≡ p ( p v t ) ≡ t

Lógica de Proposiciones Leyes de Identidad ( p v f ) ≡ f ( p v t ) ≡ p Leyes de la Implicación (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q) (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

Lógica de Proposiciones Reglas de Inferencias La siguiente implicación lógica se llama Modus Ponens y corresponde a la siguiente inferencia: p ^ ( p ⇒ q ) :: q Ejemplo: p: Estudio p ⇒ q: Si estudio aprobaré Matemáticas q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ~q :: ~p Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas ~q: No aprobé Matemáticas ~p: Entonces, no Estudié

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) :: ( p ⇒ r ) Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas q ⇒ r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto p ⇒ r: Entonces, Si estudio me regalan un auto

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia: ( p v q ) ^ ~p :: q Ejemplo: p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán ~p: No estudio Francés q: Entonces, Estudio Alemán

Lógica de Proposiciones La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción: ( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término: p :: ( p v q )

Lógica en Wumpus Se tiene que: E2: B11 ⇔ P12 v P21 E3: ~ B11 Por lo que tenemos el siguiente razonamiento: E4: (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11) E5: ((P12 v P21) ⇒ B11) E6: ~B11 ⇒ ~(P12 v P21) E7: ~(P12 v P21) E8: ~P12 ^ ~P21

Lógica en Wumpus Del razonamiento anterior concluimos que no hay un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1). Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1,2). E9: ~B12 E10: B12 ⇔ P11 v P13 v P22 E12: ~P22

Lógica en Wumpus Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3) ni en la (2,2). E11: ~P13 E12: ~P22 Pero cuando el agente visitó la celda (2,1) percibió una brisa: E13: B21 E14: B21 ⇔ P11 v P31 v P22

Lógica en Wumpus Dado que ya verificamos que no hay pozo en las celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la conclusión que: E15: P31 Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk ) Lógica Proposicional Cualquier enunciado compuesto puede ser transformado a uno equivalente que esté en la FNC La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos: ( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk )

Lógica Proposicional A continuación se describe un procedimiento para convertir a nuestra FNC: Eliminar ⇔ usando la equivalencia: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) Eliminar ⇒ usando la equivalencia: (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

Lógica Proposicional Simplificar ~ usando las equivalencias: ~( ~p ) ≡ p ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

Lógica Proposicional E2: B11 ⇔ (P12 v P21) (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~(P12 v P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ ((~P12 ^ ~P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)

Lógica Proposicional Para demostrar que una implicación BC :: α es válida, se utiliza el método de reducción al absurdo. Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción. Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.

Lógica Proposicional Probar que: E2 ^ E4 :: ~P12. (B11 ⇔ (P12 - P21)) ^ ~B11 :: ~P12 Se convierte a FNC: (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (¿P21 v B11) ^ ~B11 :: ~P12

Lógica Proposicional Y para probar por reducción al absurdo, tenemos la negación: (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11) ^ ~B11 ^ P12 El proceso de simplificación funciona como sigue: Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B11 y B11, respectivamente.

Lógica Proposicional Como no pueden ser ambos verdaderos simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien (~P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión: (P12 v P21 v ~P12) Como (P12 v ~P12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P21)

Lógica Proposicional Similarmente, los dos paréntesis siguientes, también contienen a: ~B11 y B11, por lo que la expresión simplificada queda: (~P21) Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

Ejercicios ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) p ^ ( p ⇒ q ) ((p ^ q) ⇔ (p v ~q)) ((~(p ⇒ q) ^ r ) v ~(p ⇔ ~q))

Lógica de Predicados Hay que aprovechar la característica declarativa y la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos: Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo) Las relaciones entre ellos, generalmente vinculadas por un verbo. El Agente lanzó una Flecha

Lógica de Predicados Las relaciones unitarias también se conocen como Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER: La Pelota es roja. Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor: El padre de Uno más que

Lógica de Predicados Uno sumado a Dos es igual a Tres Objetos: Uno, Dos y Tres. Relación: es igual a. Función: sumado a; el resultado es un objeto, llamado: Uno sumado a Dos. Las Casillas que rodean al Wumpus apestan. Objetos: Casillas y Wumpus. Relación: que rodean al. Propiedad: apestan.

Lógica de Primer Orden La lógica de primer orden se construye sobre: Hechos, Objetos y Relaciones. La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada. El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.

Lógica de Primer Orden Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así: H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis), Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:

Lógica de Primer Orden Padre_de(Hugo) → Pepe Padre_de(Paco) → Pepe Padre_de(Luis) → Pepe Padre_de(Pepe)  ? A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.

Lógica de Primer Orden Los símbolos se agrupan en tres clases: Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.

Lógica de Primer Orden Símbolos de predicado, que representan a las Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, … Símbolos de función. Ejemplos: Coseno, Padre_de, Oficina_de Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.

Lógica de Primer Orden 〈Enunciado〉 → 〈Sentencia Atómica〉 | (〈Enunciado〉〈Conector〉〈Enunciado〉) | 〈Cuantificador〉〈Variable〉…〈Enunciado〉 | ~〈Sentencia〉 〈Sentencia Atómica〉 → 〈Predicado〉(〈Término〉…) | 〈Término〉 = 〈Término〉 〈Término〉 → 〈Función〉(〈Término〉…) | 〈Constante〉| 〈Variable〉

Lógica de Primer Orden 〈Conector〉 → . | - | ⇔ | ⇒ 〈Cuantificador〉 → ∀ | ∃ 〈Constante〉 → Martin | 59302 | Gato | X | … 〈Variable〉 → a | x | s | … 〈Predicado〉 → Previo | Gusta | Llueve | Falla | … 〈Función〉 → Padre_de | Cabello_de | Oficina_de | …

Lógica de Primer Orden Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. Los símbolos constantes son términos Los símbolos de función son términos. Las variables también son términos. Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.

Lógica de Primer Orden Por ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) indica que Roberto es el hermano de Juan. Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan)) Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.

Lógica de Primer Orden Ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) ∧ Hermano(Juan,Roberto) Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues la relación es simétrica. Los cuantificadores nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.

Lógica de Primer Orden Hay dos cuantificadores en lógica de primer orden: universal y existencial. Cuando un enunciado abarca a todos los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Universal, que se denota por ∀. El cual se enuncia con frases similares a: “Para todos …”, “Todos …” Ejemplo: Todos los gatos son mamíferos.

Lógica de Primer Orden Esta proposición es falsa si al menos un solo valor de la variable no satisface al enunciado. La representación simbólica es: ∀x Gato(x) ⇒ Mamifero(x) Sin embargo, mucha gente cae en el error de interpretarla como: ∀x Gato(x) ∧ Mamifero(x)

Lógica de Primer Orden Aparentemente son equivalentes, pero esta segunda forma es más fuerte que la anterior, pues la primera será verdadera cuando el antecedente es falso (v.gr. x es un perro) Cuando un enunciado indica que al menos uno de los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Existencial, el cual se denota por ∃.

Lógica de Primer Orden Y se enuncia con frases similares a: “Hay ...” o “Existe ...” o “Para algunos ...” Ejemplo: En mi clase hay mujeres. Esta proposición es falsa si no existe ningún valor de la variable que satisfaga al enunciado. La representación simbólica es: ∃x Alumnodemiclase(x) ∧ Mujer(x)

Lógica de Primer Orden Semejante al caso anterior, mucha gente cae en el error de interpretarla como: ∃x Alumnodemiclase(x) ⇒ Mujer(x) Pero esta segundo enunciado es más débil que el anterior y sería verdadero para los estudiantes que no están en mi clase. Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Lógica de Primer Orden Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos decir cosas como: ∀x,y Hermano(x,y) ⇒ Hermano(y,x) También podemos mezclar cuantificadores, ∀x ∃y Buenopara(x,y) “Todos somos buenos para alguna cosa" ∃y ∀x Buenopara(x,y) “Alguien es bueno para todo"

Lógica de Primer Orden Se pueden cambiar los cuantificadores mediante la negación. Considerar la sentencia: ∀x ~Gusta(x,Verduras) “Para todo x, x no le gustan las verduras." Es equivalente a decir: “No existe un x que le gusten las verduras.“ ~∃x Gusta(x, Verduras)

Lógica de Primer Orden Similarmente, los siguientes enunciados son equivalentes: ∃x P = ~∀x ~P ∀x P = ~∃x ~P ~∀x P = ∃x ~P ∀x ~P = ~∃x P Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye como un símbolo especial.

Lógica de Primer Orden Ejemplo: Padre(Juan) = José Afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José. Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de un dominio. Ejemplos: ∀x,y Padre(x,y) ⇔ Hijo(y,x) ∀x,y Abuelo(x,y) ⇔ ∃z Padre(x,z) . Padre(z,y) ∀x Masculino(x) ⇔ ~Femenino(x)

Lógica de Primer Orden Algunos axiomas son considerados como Definiciones. Los axiomas son luego usados para probar teoremas. FOL en Wumpus: El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo.

FOL Wumpus Un ejemplo de percepción sería: Percepción([Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada],5) El vector de percepciones contiene 5 elementos que son: Hedor, Brisa, Brillo, Golpe con un muro y Grito. Además incluye un sexto elemento para el tiempo. Las acciones posibles del agente pueden ser las siguientes:

FOL Wumpus Girar(Derecha) Girar(Izquierda) Avanzar Disparar Tomar Para determinar cuál es la mejor acción, el agente realiza una petición como esta: PREGUNTAR(BC, ∃x MejorAcción(x,5))

FOL Wumpus Esta petición retornará una lista de acciones posibles, tal como: {a/Tomar}. Antes de realizar esa acción, el agente deberá DECIR a la base de conocimiento su decisión de hacer la acción de Tomar: DECIR(BC, Acción(5)=Tomar) Reglas de diagnóstico: nos llevan de los efectos observados a sus causas.

FOL Wumpus Por ejemplo: si una casilla tiene brisa significa que una casilla adyacente tiene un pozo. ∀x Brisa(x) ⇒ ∃y Adyacente(y,x) ∧ Pozo(y) Reglas Causales: reflejan conclusiones respecto de las percepciones y sus causas. Por ejemplo: un pozo en una casilla provoca brisa en todas las casillas adyacentes. ∀y Pozo(y) ⇒ [∀x Adyacente(x,y) ⇒ Brisa(x)]

Lógica de Primer Orden La Ingeniería del Conocimiento es un proceso general para la construcción de una base de conocimiento. A continuación se describen los pasos de este proceso: Identificación de la tarea. Recopilación del conocimiento. Decidir el vocabulario. Codificar el conocimiento.

Deducción Automática Para el hecho: Contrata(Telmex,Toño), podemos construir índices para las siguientes peticiones: Contrata(Telmex,Toño) ¿Contrata Telmex a Toño? Contrata(x,Toño) ¿Quién Contrata a Toño? Contrata(Telmex,y) ¿A quién Contrata Telmex? Contrata(x,y) ¿Quién Contrata a quién?

Deducción automática El primer paso consiste en transformar los enunciados en sentencias lógicas. Posteriormente se aplican las técnicas anteriores para convertirlas en un conjunto de cláusulas positivas de primer orden. Luego se encadenan esos conocimientos para obtener nuevos enunciados.

Deducción Automática Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos: Asterix es un galo Los romanos que son amigos de algún galo odian a César Asterix ayudó a Marco Marco es amigo de quien le ayuda Quien odia a algún romano, lucha contra él Marco es romano

Deducción Automática Asterix es un galo galo(Asterix) (en FNC) Los romanos que son amigos de algún galo odian a César ∀x [romano(x) . (∃y galo(y) . amigo(x, y)) ⇒ odia(x,Cesar)]

Deducción Automática Reemplazando la cláusula existencial: ∀x [romano(x) . (galo(G) . amigo(x, G)) ⇒ odia(x,Cesar)] Asterix ayudó a Marco ayuda(Asterix,Marco) (en FNC) Marco es amigo de quien le ayuda ∀x [ayuda(x,Marco) ⇒ amigo(Marco, x)]

Deducción Automática Quien odia a algún romano, lucha contra él ∀x ∃y [romano(y) . odia(x, y) ⇒ lucha(x, y)] Reemplazando la cláusula existencial: ∀x [romano(R) . odia(x, R) ⇒ lucha(x, R)] Marco es romano romano(Marco) (en FNC)

Deducción Automática Los Miembros del equipo de tenis son: Juan, Sara, Beto y Elena. Juan está casado con Sara. Beto es hermano de Elena. El cónyuge de un miembro del equipo también es miembro del equipo.

Deducción Automática La última reunión fue en casa de Juan. Representar los enunciados anteriores en lógica de predicados. Demostrar que: La última reunión fue en casa de Sara. Elena no está casada. Agregue los hechos que necesite para las demostraciones.

Deducción Automática A Paco le gustan los cursos fáciles. Los cursos de Física son difíciles. Los cursos de Humanidades son fáciles. El curso de Ética es del área de Humanidades. ¿Qué curso le gustaría tomar a Paco?

Deducción Automática A Beto le gusta la comida italiana. En un restaurante hay comida mexicana a no ser que se anuncie explícitamente lo contrario. En “La Conchita” no anuncian que tipo de comida sirven.

Deducción Automática A las personas no les gusta ir a restaurantes donde sirven comida que no es de su preferencia. ¿Se puede concluir que a Beto no le gusta ir a “La Conchita”?

Deducción Automática Formaliza los siguientes hechos: Todo dragón está feliz si todos sus hijos pueden volar. Los dragones verdes pueden volar. Un dragón es verde si es hijo de al menos un dragón verde. Demuestra por resolución que la conjunción de los hechos anteriores implica que: Todos los dragones verdes son felices.

Deducción Automática Considere las siguientes relaciones: Feliz(x) para x es feliz. Volar(x) para x puede volar. Verde(x) para x es verde. Dragón(x) para x es dragón Rojo(x) para x es rojo. Hijo(x,y) para x es hijo de y.

Referencias Carreón, J. (2007) Material de la Asignatura de Inteligencia Artificial, Universidad Vasco de Quiroga, Morelia, Michoacán, México. Nilsson, N. (2001). Inteligencia Artificial. Una nueva síntesis. McGraw-Hill, España. Russel, S. y Norving, P. (2004). Inteligencia Artificial. Un Nuevo enfoque. Pearson Prentice Hall, España

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