Jesús Muñoz San Miguel Matemáticas II: Teoría de juegos no cooperativos Tercera parte

Uso de un recurso de propiedad común: la tragedia de los comunes Fuentes de externalidad en el uso de un recurso de propiedad común: el uso de cada persona puede disminuir los beneficios para el uso de las otras personas (externalidad actual) la utilización conjunta puede afectar a la condición futura del recurso (externalidad futura). Juego dinámico El juego de etapa cambia en cada etapa y hay un entorno de juego (game environment) que cambia de un período a otro y afecta a las ganancias en el juego de etapa de cualquier período. Entorno del juego=tamaño del recurso Características del entorno Evoluciona a través del tiempo de acuerdo con el patrón de uso en el pasado Cuantas más personas utilizan el recurso o cuanto más intensamente es utilizado menos hay en el futuro. Afecta a los pagos en cada juego de etapa. El resultado del uso hoy en día marca el uso futuro. La pregunta clave es cuánto aprovechamiento supone este "mejor" uso del recurso.

MODELO SIMPLE (dos períodos de tiempo) Recurso de propiedad común de tamaño y> 0. Cada uno de los dos jugadores puede retirar una cantidad c1 o c2 no negativa La función de utilidad es logarítmica y a un consumo c le corresponde una utilidad log(c) La cantidad total consumida no puede sobrepasar el recurso, c1 + c2 ≤ y. El intento de consumir en exceso se traduce en que la cantidad total se reparte entre ellos, es decir, cada jugador termina por consumir y/2. Cuando el consumo total es menor que y, la cantidad sobrante, y-(c1 + c2), es la futura base del recurso y, por tanto, del consumo futuro. Sólo hay un periodo más de consumo

MODELO SIMPLE (dos períodos de tiempo) EXTRACCIÓN UNILATERAL Cada jugador maximiza su propia utilidad Período 2 Cada jugador decide la cantidad a consumir de la cantidad a su disposición y- (c1 + c2). Puesto que no hay más períodos, cada jugador consumirá tanto como sea posible. En el período 2, la cantidad total se divide entre ellos y cada uno tiene (y - (c1 + c2)) / 2 Periodo 1 El primer jugador determina la cantidad a consumir a partir del stock disponible Su utilidad depende de la cantidad que el jugador 2 decida consumir (su consumo determina el tamaño de los recursos que quedarán para el segundo periodo). El jugador 1 determina su nivel de consumo mediante un problema de mejor respuesta en función de la cantidad que el jugador 2 va a consumir en el primer período, c2

EXTRACCIÓN UNILATERAL SOLUCIÓN La mejor respuesta de consumo del jugador 1 es R1 (c2) = (y - c2) / 2 La mejor respuesta de consumo del jugador 2 es R2 (c1) = (y - c1) / 2 El equilibrio de Nash viene dado por los niveles de consumo de c1* y c2* tales que R1 (c2*) = R2 (c1*). Sustituyendo en las funciones de reacción, el equilibrio de Nash es c1* = c2* = y /3. En el primer período, cada jugador consume y/3, dejando un total de y/3 para el segundo período, En el segundo período esta cantidad se divide por la mitad con un consumo de y/6 cada uno. La utilidad para cada jugador log (y /3) + log (y/ 6)=2log (y )- log 18

Uso socialmente óptimo Los dos jugadores constituyen una sociedad y se reúnen para decidir cuánto debe consumir cada uno por el "bien común“. Bien común supone asegurarse de que la utilidad total se maximiza. Un patrón de consumo, (c1*, c2*), es socialmente óptimo si se maximiza la suma de la utilidad de los dos jugadores, es decir, si se soluciona el problema siguiente: Este procedimiento conduce a una solución socialmente óptima C1*= C2 *=y/4 Cada jugador consume un cuarto del recurso en cada período La utilidad para cada jugador es 2log (y /4)=2log (y) –log 16

Comparación del equilibrio con el uso socialmente óptimo Equilibrio de Nash dos terceras partes de los recursos se utilizan en el primer período. Uso socialmente óptimo la mitad del recurso se utiliza en el primer período Tragedia de los comunes. Exceso de extracción del recurso en el equilibrio de Nash Criterio individual (utilidad propia) Si el jugador 1 recorta su consumo en el primer periodo en una unidad, hace que haya una unidad disponible para el consumo de ambos jugadores en el segundo período Es capaz de recuperar sólo la mitad de esta unidad adicional en el segundo período, debido a que la otra mitad queda para el jugador 2. Criterio social (utilidades de ambos jugadores) Una unidad de consumo dejada para mañana por cualquiera de los jugadores sigue siendo en el segundo periodo una unidad de consumo para la sociedad en su conjunto.

Problema en grandes poblaciones Sea N el número de jugadores y c1,…,cN sus consumos En el equilibrio de Nash Cada jugador consume la misma cantidad con un nivel de consumo en equilibrio de c1* = c2* =... = cN* =y/ (N +1). El consumo total es Ny/(N +1). La cantidad que queda después del primer período es y/(N +1). Si N es grande una pequeña cantidad del recurso alcanza el segundo periodo En el uso social El consumo que maximiza la utilidad conjunta de todos los jugadores es c1= c2=... = cn = y/2N El consumo total es y/2 La cantidad que queda después del primer período es y/2 Independientemente de N la mitad del recurso alcanza el segundo periodo A medida que el número de jugadores aumenta la tragedia es aún más grave.

Conclusiones En el juego con horizonte infinito cada jugador decide cuánto consumir sólo mirando el tamaño del recurso actual (estrategia markoviana) no requiere que el jugador tenga información de lo que ha hecho su rival en el pasado o de cómo el recurso ha evolucionado en períodos anteriores. Un equilibrio perfecto en subjuegos mediante estrategias markovianas recibe el nombre de equilibrio perfecto de Markov (MPE). Si el número de entornos es finito siempre existe un MPE. Si el número de entornos es infinito no podemos garantizar que exista un MPE La conclusión final sobre este equilibrio es que está siempre por debajo de la solución socialmente óptima. Se extrae demasiado recurso y las utilidades de equilibrio son más bajas que las utilidades socialmente óptimas. Usando estrategias del disparador a veces se puede remediar este problema. Si los jugadores creen que en el futuro el buen comportamiento será recompensado y el mal comportamiento castigado son propensos a cooperar.