Modelos de Líneas y Performance Línea con parámetros distribuidos de largo l : zx Is I(x + x) I(x) Ir + + + + yx yx Vs V(x+ x) V(x) Vr - - - - x x l Constante de fase Constante de atenuación

Ejemplo 5.1: Aplicación función movie para ver la propagación de la onda de tensión en una línea de transmisión: xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29]; % Preparación de los datos de entrada datc=[15.19 0.0234 3 40]; datn=[4.75 3.75]; ro=100; f=60; [z012]= zser(xy,datc,datn,ro,f) [y012]= yshunt(xy,datc,datn,ro,f) zp=z012(2,2); % Cálculo de la impedancia serie yp=y012(2,2); % y admitancia serie sec. positiva. Vr=150e3; % Tensión y Ir=500; % Corriente en el extremo receptor x=(0:10:1250); % Tramo a considerar en (km). gamma=sqrt(zp*yp); % Cálculo de las constantes de la Zc=sqrt(zp/yp); % ecuacion de tensión a lo largo de la A1=(Vr+Zc*Ir)/2; % línea A2=(Vr-Zc*Ir)/2; alfa=real(gamma); beta=imag(gamma); axis([x(1) x(end) -300e3 300e3]); % Le fijo los ejes set(gca,'nextplot','replacechildren'); % Le digo que la curva siguiente me % reemplace la anterior sin actualizarme % sin actualizarme los ejes set(gca,'XDir','reverse'); M=moviein(20); % Me prepara la variable M para recibir 20 curvas. w=2*pi*60; j=0; for t = 0:1e-3:16.67e-3 j=j+1; V1=sqrt(2)*A1*exp(alfa*x).*cos(w*t+beta*x); V2=sqrt(2)*A2*exp(-alfa*x).*cos(w*t-beta*x); plot(x,real(V1+V2)); pause M(:,j) = getframe; % Va "guardando" cada figuar en M end movie(M,20)

El siguiente archivo resuelve V(x) e I(x) usando el symbolic toolbox: Ejemplo 5.2: El siguiente archivo resuelve V(x) e I(x) usando el symbolic toolbox: syms Vx z y Ix Vr Ir % Declaración de las variables simbólicas gamma=sqrt(z*y); Vx=dsolve('D2Vx-(gamma^2)*Vx=0','x') % Solución de V(x) derVx=diff(Vx); % Cálculo de la derivada de V(x) Ix=simple((1/z)*derVx) % Cálculo de I(x) y posterior simplificación eq1=['Vr=' char(subs(Vx,0))]; % Armado del sistema de ecuaciones para resolver eq2=['Ir=' char(subs(Ix,0))]; % C1 y C2 [C1,C2]=solve(eq1,eq2,'C1','C2') % Cálculo de C1 y C2 1 La ejecución nos da el siguiente resultado: » te5ej2 Vx = C1*exp(gamma*x)+C2*exp(-gamma*x) Ix = gamma*(C1*exp(gamma*x)-C2*exp(-gamma*x))/z C1 = 1/2*(gamma*Vr+Ir*z)/gamma C2 = 1/2*(-Ir*z+gamma*Vr)/gamma Comentarios: 1 - eq1 y eq2 son strings que contienen las ecuaciones para determinar C1 y C2 se forman así: subs(Vx,0) substituye por x=0 en la expresión de Vx dando como resultado C1+C2, lo que convertimos de simbólico en string con el comando char y finalmente concatenamos con ‘Vr=‘ quedando entonces eq1=‘Vr=C1+C2’, analogamente para Ix(0). En la sintaxis de solve se debe aclara que se resolverá para C1 y C2 afín que el Matlab pueda distinguir las incógnitas de los parámetros.

Dado el siguiente modelo : Z Is Iz Ir + + Vs Y/2 Y/2 Vr - -

Recapitulando: Dado los parámetros z e y de una línea de transmisión se puede relacionar la corriente y tensión de salida con la corriente y tensión de entrada mediante la expresión: Además la línea se puede representar por el siguiente modelo : Z=Zc sinh ( l) Is Ir + + Vs Vr - -

Argumentos de entrada: Impedancia serie en  Admitancia shunt en . Función zy2abcd : La siguiente función, dados los parámetros de secuencia positiva (o secuencia cero) de una línea, calcula los parámetros del equivalente  y las constantes A B C D . Argumentos de entrada: Impedancia serie en  Admitancia shunt en . Longitud en km. Argumentos de salida: Elemento serie del equivalente . Elemento shunt del equivalente  Matriz 2x2 con los parámetros A B C D  function[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,l) gamma=sqrt(z*y); Zc=sqrt(z/y); A=cosh(gamma*l); B=Zc*sinh(gamma*l); C=1/Zc*sinh(gamma*l); D=A; ABCD=[A B;C D]; Z=B; Y=2*(A-1)/B; Ejemplo 5.3: Dados los siguientes parámetros de línea, plotear la diferencia en por ciento entre la constante C calculada usando parámetros distribuidos y calculada usando parámetros concentrados en un rango de 1 a 500 km. z=0.0238 + 0.3476i /km y=4.7410i   /km Módulo Angulo

clear z=0.0238 + j*0.3476; y=j*4.7410*1e-6; l=1:500; for k=l, Zc=z*k; Yc=y*k; Cc(k)=Yc*(1+Yc*Zc/4); % C usando parámetros concentrados. [Zd,Yd,abcd]= zy2abcd(z,y,k); Cd(k)=abcd(2,1); % C usando parámetros distribuidos. end pC=100*((Cd-Cc)./Cd); % Diferencia porcentual entre uno y otro. pM=abs(pC); pA=angle(pC); figure(1) subplot(2,1,1), plot(l,pM) title('Diferencia porcentual de C') ylabel('% módulo') grid subplot(2,1,2), plot(l,pA) ylabel('% fase') xlabel('Longitud en km') zoom

Argumentos de entrada: Función dadoR: Dadas las magnitudes en el extremo receptor de la línea, la siguiente función calcula las magnitudes en el extremo emisor, así como las perdidas, regulación de tensión y eficiencia. Argumentos de entrada: Vector tensión extremo receptor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Vector potencia extremo receptor - [Pr (MW) Qr (MVAr)] ABCD - Matriz de 2x2 con las constantes de la línea. Argumentos de salida: Vector tensión extremo emisor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Vector potencia extremo emisor- [Ps (MW) Qs (MVAr)] Vector perdidas - [Pl (MW) Ql (MVAr)] Regulación de tensión en %. Eficiencia en %. function[vVs,vSs,vSl,VReg,Ef]=dadoR(vVr,vSr,ABCD) VrM=vVr(1); % Extracción de los valores de módulo if length(vVr)==1; % y fase del vector tensión en el extremo VrF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0. else VrF=vVr(2); end VrFrad=deg2rad(VrF); Vr = VrM*exp(j*VrFrad)/sqrt(3); % Tensión fase-tierra compleja. Pr=vSr(1); % Extracción de los valores de P y Q Qr=vSr(2); % del vector de potencia en el extremo receptor. Sr = Pr+j*Qr; % Potencia aparente. Ir = conj(Sr)/(3*conj(Vr)); % Corriente compleja. VsIs = ABCD*[Vr;Ir]; % Cálculo de la tensión Vs = VsIs(1); % y corriente en el extremo emisor. Is = VsIs(2); % usando ABCD. VsM = abs(Vs)*sqrt(3); % Módulo y ángulo de la tensión VsF = rad2deg(angle(Vs)); % fase-fase. Ss = 3*Vs*conj(Is); % Potencia aparente extremo emisor. Ps = real(Ss); % Potencia real. Qs = imag(Ss); % Potencia reactiva. Sl = Ss - Sr; % Pérdida aparente. Pl = real(Sl); % Pérdida real. Ql = imag(Sl); % Pérdida reactiva. vVs = [VsM VsF]; % Vector tensión en el extremo emisor. vSs = [Ps Qs]; % Vector potencia en el extremo emisor. vSl = [Pl Ql]; % Vector perdidas. VReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulación de tensión. Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia. 1

Comentarios: 1 - La regulación de tensión es la diferencia porcentual entre la tensión en el extremo receptor en condición de vacío frente a la tensión en el mismo extremo en condición de carga: Ejemplo 5.4: Aplicación con los siguientes datos de entrada: línea de 60Hz, 300km cuyos parámetros son: r=0.016 /km, L=0.97mH/km y C=0.0115 F/km, en el extremo receptor la potencia de la carga es 800 MW 600 MVAr y la tensión 500kV. w=2*pi*60; z=0.016+j*w*0.97*1e-3; y=j*w*0.0115*1e-6; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,300); vVr=500; vSr=[800 600]; [vVs,vSs,vSl,VReg,Ef]= dadoR(vVr,vSr,ABCD) vVs = 623.5109 15.5762 vSs = 815.4043 535.1287 vSl = 15.4043 -64.8713 VReg = 34.1597 !!! Ef = 98.1108

Función dadoS: La siguiente función es análoga a la anterior pero en este caso se dan los datos en el extremo emisor y se calculan los del extremo receptor. function[vVr,vSr,vSl,VReg,Ef]=dadoS(vVs,vSs,ABCD) VsM=vVs(1); % Extracción de los valores de módulo if length(vVs)==1; % y fase del vector tensión en el extremo VsF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0. else VsF=vVs(2); end VsFrad=deg2rad(VsF); Vs = VsM*exp(j*VsFrad)/sqrt(3); % Tensión fase-tierra compleja. Ps=vSs(1); % Extracción de los valores de P y Q Qs=vSs(2); % del vector de potencia en el extremo emisor. Ss = Ps+j*Qs; % Potencia aparente. Is = conj(Ss)/(3*conj(Vs)); % Corriente compleja. VrIr = inv(ABCD)*[Vs;Is]; % Cálculo de la tensión Vr = VrIr(1); % y corriente en el extremo receptor. Ir = VrIr(2); % usando el inverso de ABCD. VrM = abs(Vr)*sqrt(3); % Modulo y ángulo de la tensión VrF = rad2deg(angle(Vr)); % fase-fase. Sr = 3*Vr*conj(Ir); % Potencia aparente extremo receptor. Pr = real(Sr); % Potencia real. Qr = imag(Sr); % Potencia reactiva. Sl = Ss - Sr; % Pérdida aparente. Pl = real(Sl); % Pérdida real. Ql = imag(Sl); % Pérdida reactiva. vVr = [VrM VrF]; % Vector tensión en el extremo receptor. vSr = [Pr Qr]; % Vector potencia en el extremo receptor. vSl = [Pl Ql]; % Vector perdidas. VReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulación de tensión. Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia. Comentarios: Idéntica a la anterior pero en este caso usando la relación:

cortocircuito en el extremo emisor y en el receptor. Función corto: Dada la tensión en el extremo emisor, la siguiente función calcula la corriente de cortocircuito en el extremo emisor y en el receptor. Argumentos de entrada: Vector tensión extremo emisor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Matriz 2x2 con los parámetros A B C D. Argumentos de salida: Corriente de cortocircuito extremo receptor, en ampers. Corriente de cortocircuito extremo emisor, en ampers. function[Ir,Is]=corto(vVs,ABCD) VsM=vVs(1); % Extracción de los valores de módulo if length(vVs)==1; % y fase del vector tensión en el extremo VsF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0. else VsF=vVs(2); end VsFrad=deg2rad(VsF); Vs = VsM*exp(j*VsFrad)/sqrt(3); % Tensión fase-tierra compleja. Ir=Vs/ABCD(1,2); % Corriente de cortocircuito extremo receptor Is=ABCD(2,2)*Ir; % Corriente de cortocircuito extremo emisor Comentarios: Dada la siguiente configuración en cortocircuito: Is Ir + + A B C D Vs Vr=0 - - Línea Se tiene:

Flujo de potencia compleja a través de las líneas de transmisión. Ir + + A B C D Vs Vr - - Línea

Argumentos de entrada: Función comp: ¿Cual es la compensación que hay que poner en el extremo receptor de una línea para que la tensión en este sea la requerida?. Argumentos de entrada: Vector tensión requerida en el extremo receptor - [Módulo Fase]. Vector potencia en el extremo receptor- [Pr Qr]. ABCD - Matriz de 2x2 con las constantes de la línea. Porcentaje de compensación capacitiva serie. Módulo de la tensión en el extremo emisor. Argumentos de salida: Vector tensión en el extremo emisor- [Módulo Fase]. Vector potencia en el extremo emisor - [Ps Qs] Vector perdidas - [Pl Ql]. Potencia de la compensación shunt. Potencia de la compensación serie. Regulación de tensión. Eficiencia. Corriente compleja en el extremo emisor. Corriente compleja en el extremo receptor. Funcionalidades adicionales del programa: - Permite entrar con el porcentaje de la impedancia serie de la línea que se quiere compensar con un capacitor serie. El programa recalcula las constantes ABCD con este nuevo elemento (se puede ingresar 0 si no interesa considerar esta opción) - Se puede no ingresar la tensión en el extremo emisor, en este caso el programa interpreta que no se quiere calcular compensación shunt, y el problema se reduce a la función dadoR aunque con la opción de considerar compensación serie. Is Ir Qcsr + + Icsh Icarga A B C D Vs Vr Qcsh Pr, Qcarga - -

function[vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs) if nargin==4; % Si no se ingresa Vs se le asigna Vs=-1; % un "flag" -1 lo que le indicará al end % programa que no debe calcular % compensación "shunt". VrM=vVr(1); % Extracción de los valores de módulo if length(vVr)==1; % y fase del vector tensión en el extremo VrF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0. else VrF=vVr(2); end VrFrad=deg2rad(VrF); Vr = VrM*exp(j*VrFrad)/sqrt(3); % Tensión fase-tierra compleja. Pr=vSr(1); % Extracción de los valores de P y Q Qcarga=vSr(2); % del vector de potencia en el extremo receptor. Scarga = Pr+j*Qcarga; % Potencia de carga aparente. Z=ABCD(1,2); % Cálculo de las constantes del Y=2*(ABCD(1,1)-1)/ABCD(1,2); % modelo pi. if kc~=0, % Si se ingresa compensación serie: Xcsr=-j*kc*imag(Z)/100; % se calcula la reactancia de esta, Z2=Z+Xcsr; % se le adiciona a la Z serie de la línea ABCD=[1+Z2*Y/2 Z2;Y*(1+Z2*Y/4) 1+Z2*Y/2]; % y se recalculan las else % constantes ABCD. Xcsr=0; if Vs~=-1, % Se procede a calcular la compensación ba = angle( ABCD(1,2) )- angle(ABCD(1,1)); S1 = Vs*VrM/abs(ABCD(1,2)); S2 = abs(ABCD(1,1))*VrM^2/abs(ABCD(1,2)); bd = acos( (Pr + S2*cos(ba))/S1 ); Qr = S1*sin(bd) - S2*sin(ba); Qcsh = Qr - Qcarga; Qr=Qcarga; Qcsh=0; 1

S1 S2 Sr = Pr + j*Qr; % Potencia en el extremo receptor Ir = conj(Sr)/(3*conj(Vr)); % Corriente en el extremo receptor Icarga = conj(Scarga)/(3*conj(Vr)); % Corriente solo en la carga Icsh = Ir - Icarga; % Corriente a través de la compensación VsIs = ABCD*[Vr; Ir]; % Tensión y corriente en el extremo emisor Vs = VsIs(1); Is = VsIs(2); VsM = abs(Vs)*sqrt(3); VsF = rad2deg(angle(Vs)); vVs=[VsM VsF]; % Vector tensión extremo emisor Ss = 3*Vs*conj(Is);Ps=real(Ss);Qs=imag(Ss);% Potencia extremo emisor vSs=[Ps Qs]; % Vector potencia en el extremo emisor Sl = Ss - Sr;Pl = real(Sl); Ql = imag(Sl); % Perdidas en la línea vSl=[Pl Ql]; % Vector perdidas en la línea Ilinea = Ir + Y/2*Vr; % Corriente en la línea Qcsr =-abs(Xcsr)*(abs(Ilinea))^2; % Potencia capacitiva serie VReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulación de tensión. Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia. Comentarios: 1 - S1 S2

Ejemplo 5.5: Dada la línea del ejemplo 5.4, calcular la compensación necesaria para que, cuando la línea está en vacío, la tensión en el extremo receptor sea de 500 kV, siendo la tensión en el extremo emisor también de 500kV, además comparar graficamente el perfil de tensiones de la línea con compensación y en vacío en un rango de 0 a 300 km de 10 en 10. clear w=2*pi*60; z=0.016+w*j*0.97e-3; y=w*j*0.0115e-6; l=0:10:300; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,max(l)); vVr=500; vSr=[100 400]; kc=0; Vs=500; [vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs) in=0; for k=l; in=in+1; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,k); vV=dadoS(vVs,vSs,ABCD); % Cálculo tensión con compenzación V(in)=vV(1); Vro(in)=abs(Vs/ABCD(1,1)); % Cálculo tensión en vacio end figure(1) plot(l,V,l,Vro) title('Perfil de tensiones') ylabel('Módulo en kV') xlabel('Distancia en km') grid zoom

» te5ej5 vVs = 500.0000 0.0021 vSs = 0.1741 -164.5422 vSl = 0.1741 -329.0769 Qcsh = 164.5347 MVAr inductivos

Ejemplo 5.6: Determinar la performance de la línea del ejemplo 5.4, con una compensación shunt tal que las tensiones en los extremos emisor y receptor sean de 500kV, además la línea cuenta con una compensación serie del 40%, comparar la regulación de tensión con la encontrada en el ejemplo 5.4. clear w=2*pi*60; z=0.016+w*j*0.97e-3; y=w*j*0.0115e-6; l=0:10:300; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,max(l)); vVr=500; vSr=[800 600]; kc=40; Vs=500; [vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs) » te5ej6 vVs = 500.0000 12.0224 vSs = 812.2567 -137.0232 vSl = 12.2567 -159.3035 Qcsh = -577.7196 MVAr Capacitivos Qcsr = -37.7274 VReg = 4.4162 Gran mejora! Ef = 98.4910

Argumentos de entrada: Módulo tensión en el extremo receptor Función diagpot: Esta función construye diagramas Qr contra Pr para diferentes relaciones de Vs y Vr, en el rango de  dado. Argumentos de entrada: Módulo tensión en el extremo receptor Vector relación Vs/Vr, ej: (0.8:0.1:1.3) Vector ángulo delta entre Vr y Vs, ej: (0:40) Constantes ABCD function diagpot(VrM,rVsr,delta,ABCD) d = delta*pi/180; ld=length(d); lrVsr=length(rVsr); ba = angle( ABCD(1,2) )- angle(ABCD(1,1)); for k = 1:lrVsr, % Sentencias de cálculo de Pr y Qr, para k diferentes VsM = VrM*rVsr(k); % relaciones de Vs/Vr, en un rango dado de delta. bd = angle(ABCD(1,2)) - d; S1 = VsM*VrM/abs(ABCD(1,2)); S2 = abs(ABCD(1,1))*VrM^2/abs(ABCD(1,2)); Pr(:,k) = (S1*cos(bd) - S2*cos(ba))'; Qr(:,k) = (S1*sin(bd) - S2*sin(ba))'; end % Ploteo de las curvas Pr y Qr, y puntos Pr y Qr en intervalos de 10 en 10 grados. plot(Pr, Qr,Pr(1:10:ld,:),Qr(1:10:ld,:),'s'); tx = max(Pr); ty = min(Qr); % Determinación de las coordenadas de los textos % indicando la relación Vs/Vr de cada curva. for k=1:lrVsr % "Impresión" de las relaciones Vs/Vr text( tx(k)+50, ty(k), num2str(rVsr(k))) xlabel('Pr, MW'), ylabel('Qr, Mvar') titulo=['Diagrama de potencia: delta de ' num2str(min(delta)) ' a ’... num2str(max(delta))]; title(titulo) grid zoom

Módulo de la tensión en el extremo receptor 500 Ejemplo 5.7: Usar la función anterior para obtener los diagramas Qr contra Pr, para: Módulo de la tensión en el extremo receptor 500 Se harán tres diagramas: Vs/Vr=[0.8 1 1.2], para  variando de 0 a 40 grados. Considerar la misma línea de los ejemplos anteriores. clear w=2*pi*60; z=0.016+w*j*0.97e-3; y=w*j*0.0115e-6; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,300); % A los efectos de considerar compensación serie: % Xcsr=-j*40*imag(Z)/100; % Z2=Z+Xcsr; % ABCD=[1+Z2*Y/2 Z2;Y*(1+Z2*Y/4) 1+Z2*Y/2]; VrM=500; rVsr=(0.8:0.2:1.2); delta=(0:40); diagpot(VrM,rVsr,delta,ABCD)

Ejemplo 5.8: Repetir el ejemplo anterior con una compensación serie del 40 %.