Computacion Inteligente 2017/4/11 Computacion Inteligente Sistemas fuzzy en entornos crisp

Contenido Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento 2017/4/11 Contenido Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento Interfaces con el mundo crisp. Fuzzificacion y defuzzificacion Sistemas fuzzy tipo Mamdani Sistemas Takagi-Sugeno

Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento 2017/4/11 Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento

Sistemas fuzzy linguisticos: funcionamiento Inference Engine Input Output Salida lingüística Entrada lingüística Fuzzy Knowledge base

El mecanismo de Inferencia Usando las reglas fuzzy del tipo If-Then convierte la entrada fuzy en una salida fuzy razonamiento fuzzy

El mecanismo de inferencia 2017/4/11 El mecanismo de inferencia El mecanismo de inferencia se compone de algun metodo de razonamiento fuzzy: Inferencia Relacional, Mamdani, . . . y la agregacion

La base de conocimientos 2017/4/11 La base de conocimientos La base de conocimientos se compone de La base de reglas La base de datos La base de conocimientos se puede obtener a partir de Conocimiento “experto” A partir de datos

La base de conocimientos 2017/4/11 La base de conocimientos La base de reglas

La base de conocimientos 2017/4/11 La base de conocimientos La base de datos Limites de los dominios X y Y Definicion matematica de los terminos linguisticos en los conjuntos fuzzy correspondientes: La “base de conocimientos” esta constituida por:

Interfaces con el mundo crisp 2017/4/11 Interfaces con el mundo crisp

Fuzificación y defuzificación En general, las entradas y salidas de un Sistema de inferencia fuzzy son terminos fuzzy μA’(x) y μB’(y) Sin embargo, en un sistema fisico real usualmente se desea tener valores crisp. Son necesarios entonces los bloques Fuzificador y defuzificador

Fuzificación La interfaz de fuzificacion 2017/4/11 Fuzificación La interfaz de fuzificacion Transforma los valores crisp de entrada a un conjunto fuzzy

Fuzificación La salida del fuzificador no es un valor de pertenencia sino una funcion de pertenencia

Seleccion de la funcion de fuzificacion 2017/4/11 Seleccion de la funcion de fuzificacion Un conjunto singleton asume que los datos observados no contienen vaguedad Cuando hay incertidumbre, la fuzificacion convierte los datos probabilisticos en numeros fuzzy 1 x0 F(x) x Singleton base Numero fuzzy

Defuzificación La interfaz de defuzificacion 2017/4/11 Defuzificación La interfaz de defuzificacion Convierte un conjunto difuso a un valor crisp. Es la extraccion del valor crisp que mejor represente al conjunto fuzzy En muchas aplicaciones practicas es necesario tener a la salida un valor crisp

Seleccion de la funcion defuzificacion 2017/4/11 Seleccion de la funcion defuzificacion No existe un procedimiento sistematico para seleccionar una buena estrategia de defuzificacion La seleccion toma en consideracion las propiedades de la aplicacion en cada caso Existen diferentes metodos

Defuzz.: Centro de gravedad 2017/4/11 Defuzz.: Centro de gravedad Metodo del Centro de gravedad

Defuzz.: Bisector de area 2017/4/11 Defuzz.: Bisector de area Areas iguales

Defuzzyficación: Media de los centros 2017/4/11 Defuzzyficación: Media de los centros Metodo de la Media de los centros:

Varios esquemas de defuzzificacion

Varios esquemas de defuzzificacion

Sistemas fuzzy linguisticos en entornos crisp Knowledge base Input Fuzzifier Inference Engine Defuzzifier Output

Ejemplo: modelado del nivel de liquido 2017/4/11 Ejemplo: modelado del nivel de liquido Entrada: singleton salida: metodo del centroide

Estructura de los sistemas fuzzy 2017/4/11 Fuzzy control can thus be regarded from two viewpoints. The first one focuses on the fuzzy if-then rules that are used to locally define the nonlinear mapping and can be seen as the user interface part of fuzzy systems. The second view consists of the nonlinear mapping that is generated from the rules and the inference process Estructura de los sistemas fuzzy Un sistema fuzzy puede verse desde dos puntos de vista Vista externa Relacion de entrada-salida no lineal Vista interna La base de reglas: Interfaz con el usuario

Vista externa de un sistema fuzzy 2017/4/11 Vista externa de un sistema fuzzy Un sistema fuzzy es un mapeo no lineal

Vista externa de un sistema fuzzy 2017/4/11 Vista externa de un sistema fuzzy Superficie total de entrada-salida

Vista interna de un sistema fuzzy 2017/4/11 Vista interna de un sistema fuzzy

Tipos de sistemas Fuzzy Sistemas fuzzy Mamdani Usados en muchas aplicaciones Sistemas Sugeno Usados en aplicaciones donde es necesaria una aproximacion sistematica (analisis) Modelado fuzzy basado en datos

Sistemas fuzzy tipo Mamdani 2017/4/11 Sistemas fuzzy tipo Mamdani

Modelo Mamdani en entornos crisp 2017/4/11 Modelo Mamdani en entornos crisp El consecuente de las reglas son conjuntos fuzzy Las etapas de fuzificacion y defuzificacion realizan la interfaz con el entorno crisp

Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide Ejemplo R1 : IF X is small THEN Y is small R2 : IF X is medium THEN Y is medium R3 : IF X is large THEN Y is large Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide mam1.m

Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide Ejemplo R1: IF X is small AND Y is small THEN Z is negative large R2: IF X is small AND Y is large THEN Z is negative small R3: IF X is large AND Y is small THEN Z is positive small R4: IF X is large AND Y is large THEN Z is positive large Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide Salida mam2.m

Modelo Mamdani singleton 2017/4/11 Modelo Mamdani singleton Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton bi son numeros reales cada regla tiene su propio bi

Modelo Mamdani singleton 2017/4/11 Modelo Mamdani singleton Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton bi son numeros reales cada regla tiene su propio bi Defuzificacion COG

El consecuente es un conjunto singleton 2017/4/11 El modelo Mamdani Definidos todos los parametros El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp El consecuente es un conjunto singleton

con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente 2017/4/11 El modelo Mamdani El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente

2017/4/11 El modelo Mamdani Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp

Computacion Inteligente 2017/4/11 Computacion Inteligente Sistemas Takagi-Sugeno

Contenido El modelo Takagi-Sugeno 2017/4/11 Contenido El modelo Takagi-Sugeno Un caso especial: El modelo Singleton Un caso especial: Salida lineal Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos

El modelo Takagi-Sugeno 2017/4/11 El modelo Takagi-Sugeno

Modelos Fuzzy Sugeno Tambien conocidos como modelos fuzy TSK Takagi, Sugeno & Kang, 1985 Objetivo: generacion de reglas fuzy a partir de un conjunto de datos de entrada/salida

Modelos fuzzy Tipo Sugeno 2017/4/11 Modelos fuzzy Tipo Sugeno Combina conjuntos fuzzy en el antecedente con una funcion crisp en la salida Reglas de la forma: donde es un vector de parametros. Las funciones tienen la misma estructura La salida x es crisp

Consecuente en sistemas fuzzy TS 2017/4/11 Consecuente en sistemas fuzzy TS En general Kr03 ACApassino Jager TAKAGI,T.AND M. SUGENO (1983). Derivation of fuzzy control rules from human operator’s control actions. See E.Sanchez and Gupta (1983), pp. 55–60. In Takagi-Sugeno (TS) rules consequent fuzzy proposition is replaced by an affine linear function of inputs and each rule can be considered as a local linear model that are then blended together by means of aggregation to form the overall output y. This model is called an affine TS model. El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)

Consecuente en sistemas fuzzy TS 2017/4/11 Consecuente en sistemas fuzzy TS Sistema fuzzy propuesto por Takagi-Sugeno (1985) El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)

Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985) 2017/4/11 Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985) Cada regla puede ser considerada como un modelo affine local. Los modelos locales son combinados en el proceso de agregacion para obtener la salida

Inferencia en sistemas fuzzy TS 2017/4/11 Inferencia en sistemas fuzzy TS Para la interseccion y la implicacion se utiliza el operador producto. La salida es

Inferencia en sistemas fuzzy TS 2017/4/11 Inferencia en sistemas fuzzy TS indica el peso relativo con que contribuye la regla i en la salida. Grado de cumplimiento normalizado

Inferencia en sistemas fuzzy TS 2017/4/11 Inferencia en sistemas fuzzy TS Definidos todos los parametros El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp

Un caso especial: El modelo Singleton 2017/4/11 Un caso especial: El modelo Singleton

El modelo singleton: caso especial 2017/4/11 El modelo singleton: caso especial La funcion de salida es un valor constante bi son numeros reales cada regla tiene su propio bi

El modelo singleton Sugeno 2017/4/11 El modelo singleton Sugeno Definidos todos los parametros El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp Se puede interpretar como un modelo Mamdani

Expansiones en funciones base 2017/4/11 Expansiones en funciones base El modelo singleton es un caso especial de las expansiones en funciones base

El modelo singleton: interpolacion 2017/4/11 El modelo singleton: interpolacion Interpolacion multilinear ocurre si: Funciones de pertenencia de entrada: trapezoidales o triangulares Formando una particion fuzzy El conectivo AND es representado por el operador producto

Un ejemplo de interpolacion 2017/4/11 Un ejemplo de interpolacion Mapeo de entrada-salida lineal a trozos resultante

2017/4/11 El modelo singleton Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp

Un caso especial: Salida lineal 2017/4/11 Un caso especial: Salida lineal

modelos Sugeno : salida lineal 2017/4/11 modelos Sugeno : salida lineal Reglas de la forma La salida es

modelos Sugeno : salida lineal 2017/4/11 modelos Sugeno : salida lineal La salida es Lineal en los parametros, cuasi-lineal en x

Ejemplo 1: Una sola entrada 2017/4/11 Ejemplo 1: Una sola entrada

modelos Sugeno: ejemplo 1 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 1 IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4 IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4 IF X is large THEN Y = X - 2 Si “small”, “medium” y “large” son conjuntos crisp entonces la curva total de entrada-salida es lineal a trozos sug1.m

modelos Sugeno: ejemplo 1 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 1 IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4 IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4 IF X is large THEN Y = X - 2

modelos Sugeno: ejemplo 1 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 1 IF x is small THEN Y=4 IF X is medium THEN Y=-0.5X+4 IF X is large THEN Y=X-1 Sin embargo, si tenemos funciones de pertenencia suaves (reglas fuzzy) la curva total de entrada-salida es suave

modelos Sugeno: ejemplo 1 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 1 IF x is small THEN Y=4 IF X is medium THEN Y=-0.5X+4 IF X is large THEN Y=X-1

2017/4/11 Ejemplo 2: Dos entradas

modelos Sugeno: ejemplo 2 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 2 Dos entradas una salida con 4 reglas IF X is small AND Y is small THEN z=-x+y+1 IF X is small AND Y is large THEN z=-y+3 IF X is large AND Y is small THEN z=-x+3 IF X is large AND Y is large THEN z=x+y+2 sug2.m

modelos Sugeno: ejemplo 2 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 2 MFs de los antecedentes

modelos Sugeno: ejemplo 2 2017/4/11 modelos Sugeno: ejemplo 2 Superficie total de entrada-salida

2017/4/11 Ejercicio 1 Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 1 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab

2017/4/11 Ejercicio 2 Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 2 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab

Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos 2017/4/11 Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos

Sistemas fuzzy TS dinamicos 2017/4/11 Sistemas fuzzy TS dinamicos Modelado de sistemas dinamicos no lineales Cada regla representa una aproximacion lineal del sistema no lineal en un punto de operación determinado Babuska kr01-3

Sistemas fuzzy TS dinamicos 2017/4/11 Sistemas fuzzy TS dinamicos Un sistema TS dinamico es un “scheduling” fuzzy Babuska kr01-3 Jager, 1995 From another point of view, a rule base with Sugeno rules can be seen as a set of local controllers each with its own set of controller parameters. This mechanism is in fact the same as gain scheduling, although it is not known as “fuzzy” technique: different controller parameters for different input combinations/situations are defined. The use of fuzzy sets and inference and defuzzification result in “fuzzy gain scheduling”, where the transition from one set of controller parameters to another is smooth. However, the problem of discontinuous transitions from one set of controller parameters to another was recognized a long time ago, and the solution is known as “bumpless” transfers (Astrom and Wittenmark, 1984).

2017/4/11 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995. Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

2017/4/11 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

2017/4/11 Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001 J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002? Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001

2017/4/11 Fuentes Djamel Bouchaffra, Soft Computing (Lecture Notes). Oakland University. Fall 2005 K. Ahmad, B. Vrusias, M. Casey, Artificial Intelligence (Lecture Notes). Center for Knowledge Management. Department of Computing. University of Surrey. September 2004