Coloración de Grafos Planos Avance del proyecto de medio término Huberto Ayanegui Santiago José María Vega Ramos Enrique Ayala Franco 15 de marzo de 2001

Coloración de grafos Consiste en asignar colores a los vértices de un grafo no dirigido con la condición que para todo par de vértices adyacentes estos no sean coloreados del mismo color.

Aplicaciones

Grafos Planos Definición: Un grafo finito no dirigido se denomina plano, si puede ser dibujado sobre una superficie plana de forma que sus aristas se intersecten únicamente en los vértices.

Grafos Planos Ejemplos:

Teorema de los 4 colores Cualquier grafo plano puede ser coloreado con no más de cuatro colores, de modo que ningún par de vértices adyacentes tengan el mismo color. Francis Guthrie (1850) El teorema fue comprobado por Appel  y Haken (1976)

Teorema de los 4 colores

Solución propuesta Grafo plano Matriz de adyacencias Reducción a FNC´s Davis &Putnam Solución Interpretación

EJEMPLO

Grafo Plano 1 3 2 5 4

MATRIZ DE ADYACENCIAS X1 X2 X3 X4 X5 1

Reducción del Grafo a Cláusulas Para el Grafo mostrado tenemos 5 vértices y 4 colores posibles para colorearlo Definiremos una proposición de la forma: Xi,j donde: i = # de vertice j = # de color

El primer paso es garantizar que cada vértice tenga al menos un color. Entonces proponemos cláusulas de esta forma: X11 v X12 v X13 v X14 X21 v X22 v X23 v X24 X31 v X32 v X33 v X34 X41 v X42 v X43 v X44 X51 v X52 v X53 v X54

El segundo paso es garantizar que cada vértice tenga un solo color. Y las cláusulas tienen esta forma: ~X11 v ~X12 v ~X13 v ~X14 ~X21 v ~X22 v ~X23 v ~X24 ~X31 v ~X32 v ~X33 v ~X34 ~X41 v ~X42 v ~X43 v ~X44 ~X51 v ~X52 v ~X53 v ~X54

El Tercer Paso es garantizar que para cada dos vértices adyacentes no tengan el mismo color. En la primera cláusula se indica que el vértice 1 adyacente al 2, no pueden tener el mismo color 1, y así susesivamente para cada par de vértices adyacentes ~X11 v ~X21 ~X12 v ~X22 ~X13 v ~X23 ~X14 v ~X24

Al convertir a la Matriz FNC Consideraremos: 0 = ~X 1 = X -1 = no hay asignación de verdad -2 = proposición que fue eliminada

FNC en Matriz X11 X12 X13 X14 ...... X31 ..... X53 X54 C1 1 -1 C2 C3 .... C29 C30

Solución SAT function davis-putnam(in FORMULA : lista de cláusulas) reduce(FORMULA, VREDUCE) if FORMULA esta vacia then return VREDUCE; else if FORMULA contiene una clausula vacía then return "FAIL“ else begin escoge una variable V de FORMULA; VALUACION := davis-putnam(substituye(TRUE, V, FORMULA)) if VALUACION != FAIL then return agrega(V->TRUE, VREDUCE, VALUACION); VALUACION := davis-putnam(substituye(FALSE, V, FORMULA)) then return agrega(V->FALSE, VREDUCE, VALUACION); return FAIL end endif end davis-putnam

Solución SAT function substituye(TF, V, FORMULA) For cada clausula C en FORMULA do if [C contiene a V y TF = TRUE] o [C contiene a ~V y TF = FALSE] then borrar C de FORMULA else if [C contiene a V y TF = FALSE] o [C contiene a ~V y TF = TRUE] then borrar V de C endif endFor return FORMULAend_substituye

Solución SAT Procedure Reduce(in out FORMULA, VREDUCE) VREDUCE := vacío; While exista una clausula C en FORMULA con solo una literal L IF L es una variable positiva V then FORMULA := sustitucion(VERDADERO, V, FORMULA) VREDUCE := cons(V-> TRUE, VREDUCE); Else IF L es la negacion de la variable V then FORMULA := sustitucion(FALSE,V,FORMULA) VREDUCE := cons(V-> FALSE, VREDUCE); EndIF EndWhile return(FORMULA)end_Reduce

Grafo Coloreado 1 3 2 5 4