“CAMPOS Y OEM”/ “PROPAGACION DE OEM” EIE - 340 / IEE - 447 “CAMPOS Y OEM”/ “PROPAGACION DE OEM”

CAPÍTULOS 1.- Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Frontera. 2.- OEM en Medios No Confinados. 3.- Reflexión y Refracción de OEM en Obstáculos Ideales. 4.- Líneas de Transmisión Electromagnéticas. 5.- Ondas Guiadas. 6.- Guías de Ondas. 7.- Propagación en Fibras Ópticas. 8.- Radiación. 9.- Propagación de OEM en el Entorno Terrestre. CAPÍTULOS

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

Toda la energía que incide en un conductor perfecto se refleja. 3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . Toda la energía que incide en un conductor perfecto se refleja. La onda incidente tiene un campo eléctrico dado por: La onda reflejada desde el conductor está dada por:

En general, el campo total está dado por: 3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . Por condiciones de borde en la superficie del conductor perfecto (x=0), la suma de los campos eléctricos debe ser 0 (debido a que la magnitud de campo eléctrico dentro es igual a 0 y por la continuidad de éste). Por lo tanto, en x=0: En general, el campo total está dado por:

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . Por lo tanto: El factor “sinβx” establece distintas amplitudes de Etot vs la posición “x”. En otras palabras, se produce una Onda Estacionaria.

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto .

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . En relación al campo magnético, la reflexión no invierte su fase (al contrario del campo eléctrico). En este caso, para que exista propagación en el sentido contrario (onda reflejada) según E x H, la fase de Hr es la misma que la de Hi en la superficie de reflexión. Así,

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . Por lo tanto:

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto . Resumiendo, Se aprecia el desfasaje de 90º, ya no existe el plano equifase de la OPU entre Etot y Htot, lo cual indica que no existe flujo de Densidad de Potencia.

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

Se considerarán dos casos especiales: 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. Se considerarán dos casos especiales: El campo Eléctrico E es paralelo a la superficie de frontera o perpendicular al plano de incidencia (El plano de incidencia es el plano que contiene al rayo incidente y la normal de la superficie). Este caso es llamado, a veces, Polarización Horizontal. El campo Eléctrico E es paralelo al plano de incidencia. Este caso es llamado Polarización Vertical. Note que en el caso de Polarización Vertical, el campo E tiene componente horizontal, por lo que estrictamente no es una polarización vertical. Deberían llamarse polarización Perpendicular y Paralela al plano de incidencia, respectivamente.

3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. Caso 1 Caso 2

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA La onda incidente tiene ángulo θi = θr = θ con el eje z.

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (2) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (2) Debido a que las dos ondas tienen igual  y opuestas direcciones a lo largo del eje “z”, se producirá una onda estacionaria en ese eje. En la dirección “y”, las ondas incidente y reflejada viajan hacia la derecha y por lo tanto, se formará una onda viajera.

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (3) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (3) La expresión de la onda reflejada está dada por: En este caso: Por lo tanto:

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (4) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (4) Para la onda incidente se tiene que: En este caso:

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (5) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (5) De las condiciones de frontera, se tiene que: Por lo tanto, el campo E total es la suma de las dos contribuciones:

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA En este caso, Er y Ei tienen las direcciones mostradas debido a las condiciones de frontera con un conductor perfecto, o sea, las componentes tangenciales deben ser iguales y opuestas en la frontera.

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (2) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (2) En este caso, H será reflejado sin inversión de fase para que se cumpla la dirección de propagación de la onda. Se tiene además, que: Para el H incidente y reflejado, respectivamente, se tiene que:

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (3) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (3) Debido a que Hi=Hr, el campo magnético total está dado por: Se formará una onda estacionaria en la dirección “z”.

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (4) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (4) Ahora, para determinar las componentes de E es necesario analizarlas por “y” y “z”, separadamente. Para la onda incidente: Para la onda reflejada:

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (5) 3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (5) De este modo, la componente total de E en la dirección “z” es: Y la componente “y” es:

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. En este caso, σ=0 lo que implica que no existe pérdida de energía en el medio. Consideremos una OPU viajando en sentido “x” y en x=0 se encuentra la frontera entre dos medios. Medio 1 Medio 2

Ei= E incidente que viaja por el medio 1. 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. Sea: Ei= E incidente que viaja por el medio 1. Er= E reflejado desde x=0 hacia el medio 1. Etx= E transmitido desde x=0 hacia el medio 2. Las impedancias de los medios, debido a que no son conductivos σ=0 están dadas por:

Son válidas las siguientes relaciones: 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. Son válidas las siguientes relaciones: Porque se propaga en sentido “-x”. Por continuidad de las componentes tangenciales de E y H en una superficie dieléctrica se tiene que:

De esta forma: En otras palabras: 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. De esta forma: En otras palabras:

Se define el coeficiente de Reflexión Γ: 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. Se define el coeficiente de Reflexión Γ: Se define el coeficiente de Transmisión α:

ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS: 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS: Este parámetro es muy usado en materiales ópticos y en nuestro caso, para fibras ópticas. Se define el índice de refracción de un medio como la razón de las velocidades de fase de la OEM en el vacío con respecto al medio. Generalmente, en los dieléctricos μ≈μ0 lo que implica μr≈1. Para el medio 1:

ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS (2) 3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS (2) Para el medio 2: Se puede demostrar entonces que:

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

En este caso, las condiciones de borde no son más complejas. 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. En este caso, las condiciones de borde no son más complejas. Caso 1 Caso 2

Por “Ley de Snell”, en esta figura: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. Por “Ley de Snell”, en esta figura: Además, es posible demostrar que:

Pero en este caso, se cumple la siguiente relación: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. En secciones anteriores, la densidad de potencia de una OEM estaba dada por: Pero en este caso, se cumple la siguiente relación:

Reordenando, podemos llegar a: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. Reordenando, podemos llegar a:

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA Tomaremos Ei en la dirección positiva de “x”. Asumiremos, la misma dirección para Er y Et. Tomando en cuenta que las componentes tangenciales de E debe ser continua por condiciones de frontera:

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (2) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (2) Insertando este resultado en la expresión: Y reduciendo, nos queda:

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA Por condiciones de borde, se tiene:

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (2) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (2) Insertando este resultado en la expresión: Y reduciendo, nos queda:

3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. ÁNGULO DE BREWSTER De particular interés, es la posibilidad que en la última ecuación (Polarización Paralela) se dé la posibilidad que no ocurra reflexión para un ángulo en particular. Esto ocurre cuando el numerador es cero:

Tomado en cuenta que: ÁNGULO DE BREWSTER (2) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. ÁNGULO DE BREWSTER (2) Tomado en cuenta que:

De este modo, para que el numerador sea cero, se debe cumplir que: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. ÁNGULO DE BREWSTER (3) De este modo, para que el numerador sea cero, se debe cumplir que:

De aquí, podemos llegar a que: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. ÁNGULO DE BREWSTER (4) De aquí, podemos llegar a que:

De este modo, se tiene que: 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. ÁNGULO DE BREWSTER (5) De este modo, se tiene que: En este ángulo de incidencia, el cual se denomina “Ángulo de Brewster”, no se produce rayo reflejado cuando la onda incidente está polarizada paralela.

REFLEXIÓN INTERNA TOTAL 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL Por la ley de Snell: n2 n1 θ1 θ2

REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (2) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (2) Pero, si el ángulo θ1 es grande, o sea, la onda incidente es rasante a la superficie del medio 2, entonces el valor de senθ1 será cercano a 1. Si además, n1>n2, el producto siguiente podría ser mayor que 1: En este caso, no existiría solución para θ2.

REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (3) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (3) Como conclusión, no existe Onda Transmitida hacia el medio 2 cuando se cumpla la condición antes mencionada para θ1: Siempre y cuando se cumpla que n2<n1. A este valor, se le llama “Ángulo Crítico” y si θ1 excede ese valor, la Onda no se propaga hacia el medio 2, permanece dentro del medio 1. Por esto, se habla de “Reflexión Interna Total”.

REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (4) 3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (4) n2 n1 θc

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. CAPÍTULO 3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM. 3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto. 3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto. 3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto. 3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto. 3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

Se deben cumplir las condiciones de frontera: 3.5 Incidencia en un Medio Conductivo. Supongamos, ahora que una onda plana uniforme en un medio con constantes ε1, μ1, σ1 incide normal a un medio con constantes ε2, μ2, σ2. Se deben cumplir las condiciones de frontera:

Estas ecuaciones pueden ser modificadas sabiendo que: 3.5 Incidencia en un Medio Conductivo. Estas ecuaciones pueden ser modificadas sabiendo que: Se supone que se conocerá Ei. De este modo:

Estos resultados nos llevan a que: 3.5 Incidencia en un Medio Conductivo. Estos resultados nos llevan a que:

Estos resultados nos llevan a que: 3.5 Incidencia en un Medio Conductivo. Estos resultados nos llevan a que: