“Fórmulas” de la Eficiencia Energética e impacto económico y social Agencia Chilena de Eficiencia Energética “Fórmulas” de la Eficiencia Energética e impacto económico y social

INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales Números Enteros 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 … Números Enteros …-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 … Números Racionales …-9/7 ; -6/6 ; -3/4 ; -1/2 ; 0/4 ; ½ ; ¾ ; 5/6 …

Números Naturales: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8…. En nuestro estudio de Eficiencia Energética usaremos estos números naturales clasificados de dos en dos, tres en tres, cuatro en cuatro y así sucesivamente. Es decir, si consideramos los cinco primeros números naturales de dos en dos, se tiene: 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 Estos números seleccionados, se caracterizan por que: Son números impares y más pequeños de los naturales. Se pueden contar, es decir, son cinco. El 1 es el más pequeño y el 9 es el más grande, tienen forma creciente. Ocupan lugar: Primero (1), Segundo (3), Tercero (5), Cuarto (7) y Quinto (9). La diferencia del último con el penúltimo es 2, y así sucesivamente: 9 – 7 = 2 ; 7 – 5 = 2 ; 5 – 3 = 2 ; 3 – 1 = 2 Hay números más importante que otros, así por ejemplo el 1 y el 2 son muy importantes, ya que el 1 ocupa el primer lugar. Mientras que, también es importante el 2 por que es constante en cada diferencia.

¿QUÉ RELACIÓN TIENE UN NÚMERO NATURAL CON EL LUGAR QUE OCUPA? Si se considera que: 1 ocupa el lugar 1°, es decir, 1; 3 ocupa el lugar 2°, es decir, 2; 5 ocupa el lugar 3°, es decir, 3; 7 ocupa el lugar 4°, es decir, 4; 9 ocupa el lugar 5°; es decir, 5. Así sucesivamente en términos generales el impar 2n -1 ocupa el lugar enésimo “n”. Ejemplo: ¿Cuál es el impar que ocupa el lugar 10°? Sol: Si n = 10 entonces se reemplaza 2 x 10 – 1 = 19 La respuesta es el número impar 19. Propuestos: a) Encontrar el número impar que ocupa el lugar 27°. b) Encontrar el lugar que ocupa el número impar 103.

¿ES LA MISMA RELACIÓN QUE TIENE UN NÚMERO NATURAL CON EL LUGAR QUE OCUPA, SI COMIENZA POR UN IMPAR DISTINTO DE 1? Ejemplo: Si se considera la sucesión 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 5 ocupa el lugar 1°, es decir, 1; 7 ocupa el lugar 2°, es decir, 2; 9 ocupa el lugar 3°, es decir, 3; 11 ocupa el lugar 4°, es decir, 4; 13 ocupa el lugar 5°; es decir, 5. Así sucesivamente en términos generales la expresión a1 + k(n– 1) ocupa el lugar enésimo “n”. Ejemplo: En esta nueva sucesión de números impares ¿Cuál es el impar que ocupa el lugar 4°? Sol: Si n = 4 entonces se reemplaza 5 + 2( 4 – 1) = 11 La respuesta es el número 11. Propuesto: a) Encontrar el número impar que ocupa el lugar 10°. b) Encontrar el lugar que ocupa el número impar 71.

RAZÓN DE CAMBIO DE PRIMER ORDEN Una razón de cambio es de primer orden si una sucesión creciente de números naturales, la diferencia del último número con el anterior (penúltimo) se mantiene constante para todas las otras diferencias de números consecutivos y con el mismo sentido. Ejemplo: Considerar la sucesión siguiente: 5 ; 8 ; 11 ; 14 y 17 Se efectúan las diferencias del mayor con el menor consecutivo, y se tiene: 17 – 14 = 3 14 – 11 = 3 11 – 8 = 3 8 – 5 = 3 El resultado de todas las diferencias es constante k = 3. Entonces, la razón de cambio es de primer orden.

“FÓRMULA” DE PRIMER ORDEN En resumen la fórmula es 3n + 2. La “fórmula” de primer orden, se obtiene con la expresión: a1 + k ( n – 1), donde a1 es el primer número de la sucesión; k es la diferencia constante, y n corresponde al lugar asociado al número de la sucesión. Ejemplo: Considerar la sucesión dada anteriormente: 5 ; 8 ; 11 ; 14 y 17 Se efectúan las diferencias del mayor con el menor consecutivo, y se tiene: 17 – 14 = 3 14 – 11 = 3 11 – 8 = 3 8 – 5 = 3 a1 = 5 ; k = 3. Reemplazando, se tiene: 5 + 3 ( n – 1) = 3n + 2 En resumen la fórmula es 3n + 2.

ACTIVIDAD 1 DADA LA “FÓRMULA” DE PRIMER ORDEN, ENCONTRAR LOS CINCO PRIMEROS NÚMEROS DE CADA SUCESIÓN: a) 3n – 1 b) 5n + 2 c) 7n – 3

ACTIVIDAD 2 DADA LA SUCESIÓN CON CINCO NÚMEROS NATURALES, ENCONTRAR LA “FÓRMULA” DE PRIMER ORDEN: a) 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 b) 5 ; 12 ; 19 ; 26 ; 33 c) 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15

GRÁFICO DE PRIMER ORDEN

Consumo de energía Producto Interno Bruto (PIB)