OTRAS BASES MATE 3041 UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO DE BAYAMÓN PROF. JOSÉ A. TORO CLARKE 1

OTRAS BASES  Aunque loa sistemas de numeración estudiados en las primeras secciones fueron todos con base 10, se han utilizado otras bases a lo largo de la historia.  Ejemplo:  Los antiguos babilónicos usaron el 60 como base.  Los indígenas mayas de Centroamérica y México usaron el 20.  En esta sección de darán bases diferentes de 10, pero se usaran símbolos familiares del sistema indo-arábigo.  De manera consistente se indicara con un subíndice las bases diferentes de 10 como el numeral.  Siempre que no aparezca el subíndice, debe suponerse que la base es 10.  El numeral se lee “cuatro tres base cinco”. No lo lea como “cuarenta y tres”, ya que esa terminología implica en base 10 y significa un numero totalmente diferente. 2

POTENCIAS SELECCIONADAS DE ALGUNAS BASES DE SISTEMAS NUMÉRICOS ALTERNOS Cuarta potencia Tercera potencia Segunda potencia Primera potencia Cero potencia Base Base Base 72,

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 4

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 5

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 6

 Multiplique cada digito del numeral de dereccha a izquierda en orden acendente o hasta donde termine EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 7

FORMULA RÁPIDA PARA CALCULAR  Para convertir desde cualquier otra base a base 10.  Comience por el primer digito del izquierdo y multiplíquelo por la base.  Luego sume el siguiente digito y multiplíquele otra vez por la base, y así sucesivamente.  El ultimo paso consiste en sumar el ultimo digito de la derecha. 8

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 9

 Existe una forma mas rapida de calcular EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 Vamos a factorizar ya que el 5 se repite en todos pero antes lleve a. 10

FORMA ALTERNA 11

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA 12

EJEMPLO: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE 5  Los valores posicionales de base 5, comenzando por la derecha son 1, 5, 25, 125, 625 y así sucesivamente.  Como 497 se encuentra entre 125 y 625, no requerirá de grupos de 625, y si, en cambio de algunos posibles de 125, como de 25, 5 y 1.  Así que dividimos a:  497 ÷ 125 = 3; Residuo 122  122 ÷ 25 = 4; Residuo 22  22 ÷ 5 = 4; Residuo 2  2 ÷ 1 = 2; Residuo 0 Así que 13

COMPROBACION DE 14

PRACTICA: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE ÷ 5 = 99; Residuo 2 99 ÷ 5 = 19; Residuo 4 19 ÷ 5 = 3; Residuo 4 3 ÷ 5 = 0; Residuo 3 Así que 15

PRACTICA: CONVERTIR 7508 DE FORMA DECIMAL A BASE ÷ 7 = 1072; Residuo ÷ 7 = 153; Residuo ÷ 7 = 21; Residuo 6 21 ÷ 7 = 3; Residuo 0 3 ÷ 7 = 3; Residuo 3 Así que 16

SISTEMA HEXADECIMAL  Es el que es de base 16, que es mayor que 10, el cual presenta un nuevo problema. Dado que son necesario símbolos distintos después de los números del 0 al 9.  La base 16 requiere mas símbolos que los que normalmente se utilizarían en nuestro sistema decimal. Las computadoras usan las siguientes letras A, B, C, D, E y F como dígitos hexadecimales para los números del 10 al 15, respectivamente.  O sea que :  A = 10  B = 11  C = 12  D = 13  E = 14  F = 15 17

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice, recuerde que A = 10 y F = 15. EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 18

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 19

 Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10 20

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA 21

BASE BINARIO  Matemáticas para la computación, para la aplicación de la computadoras hay tres sistemas alternos que son los mas usados. Estos son el sistema  Binario (base 2)  Octal (base 8)  Hexadecimal (base 16 antes mencionado)  Actualmente las computadoras y calculadoras manuales utilizan el sistema binario para sus cálculos internos debido a que constan solo de símbolos, 0 y el 1.  Por lo tanto, todos los números pueden ser representados por “interruptores” electrónicos, del tipo encendido/apagado donde “encendido” (ON) significa 1 y “apagado” (OFF) significa 0.  El sistema octal es utilizado de forma extensa por programas que trabajan con códigos de computación internos. 22

BASE BINARIO Base 10 (Decimal)Base 2 (Binario)

Base 10 (Decimal) Base 16 (Hexadecimal) Base 8 (Octal) Base 2 (Binario) A B C D E F

 Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario) EJEMPLO: CONVIERTA A BASE BINARIA 25

 Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres digitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un unico numeral binario) PRACTICA: CONVIERTA A BASE BINARIA 26

 Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario) EJEMPLO: CONVIERTA A BASE OCTAL 27