Identificación de Sistemas Señales y Sistemas Estocásticos

Contenido Procesos estocásticos Procesos Estacionarios Procesos ergodicos Procesos estocásticos de tiempo discreto Procesos quasi-estacionarios Sistemas lineales discretos con excitación aleatoria Ejemplos

Procesos estocásticos

Proceso estocástico: definicion Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias que toma valores indexados por un parámetro t.

Ejemplo de Proceso Aleatorio Sean A y θ variables aleatorias independientes Los resultados w pertenecen al espacio de muestreo; mientras que t es modelado como un número real, normalmente no negativo

Ejemplo de Proceso Aleatorio Una realización del proceso Un resultado

Ejemplo de Proceso Aleatorio Un Proceso Discreto: Muestreo con Reemplazo Un jugador de cartas revuelve una baraja y luego escoge una carta al azar. El jugador ingresa el valor de la carta (1 para un as y de 13 para un rey) en un vector columna. Luego reemplaza la carta y repite el proceso una y otra vez. Después de 10 experimentos como este, empieza uno nuevo con un nuevo vector columna. Cada columna representa una nueva trayectoria muestra

Funciones de Distribución de un proceso estocastico Para conocer un proceso estocástico se necesitaría saber la función de distribución de probabilidades en todo instante condicionada a los tiempos anteriores y posteriores. Esto en la práctica es imposible de obtener

Función distribución de primer orden Definimos la función de distribución y de densidad de primer orden como: Corresponde a la distribución de la variable en un tiempo dado

Función distribución de segundo orden Definimos la función de distribución y de densidad de segundo orden como: Relaciona la variable aleatoria en dos tiempos

donde p(x,t) es la función de densidad de primer-orden Valor Esperado El valor esperado de la función x(t) depende del tiempo donde p(x,t) es la función de densidad de primer-orden

Estimacion del valor esperado El valor esperado puede ser obtenido del conjunto de muestras haciendo un corte a través del conjunto en un cierto momento

Varianza La varianza de la función x(t) se define como:

Estimacion de la varianza La varianza puede ser obtenida del conjunto de muestras haciendo un corte a través del conjunto en un cierto momento

Función de Autocorrelación La función de autocorrelación de la función x(t) se define como: donde es la función de densidad de segundo-orden

Estimacion de la función de autocorrelación La función de autocorrelación puede ser obtenida del conjunto de muestras dónde τ es una separacion en el tiempo

Función de autocorrelación: ejemplo Funciones de autocorrelación para realizaciones de dos procesos Cuando la correlación no cambia notablemente, se dice que los procesos están altamente correlacionados.

Correlación cruzada La correlación cruzada de dos procesos x(t) y y(t) se define como:

La matriz de correlación Las propiedades de correlación de los dos procesos x(t) y y(t) se pueden representar entonces en forma matricial, definiendo la matriz de correlación como:

Ejemplo de aplicación de la correlacion cruzada

Procesos Estacionarios

Procesos Estacionarios La mayor parte de los fenómenos que dan lugar a procesos aleatorios mantienen sus propiedades estadísticas constantes con el tiempo, Se dice entonces que son estacionarios.

Procesos Estacionarios Un proceso aleatorio x(t) se dice estrictamente estacionario si la distribución conjunta de cualquier conjunto de variables aleatorias obtenidas observando el proceso aleatorio x(t) es invariante con respecto a la ubicación del origen t = 0.

Procesos estrictamente estacionarios La definición de estacionariedad Estricta implica que todas las propiedades estadísticas son invariantes y, están relacionadas con la invarianza en el tiempo de las funciones de densidad de Probabilidad.

Orden del proceso estacionario Si (no depende del tiempo) se dira que el proceso es estacionario de orden uno, y se dira que es estacionario de orden dos, …. y asi sucesivamente.

Proceso estacionario debil El proceso estacionario de orden dos es llamado estacionario debil o estacionario en sentido amplio. Si el proceso es estacionario debil, se verifica entonces:

proceso de ruido blanco Un proceso estocástico estacionario (debil) x es denominado un proceso de ruido blanco x es una secuencia de variables aleatorias idénticamente distribuidas, independientes con media cero. si independientes Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods, 2nd edition (2005), by William W.S. Wei. Pass: ebook_for_you media cero

ruido blanco uniforme y gaussiano Si se impone la condición de que las variables del proceso tienen una distribución, entonces, Si la distribución es uniforme, el proceso se denomina ruido blanco uniforme. Si la distribución es normal, el proceso se denomina ruido blanco gaussiano. rand randn

Procesos ergodicos

proceso estacionario ergódico Se dice que un proceso estacionario es ergódico cuando las funciones que entrañan valores esperados a lo largo de realizaciones pueden obtenerse también a partir de una sola realización. En otras palabras, sea i la muestra i-esima,

proceso estacionario ergódico Si se dispone de una realización que dura 2NT seg., la ergodicidad del proceso conlleva que es posible considerar que se disponen de dos realizaciones de duración NT segundos,

Función de densidad espectral de Potencia

Relación de Wiener-Khinchine Para un proceso estacionario, hay una relación temporal espectral conocida como la relación de Wiener-Khinchine y son pares transformados de Fourier La función es llamada densidad espectral de potencia

Relación de Wiener-Khinchine Cuando la correlación no varía sensiblemente, indica que la señal en promedio en el dominio del tiempo no cambia mucho, es decir, se tienen componentes de baja frecuencia. Si la correlación cambia significativamente, esto indica que la señal en el tiempo, en promedio, cambia notablemente, es decir, se tienen componentes de alta frecuencia.

Densidad espectral de potencia Consecuencia de la definicion Transformada inversa de evaluada en cero

Función de densidad espectral cruzada La función de densidad espectral cruzada se define Consecuencia de la definicion

Procesos estocásticos de tiempo discreto

Muestreo de procesos estocásticos Considere un proceso estocástico estacionario de tiempo continuo x(t), t ∈ R, que va a ser muestreado con una frecuencia radial de muestreo . Como resultado, se obtiene x(kTs) k ∈Z. ¿Qué se puede decir del proceso muestreado?

reconstrucción de procesos estocásticos Sea la densidad espectral de potencia de x(t) dada por Φx(ω). Si Φx(ω) = 0 para |ω| > ωs/2 Entonces el proceso reconstruido xr satisface: E[x(t) − xr(t)]2 = 0.

Funcion de correlacion Bajo las condiciones de frecuencia del espectro acotada La función de correlación es simplemente una versión muestreada de la de tiempo continuo

Densidad espectral de potencia La densidad espectral de potencia de xd está definida por la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

Procesos estocásticos de tiempo discreto Los procesos estocásticos de tiempo discreto son considerados muy a menudo, independientemente del hecho de que las variables aleatorias sean obtenidas muestreando un proceso estocástico de tiempo continuo o no. Ts =1

Procesos quasi-estacionarios

Procesos quasi-estacionarios En general, la observación de una señal deterministica no es exacta w(k) v(k) Señal deterministica Proceso aleatorio y(k) = w(k) + v(k)

Procesos quasi-estacionarios Un proceso estocastico quasi-estacionario tiene la forma y(k) = w(k) + v(k) k ∈Z Proceso aleatorio con media cero Señal deterministica

Valor esperado de procesos quasi-estacionarios Para tratar con este tipo de señales en una forma que facilite su análisis, se introduce un valor esperado generalizado

Valor esperado de procesos quasi-estacionarios Si y(k) es una secuencia determinística entonces En este caso , para todo k.

Valor esperado de procesos quasi-estacionarios Si y(k) es un proceso estocástico estacionario entonces

Funciones de correlación y correlación cruzada Función de correlación Función de correlación cruzada

Espectro de potencia y espectro cruzado Densidad espectral de Potencia o espectro de potencia Densidad espectral cruzada de Potencia o espectro cruzado

señales cuasi-estacionarias y correlacion Con w(k) una señal determinística y v(k) un proceso estocástico estacionario con media cero. Entonces, Por lo tanto, por definicion w y v no estan correlacionados. Ademas y(k) = w(k) + v(k) Φy(ω) = Φw(ω) + Φv(ω).

Sistemas lineales con excitación aleatoria

Respuesta de un sistema LTI a una entrada aleatoria Para cada realización, la salida correspondiente del sistema LTI, se puede determinar tal como en un caso determinístico LTI system Por lo tanto, para un proceso estocastico a la entrada, la salida tambien será un proceso estocastico

Respuesta de un sistema LTI a una entrada aleatoria Para un proceso estocastico a la entrada, la salida tambien será un proceso estocastico LTI system ¿Cómo se veran afectadas las propiedades estadisticas de la entrada en el proceso de salida?

Valor esperado de la salida Con condiciones iniciales nulas En el caso que el proceso de entrada sea estacionario en sentido amplio =

Autocorrelación de la salida Si el proceso de entrada es estacionario en sentido amplio La autocorrelación de la salida depende sólo de τ

El proceso de salida Dado un proceso estacionario debil a la entrada de un sistema LTI, La esperanza del proceso aleatorio de salida es constante en el tiempo. La autocorrelación de la salida depende sólo de τ. Por tanto concluimos que el proceso de salida es también estacionario debil.

Densidad espectral de la salida Si el proceso de entrada es estacionario en sentido amplio Observese que se pierde la informacion de la fase

Correlación cruzada Cuando la entrada es estacionaria debil

Correlación cruzada Cuando la entrada es estacionaria debil

Cross-densidad espectral Si el proceso de entrada es estacionario en sentido amplio

Ejemplos

Ejemplo 1 Supongamos un filtro pasabanda ideal en tiempo continuo, Calcular cuando la señal de entrada tiene una densidad de potencia espectral

Solucion La definición de la función de autocorrelación de un proceso estacionario debil establece que Luego, aplicando las propiedades de la transformada de Fourier,

Solucion Ganancia unitaria

Solucion Para variaciones pequeñas y espectro continuo Por lo tanto: Esta expresión justifica empíricamente la denominación de densidad espectral para la función

Ejemplo 2 Supongamos dos filtros de tiempo continuo y dispuestos en paralelo. Los filtros son dos pasabandas que no se superponen ¿Cuál es la cros-correlación entre las señales de salida suponiendo que es estacionario debil?

Solucion Utilizando la definición de cros-correlación entre dos señales es fácil verificar que

Solucion Aplicando la transformada de Fourier Dado que y no se superponen en ninguna frecuencia,

Solucion Esto implica que En general, podemos deducir que las diferentes componentes en frecuencia de un proceso estacionario debil no están correlacionadas entre sí.

Ejemplo 3 Supongamos un sistema LTI continuo excitado con ruido blanco Densidad de potencia del proceso de ruido blanco ¿Cuál es la densidad de potencia espectral de la señal de salida y la cros-correlación entre las señales de entrada y de salida?

Solucion Aplicando obtenemos la densidad de potencia espectral

Solucion Por otro lado, la autocorrelación de la señal de ruido blanco es el impulso unitario, es decir, aplicando

Solucion Observamos que si un sistema LTI es exitado por ruido blanco, la cros-correlación entre la entrada y la salida da la respuesta impulsiva del sistema.

¿Cuál es la densidad de potencia espectral de la señal de salida? Ejemplo 4 Supongamos un sistema LTI discreto excitado con ruido blanco Densidad de potencia del proceso de ruido blanco ¿Cuál es la densidad de potencia espectral de la señal de salida?

Solucion La densidad de potencia de la señal de salida es Esta ecuación nos provee de un método para generar procesos aleatorios discretos con densidades de potencia arbitrarias.

Fuentes FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Carroll Michael L., Overview of Kalman Filter Theory and Navigation Applications. Course Materials. A week-long course given of in Warner Robins, GA. 23-27 Feb 2004. Lagunas Miguel Angel, Procesado de Señal. Centro Tecnologic de Telecomunicacions de Catalunya, Barcelona, España. 25 de Octubre de 2004 Novak M., (expanded by N. Isyumov) “Dynamics of Structures”, Lecture Notes - CEE490. The University of Western Ontario - Faculty of Engineering Science Department of Civil And Environmental Engineering. 2003-2004 Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999. Perez Tristan, Essentials of Random Variables and Stochastic Processes (Complementary Notes for TMR4240–Marine Control Systems). Centre for Ships and Ocean Structures—CeSOS. Norwegian University of Science and Technology. March 10, 2005 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Zanini Aníbal, Control Digital y Estocástico. Notas de clase. Ingeniería en Automatización y Control Industrial, Universidad Nacional de Quilmes. Abril, 2000. Hanson Floyd and Westman Jhon, Applied Stochastic Processes and Control for Jump-Diffusions: Modeling, Analysis and Computation. Society for Industrial and Applied Mathematics. May 1, 2004. Belaustegui Goitia Carlos, Orda César, Galarza Cecilia. Procesos Estocásticos, notas de clase. Departamento de Electrónica, FIUBA, Universidad de Buenos Aires. 17 de Marzo 2005

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