WINTER Práctica 1.8 Template

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER a) 54355 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque este número no es par (termina en 5 y no en 0,2,4,6 ni 8). Divisibilidad por 3: no es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos no es divisible por 3. 5+4+3+5+5=22 Y además: 2+2=4

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER a) 54355 Template Divisibilidad por 5: es divisible por 5 porque este número termina 5. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 7. 5435-10=5425 542-10=532 53-4=49 Finalmente tenemos que 49 está en la tabla del 7.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER b) 79800 Template Divisibilidad por 2: es divisible por 2 porque es un número par. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos está en la tabla del 3. Así: 7+9+8+0+0=24 De nuevo: 2+4=6 Finalmente tenemos que 6 está en la tabla del 3.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER b) 79800 Template Divisibilidad por 5: es divisible por 5 porque termina en 0. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 7. 79-16=63 Como 63 está en la tabla del 7, entonces 7|79800.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER c) 735 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque termina en 5. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 7+3+5=15 De nuevo: 1+5=6 Finalmente tenemos que 6 está en la tabla del 3.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER c) 735 Template Divisibilidad por 5: es divisible por 5 porque termina en 5. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 7. 73-10=63 Como 63 está en la tabla del 7, entonces 7|735.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER d) 90 Template Divisibilidad por 2: es divisible por 2 porque termina en 0. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 9+0=9 Divisibilidad por 5: es divisible por 5 porque termina en 0. Divisibilidad por 7: no es divisible por 7 porque no cumple con la regla de la divisibilidad por 7. Recordemos que dijimos que si el número termina en cero, se quitan los ceros, en este caso el número es 90, entonces al quitarle el cero queda 9, pero no es necesario hacer el proceso porque sabemos que 9 no es múltiplo de 7.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER e) 5421 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque termina en1. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 5+4+2+1=12 De nuevo repetimos el procedimiento: 1+2=3 Finalmente tenemos que 3 es múltiplo de 3.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER e) 5421 Template Divisibilidad por 5: no es divisible por 5 porque termina en 1. Divisibilidad por 7: no es divisible por 7 porque no cumple con la regla de la divisibilidad por 7. 542-2=540 Le quitamos el cero y queda en 54, pero sabemos que esta cantidad no está en la tabla del 7.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER f) 210 Template Divisibilidad por 2: es divisible por 2 porque termina en 0. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 2+1+0=3, que es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: es divisible por 5 porque termina en 0. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 7. Elimino el cero por estar al final de la cantidad y obtengo 21.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER g) 48 Template Divisibilidad por 2: es divisible por 2 porque termina en 8. Divisibilidad por 3: es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 4+8=12, que es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: no es divisible por 5 porque termina en 8. Divisibilidad por 7: no es divisible por 7 porque 48 no está en la tabla del 7.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER h) 117649 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque termina en 9. Divisibilidad por 3: no es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 1+1+7+6+4+9=28 De nuevo repetimos el procedimiento: 2+8=10 Finalmente tenemos que 10 no es múltiplo de 3.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER h) 117649 Template Divisibilidad por 5: no es divisible por 5 porque termina en 9. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 7. 11764-18=11746 1174-12=1162 116-4=112 11-4=7 Note que el proceso se aplica repetitivamente, hasta llegar a un número que sepamos con certeza sí es múltiplo o no de siete.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER i) 1225 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque termina en 5. Divisibilidad por 3: no es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 1+2+2+5=10, que no es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: es divisible por 3 porque termina en 5. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla. 122-10=112 11-4=7 Después de aplicar la fórmula dos veces, vemos que se obtiene un múltiplo de siete.

1. Establezca, para cada número dado, si es divisible por 2, 3, 5 ó 7. WINTER j) 297 Template Divisibilidad por 2: no es divisible por 2 porque termina en 7. Divisibilidad por 3: no es divisible por 3 porque cumple con la regla de la divisibilidad por 3, es decir la suma de sus dígitos es un número múltiplo del 3. Así: 1+2+2+5=10, que no es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: es divisible por 3 porque termina en 5. Divisibilidad por 7: es divisible por 7 porque cumple con la regla. 122-10=112 11-4=7 Después de aplicar la fórmula dos veces, vemos que se obtiene un múltiplo de siete.

2. Mostrar con ejemplos que si 𝑏 divide a dos naturales cualesquiera, entonces divide también a su suma. Lo que buscamos es dos números que estén en la tabla del “b”, es decir, dos múltiplos de “b”. Note que no hay ninguna especificación para “b”, entonces podemos escoger “cualquier b” Escojamos b=5: 5|15 y 5|35 15+35=50 5|50 Si escogemos b=2: 2|6 y 2|10 6+10=16 2|16

3. Mostrar que si “b” divide a “a” y “b” divide a “c”, entonces “b” divide a p∙a+q∙c, cualesquiera que sean p y q, naturales. Lo que buscamos es dos números que estén en la tabla del “b”, es decir, dos múltiplos de “b”. Note que no hay ninguna especificación para “b”, salvo que b|a y b|c, entonces podemos escoger “cualquier b” Escojamos b=5: 5|10 y 5|35 Planteamos la operación combinada: 3∙10+2∙35= 30+70=100 De esta manea hemos comprobado la fórmula, al verificar que: 5|100

4. Mostrar que si “b” divide a “a” y “a” divide a “c”, entonces “b” divide a “c” Resulta más sencillo si lo expresamos en lenguaje matemático. b|a y a|c, entonces b|c Escojamos b=2: 2|6 y 6|30 Como se cumplen las condiciones, entonces: 2|30 De esta manea hemos comprobado la fórmula, al verificar que: 30=15∙2

5. Mostrar que la diferencia de los cubos de dos números consecutivos no puede ser múltiplo de 3 Recordemos que los números que conocemos se llaman naturales, y este conjunto se expresa así: IN ={0,1,2,3,4,5,6,7,...} El problema requiere que se utilicen los cubos de esos números. C={0,1,8,27,64,125,…} En palabras simples el problemas dice que “la resta de dos cubos consecutivos, no está en la tabla del 3” Tomemos 27 y 8, y restémoslos: 27-8=19 Ahora solo falta comprobar que 19 no es múltiplo de 3. 1+9=10 y luego 1+0=1

6. Mostrar que para cualquier número natural 𝑛 se cumple que 6| 𝑛 3 +5𝑛 Los números naturales corresponden a: IN={0,1,2,3,4,5,6,7,...} Lo que el problema plantea es que el cubo de cualquier número natural sumado con el quíntuplo de ese número, se podrá dividir por seis. Hagamos el cálculo para n=2: 2³+5∙2=8+10 =18 Ahora solo falta comprobar que 6|18. 6∙3=18

7. Los números perfectos Se definen como números perfectos los que son iguales a la suma de sus divisores, excepto él mismo, el más pequeño es el 6 porque: 6 = 1 + 2 + 3 y el siguiente es el 28 porque: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Determine si 496 y 4880 son números perfectos Se calculan los divisores de 496: {1,2,4,8,16,31,62,124,248}, según la definición anterior. Se procede a sumar: 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496 Vemos que 496 es un número perfecto.

7. Los números perfectos Se definen como números perfectos los que son iguales a la suma de sus divisores, excepto él mismo, el más pequeño es el 6 porque: 6 = 1 + 2 + 3 y el siguiente es el 28 porque: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Determine si 496 y 4880 son números perfectos Se calculan los divisores de 4880: {1,2,4,5,8,10,16,20,40,61,80,122,244,305,488,610,1220,2440}, según la definición anterior. Se procede a sumar: 1+2+4+5+8+16+61+80+305+…+610+1220+2440=6652 Vemos que 4880 no es un número perfecto.

Ahora solo falta verificar que 91 es divisible por 13 8. Mostrar que para todo número natural mayor que cero, el número 4 2𝑛+1 + 3 𝑛+2 es múltiplo de 13 Lo que plantea el problema es que si n se sustituye por cualquier número natural, entonces el resultado de la operación podrá dividirse por 13. 2∙1+1 1+2 2+1 3 4 + 3 = 4 +3 3 3 = 4 + 3 = 64+27 = 91 Ahora solo falta verificar que 91 es divisible por 13 91=7∙13

9. Números amigos Dos números naturales se definen como números amigos si son tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número) Un ejemplo es el par (220,284), ya que: Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.   Según lo anterior, determine si el par (6232,6368) corresponde a números amigos.

9. Números amigos Cálculo de los divisores de 6232: 2 779 19 41 41 1 2 ∙ 2

9. Números amigos Cálculo de los divisores de 6232: 2 779 19 41 41 1 2 2∙2=4 ∙ 2

9. Números amigos Cálculo de los divisores de 6232: 2 779 19 41 41 1 2∙2=4 2∙2∙2=8 2∙2∙2∙19=152 2∙2∙2∙41=328 2∙19=38 2∙2∙19=76 2∙41=82 2∙2∙41=164 Los divisores de 6232 son: 1,2,4,8,19,38,41,76,82,152,164,328,779,1558,3116

9. Números amigos Cálculo de los divisores de 6368: 6368 2 3184 2 1592 2 796 2 398 2 199 199 1 2∙2=4 2∙2∙2=8 2∙2∙2∙2=16 2∙2∙2∙2∙2=32 2∙199=398 2∙2∙199=796 Divisores de 6368: 1,2,4,8,16,32,199,398,796,1592,3184

9. Números amigos Suma de los divisores de 6232: 1+2+4+8+19+38+41+76+82+152+164+328+779+1558+3116=6368 Suma de los divisores de 6368: 1+2+4+8+16+32+199+398+796+1592+3184=6232 Respuesta: Según los cálculos anteriores, los números 6232 y 6368 son números amigos, porque la suma de los divisores de uno es igual al otro número.

10. Determinar todos los posibles valores de los dígitos 𝑎 y 𝑏 tales que el número de cinco cifras 1𝑎2𝑏1 sea múltiplo de 3 Recordemos que una cantidad es divisible por 3, si la suma de sus dígitos también es divisible por 3. Además, hay que tomar en cuenta que a y b deben ser números de una sola cifra, porque la cantidad 1a2b1 solo posee cinco cifras. Note que 1+2+1=4, entonces a+b deben sumar por lo menos 2 unidades, para que sumadas con 4 dé como resultado 6, que es múltiplo de 3. Esto se soluciona si tomamos a=1 y b=1. Hay muchas posibles respuestas, porque no hay requisitos para a y b, tan solo hay que garantizarse que 1+a+2+b+1 sea múltiplo de tres, es decir que la suma de sus dígitos esté en la tabla del 3.

11. Determinar todos los posibles valores de los dígitos 𝑎 y 𝑏 tales que el número de cinco cifras 3𝑎2𝑏5 sea divisible por 11. Sumamos los números de las posiciones impares: 3+2+5=10 Los dígitos de las posiciones pares deben ser dos números que sumados entre sí y restados con 10 tengan un resultado que esté en la tabla del 11. Lo más sencillo, es que a+b=10, para que restados con la suma de los números de las posiciones impares tengan como resultado 0, que está en la tabla del 11. Por ejemplo si a=6 y b=4, se cumple la regla porque (3+2+5)-(6+4)=0 y 11|0