ESTRUCTURAS SINGULARES VIGAS DE GRAN ALTURA Fuentes: NILSON, Arthur: “Diseño de Estructuras de Concreto” LEONHARDT, Fritz: “Estructuras de Hº Aº” CIRSOC 201-2005 LLOPIZ, Carlos Ricardo. Apuntes de H° II. UNCUYO

L/h ≤ 2 (ó h/L ≥ 0,50), para vigas de un solo tramo VIGAS DE GRAN ALTURA (O VIGAS PARED) ALGUNOS CRITERIOS PARA SU CONSIDERACIÓN Aquéllas en que la relación L/d cumple: L/h ≤ 2 (ó h/L ≥ 0,50), para vigas de un solo tramo L/h ≤ 2,5 (ó h/L ≥ 0,40), para vigas continuas de 2 tramos o tramos extremos de vigas continuas de varios tramos L/h ≤ 3 (ó h/L ≥ 0,33), para tramos centrales de vigas continuas

VIGAS DE GRAN ALTURA (O VIGAS PARED) CRITERIO DEL CIRSOC 201 – 2005 “Son elementos cargados en un borde y apoyados en el borde opuesto. De tal manera que se puedan desarrollar bielas de compresión entre las cargas y los apoyos, y se verifique alguna de las siguientes condiciones: Que las luces libres, ln, sean menores o iguales que cuatro (4) veces la altura efectiva d; L/d ≤ 4 Que las zonas cargadas con cargas concentradas estén ubicadas a una distancia igual o menor que 2d, a partir del apoyo. Se deben diseñar considerando la distribución no lineal de la deformación, o de acuerdo con el Método de las Bielas. Se debe considerar el pandeo lateral

VIGAS DE GRAN ALTURA (O VIGAS PARED) CASOS - APLICACIONES Vigas de Transferencia. Edificios de varios pisos, para permitir el desplazamiento de ejes de columnas Paredes de tanques de reserva rectangulares. Paredes de silos rectangulares. Diafragmas verticales contra viento (muros de cortante) Demandan especial atención tanto para efectuar el análisis, el diseño y el detallamiento de armaduras. Debido a las proporciones de sus dimensiones su resistencia tiende a ser controlada por corte

VIGAS DE GRAN ALTURA (O VIGAS PARED) No es válida la hipótesis de Bernouilli – Navier (“las secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de producidas éstas”) Aún para vigas de materiales perfectamente elásticos: Las tensiones sx no varían linealmente Las tensiones sy y txy ya no son despreciables Las tensiones pueden determinarse mediante: Método de los elementos finitos Modelos Otros métodos numéricos Resolución de función de tensiones

VIGAS DE GRAN ALTURA –VGA– (VIGAS PARED) a. Cargas aplicadas a lo largo del borde a compresión b. Cargas suspendidas a lo largo del borde a tracción Cargas distribuidas a lo largo de la altura Colocación de las cargas en vigas de gran altura

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO No se cumple la hipótesis de las secciones planas. Los esfuerzos de flexión (las tensiones normales) no se distribuyen linealmente, ni siquiera en el intervalo elástico. No pueden aplicarse los métodos usuales para calcular las propiedades de la sección y las tensiones. La resistencia a flexión puede predecirse con suficiente precisión utilizando los mismos métodos empleados para vigas de dimensiones normales. Pueden alcanzarse deformaciones últimas en el hormigón ecu, mucho mayores que 0,003. La resistencia al corte puede ser hasta dos o tres veces mayor que la que se obtiene con las ecuaciones aplicadas a vigas normales. Una parte significativa de la carga se transfiere en forma directa desde el punto de aplicación a los apoyos a través de unos puntales diagonales a compresión

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO Las fisuras diagonales se forman en dirección paralela a una línea desde la carga hasta el apoyo. Aíslan el puntal que trabaja en forma conjunta con la compresión horizontal en el hormigón y con tracción en la armadura, para equilibrar las cargas. El parámetro a / d es importante Con carga distribuida en el borde superior, a/d puede reemplazarse por su equivalente M / Vd. Lo que se aprecia fácilmente para una viga con cargas concentradas

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO Disposición de armaduras La fisuración diagonal se presenta, en general, con ángulos superiores a 45º. Es más importante la colocación de estribos verticales. Las barras horizontales, por su parte, parecen mejorar la resistencia al corte por acción de pasador. Armadura principal a flexión similar a la disposición en vigas normales. Recomendable distribuirla en aprox. el tercio inferior de la altura y extenderla en casi toda la longitud La armadura vertical es más importante aún, como barras de suspensión en los casos de carga dispuesta en el borde inferior, y a lo largo de la altura.

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO La zona de pared ubicada en el semicírculo de radio 0,50 L (caso L/d < 1) o en una parábola de flecha 0,50 d (caso L/d > 1) debe anclarse a la zona de compresión mediante armadura de suspensión) Para cargas distribuidas q en la parte superior, las tensiones de tracción se ubican en la parte inferior, y son predominantemente horizontales Para q en la parte inferior, no sólo hay tensiones de tracción horizontales, sino oblicuas y verticales. Disponer armadura vertical de suspensión. El peso propio origina distribución intermedia de tensiones entre los dos casos indicados. Se aprecia que: Las sx no varían sustancialmente en distribución e intensidad Las sy son sustancialmente diferentes VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO

EFECTO DEL PESO PROPIO El peso propio de la viga que corresponde a la parte ubicada por debajo del semicírculo o de la parábola, debe anclarse a la parte superior

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO En centros de tramos, distribución de tensiones es similar a la viga de un solo tramo Sobre los apoyos aparecen concentraciones en la zona de compresión. Elevadas sx y sy Las tensiones máximas de compresión aparecen en los apoyos intemedios de vigas continuas. El ancho de apoyo “c” y el espesor de viga “b” deben ser elegidos para verificar una adecuada seguridad a rotura. En general se recomienda b ≥ L / 20 En apoyos, la zona de tracción se extiende en una gran parte de la altura de la viga (tener en cuenta para la distribución de las armaduras Estructuras muy sensibles a las cargas en los apoyos: el ancho de los mismos “c” afecta en forma sustancial las tensiones principales VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO

VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO En la práctica, para el dimensionamiento de armaduras (ya que casi siempre la geometría viene impuesta), se puede utilizar: Fórmulas empíricas y criterios relativos a distribución de armaduras Empleo de tablas Tienen gran influencia en la distribución de tensiones, y en consecuencia de las armaduras: El tipo de apoyo (directo, indirecto); Los puntos o lugares de aplicación de las cargas (arriba, abajo, o a media altura); Los desplazamientos (descensos) de apoyo VIGAS DE GRAN ALTURA. COMPORTAMIENTO

TENSIONES EN VIGAS DE GRAN ALTURA DE UN TRAMO Cargas uniformemente distribuidas Tensiones sx, intensidad y dirección de las resultantes en el centro del tramo de una viga simple con carga uniforme superior. Estado I. Distintas relaciones l / d c / l = 0,10 (c: ancho del apoyo) ft = (ql2/8)/(bh2/6) = 0,75 (q/b) (l/h)2

ft = 0,75 (q/b) (l/h)2 ft = 0,75 (q/b)

Tensiones sx, intensidad y dirección de las resultantes en el centro del tramo de una viga simple con carga uniforme superior. Estado I. Distintas relaciones l / d c / l = 0,10 (c: ancho del apoyo)

CARGA SUPERIOR Distribución de las componentes de tensión sx, sy, txy y de las trayectorias de las tensiones principales. Viga de gran altura de un solo tramo l / d = 1,00 c / l = 0,10 CARGA SUPERIOR

Distribución de las componentes de tensión sx, sy, txy y de las trayectorias de las tensiones principales. Viga de gran altura de un solo tramo l / d = 1,00. c / l = 0,10 CARGA INFERIOR

TESIONES PRINCIPALES. TRAYECTORIAS DE ISOSTÁTICAS VGA DE UN TRAMO TESIONES PRINCIPALES. TRAYECTORIAS DE ISOSTÁTICAS CARGA SUPERIOR CARGA INFERIOR

FISURACION Y TRAYECTORIAS DE ISOSTATICAS CARGA SUPERIOR CARGA INFERIOR FISURACION Y TRAYECTORIAS DE ISOSTATICAS

EFECTO DE CARGAS EN APOYOS Influencia de las cargas p, aplicadas directamente sobre los apoyos, sobre los esfuerzos característicos en el centro del tramo. l / d = 1,00 l / d = 0,5 C / l = 0,10

CARGAS CONCENTRADAS Distribución de las tensiones sx en la sección central y las sy en distintas secciones horizontales, originadas por una carga concentrada en el borde superior en vigas de l / h = 1,00 l / h = 0,5 c / l = 0,10

VIGAS CONTINUAS - CARGA SUPERIOR Trayectorias de tensiones principales en un tramo intermedio de una viga continua de gran altura con l / d = 1,00 y c / l = 0,10

Carga superior. Distintas esbelteces CENTRO DE TRAMO Componentes de tensión sx, intensidad y recta de acción de los esfuerzos internos. Centro de tramo y apoyos en un tramo interior de viga continua de gran altura. Carga superior. Distintas esbelteces c / l = 0,10

Carga superior. Distintas esbelteces SOBRE APOYOS Componentes de tensión sx, intensidad y recta de acción de los esfuerzos internos. Centro de tramo y apoyos en un tramo interior de viga continua de gran altura. Carga superior. Distintas esbelteces c / l = 0,10 En vigas continuas, se observa que el brazo interno z, en general disminuye. La fuerza resultante de tracción en apoyos puede aparecer más cercana al borde comprimido

VIGAS CONTINUAS - CARGA INFERIOR Trayectorias de tensiones principales en un tramo intermedio de una viga continua de gran altura con l / d = 1,00 y c / l = 0,10

Tensiones sy,. Viga continua de gran altura. l / d = 1,5 Carga superior e inferior

Distribución y dimensiones de modelo de ensayo de vigas de gran altura con apoyos y cargas indirectas

Cargas que deben anclarse en la parte superior de la viga, mediante armadura de suspensión

1. DISEÑO A FLEXION. CIRSOC 201-2005 El CIRSOC 201-2005, en la sección 10.7. no da un procedimiento específico para diseño a flexión. Sólo dice que “se deben diseñar considerando la distribución no lineal de la deformación”, o aplicar el modelo de bielas que describe en su Anexo A. Se puede recurrir, entonces a métodos aproximados, para lo que resulta interesante tener en cuenta las siguientes observaciones: Que el brazo de palanca z del momento resistente nominal, Mn, no cambia significativamente aún después de producida la fisuración. Que la zona de tracción en la sección transversal de tramo es relativamente pequeña (aprox. 0.25L), lo que sugiere que la armadura principal de tracción a disponer debería ser colocada en dicha zona

Mu = f(qu) = qu ln2 / k , (k = 8, 10, 12, …) 1.1. DISEÑO A FLEXION. MÉTODOS APROXIMADOS Las acciones se evalúan aplicando los polinomios de carga, por ej.: qu = 1,2 qD + 1,6 qL Las solicitaciones, M, V, se determinan mediante los criterios de análisis estructural aplicados a vigas esbeltas (ln > 4d). En general, se tendrá: Mu = f(qu) = qu ln2 / k , (k = 8, 10, 12, …) Se debe considerar la distribución no lineal de la deformación en la altura de la viga; Se admite la utilización de procedimientos aproximados para la determinación del brazo de las fuerzas internas de compresión y tracción, z; Por ej: zF = 0,3 d (3 – d/ln ) (1) Válida para vigas de un tramo, con 0,5 < d/ln < 1,0 (1) POZZI AZZARO, O.J.: “Manual de Cálculo de Estructuras de H° A°”

DETERMINACION DEL BRAZO INTERNO, zF , zS 1.1. RESISTENCIA NOMINAL A FLEXIÓN DETERMINACION DEL BRAZO INTERNO, zF , zS Según POZZI AZZARO Para vigas de un solo tramo, d/ln > 1,0 zF = zS = 0,5 d (1,9 – d/ln ) zF = 0,6 ln Para vigas de dos tramos y tramos extremos de vigas continuas: Para 0,4 < d/ln < 1,0 Para d/ln ≥ 1,0 zF = zS = 0,45 ln Para tramos interiores de vigas continuas: Para 0,3 < d/ln < 1,0 zF = zS = 0,5 d (1,8 – d/ln ) zF = zS = 0,4 ln

DETERMINACION DEL BRAZO INTERNO, zF , zS 1.1. RESISTENCIA NOMINAL A FLEXIÓN DETERMINACION DEL BRAZO INTERNO, zF , zS zS = 0,65 ln+ 0,1 d Para ménsulas: Para 1,0 < d/ln < 2,0 Para d/ln ≥ 2,0 zF = zS = 0,85 ln

z = 0,2 (L + 2 h) z = 0,6 L z = 0,2 (L + 1,5 h) z = 0,5L 1.2. RESISTENCIA NOMINAL A FLEXIÓN DETERMINACION DEL BRAZO INTERNO Según NAWY, E. Para vigas de un solo tramo, L/h < 1,0 z = 0,2 (L + 2 h) z = 0,6 L Para 1,0 < L/h < 2,0 Para vigas continuas, L/h < 1,0 z = 0,2 (L + 1,5 h) z = 0,5L Para 1,0 < L/h < 2,5

Brazo de Palanca, z [m]. Centro de tramo COMPARACION: Brazo de palanca según NAWY y POZZI AZZARO L : Luz de tramo entre ejes de apoyos [m] h: Altura de la sección transversal [m] VIGAS DE UN SOLO TRAMO Brazo de Palanca, z [m]. Centro de tramo Relación K = L / h 0,50 1,00 2,00 Relación 1/K = h / L Modelo E. Nawy. ACI-318-05, 2005 (1) 1,0 < L/h < 2,0 [0,2( L+ 2h)] - 0,60 h 0,80 h L/h < 1,0 [0,6 L] 0,30 h Modelo Pozzi Azzaro, O. (2) 0,5 < h/L < 1,0 [0,3 h (3 - h/L)] 0,75 h 1,0 < h/L [0,6 L] NAWY, E.: “Reinforced Concrete. A fundamental Approach” POZZI AZZARO, O.: “Manual de cálculo de estructuras de hormigón armado”

Brazo de palanca para VGA. Según Nawy NAWY, E.: “Reinforced Concrete. A fundamental Approach”

f Mn = Mu Mn = Zn zF = AF fy zF ≥ Mu / f AF = ≥ Mu / (f fy zF ) Se debe cumplir: 1.3. DETERMINACION DE LA ARMADURA PRINCIPAL con, Mn = Zn zF = AF fy zF ≥ Mu / f El subíndice F, corresponde a tramo, y S a apoyos, de donde, AF = ≥ Mu / (f fy zF ) con f = 0,90 Se debe cumplir cuantía mínima, como en vigas esbeltas: As,min ≥ ( f’c ) 1/2/ 4 fy ) bw d As,min ≥ 1,4 bw d / fy

Debido a que bw d puede ser muy grande, la cuantía mínima puede conducir a secciones de armadura muy grandes, exageradas. Por eso, el Reglamento estipula que: “Si en cada sección, el área As de la armadura adoptada excede al menos en un tercio (1/3) a la armadura determinada por cálculo, no es necesario aplicar los requisitos de cuantía mínima”C No se disminuirá la armadura de tramos: deberá extenderse en toda la luz. Y anclarse en los extremos. En cuanto a la armadura negativa, sobre apoyos de vigas continuas, el 50% del total de se continuará completamente cubriendo ambos tramos contiguos. El 50% restante no debería interrumpirse antes de una longitud de 0,40L ó 0,4h (la que sea menor) a cada lado, y contado desde el borde del apoyo.

h’ = ≥ 0,1 L h’ = ≥ 0,1 d y = 0,25 h – 0,05 l < 0,20 h La armadura principal de tramos se distribuirá, cualquiera sea el esquema, en una altura (POZZI AZZARO): (la menor de las dos) O (NAWY): En cualquier caso, la armadura se prolongará hasta los apoyos. Cuidado especial en el diseño de anclajes. Se sugiere (CEB) desarrollar los mismos a partir de la cara interna de los apoyos, para cargas del 80% de la fuerza máxima calculada en el acero de tracción. 1.4. ORGANIZACIÓN Y DISTRIBUCION DE LA ARMADURA PRINCIPAL h’ = ≥ 0,1 L h’ = ≥ 0,1 d y = 0,25 h – 0,05 l < 0,20 h

DETALLES DE ORGANIZACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA PRINCIPAL Para anclaje de barras se prefiere el uso de ganchos horizontales, de manera que queden sometidos a compresión transversal por acción de las reacciones en los apoyos. Se sugiere el uso de barras de diámetros pequeños, y aún considerar la utilización de anclajes mecánicos.

La armadura principal de apoyos se puede distribuir del siguiente modo (POZZI-AZZARO): 1.4. ORGANIZACIÓN Y DISTRIBUCION DE LA ARMADURA PRINCIPAL En los apoyos intermedios (vigas continuas) , se distribuirá del siguiente modo: En sombreado se indica la zona de distribución

1.4. ORGANIZACIÓN Y DISTRIBUCION DE LA ARMADURA PRINCIPAL En apoyos de ménsulas:

INCIDENCIAS DEL BORDE DE APLICACIÓN DE LAS CARGAS Fisuración y falla de una VGA simplemente apoyada. Con carga introducida en el borde superior Con carga aplicada en el borde inferior

ARMADURA DE SUSPENSIÓN PARA CARGAS APLICADAS EN EL BORDE INFERIOR Armadura Adicional requerida en VGA por aplicación de carga en el borde inferior

f as [cm2/m] L fy = Pu tot = qu L f as L fy = qu L 1.5. ARMADURA DE SUSPENSION PARA CARGAS ACTUANTES EN LA PARTE INFERIOR Carga Distribuida: qu [kN/m] L = Putot f Pn tot = Pu tot f as [cm2/m] L fy = Pu tot = qu L f as L fy = qu L as [cm2/m] = qu / (f fy ), f = 0,90 Carga Concentrada: As dobl = Pu / (2 fy f sena ), f = 0,90 a : 60 a 75 °, amax = 75°

ARMADURA DE SUSPENSION. ALTERNATIVAS Armadura de suspensión a disponer cuando una VGA soporta a otra, utilizando: a) estribos verticales; b) barras dobladas (no más del 60% de P)

EFECTOS DE CARGAS CONCENTRADAS. REACCIONES DE APOYO Armadura adicional requerida en VGA simplemente apoyada para refuerzo por concentración de tensiones en apoyos, debidas al corte

EFECTOS DE CARGAS CONCENTRADAS. REACCIONES DE APOYO Resulta indispensable considerar la concentración de tensiones en apoyos. Para ello se debe verificar que las reacciones de apoyo (corte en el apoyos), no superen determinados valores sugeridos en la literatura. En vigas de un solo tramo, la magnitud de las reacciones para cargas mayoradas no debe exceder: 0.60 b (t + ho ) f’c con : t : ancho del apoyo ho : ancho de un ala (si existe) que pueda rigidizar el borde inferior de la viga En apoyos interiores de VGA continuas: 0.90 b (t + 2ho ) f’c

SECCION DE APOYO A CONSIDERAR Suposición de distribución de tensiones de apoyos de VGA Caso de apoyo exterior Caso de apoyo intermedio

2. DISEÑO AL CORTE Ejemplo de viga de gran altura sometida a cargas concentradas. cargas, reacciones y esfuerzos internos; sección transversal; c) armadura.

Vn ≤ 5/6 (f’c )1/2 bw d Vu ≤ f Vn = 0,625 (f’c )1/2 bw d 2. DISEÑO AL CORTE. RESISTENCIA NOMINAL MÁXIMA La resistencia nominal al corte Vn, para vigas de gran altura, debe cumplir : Vn ≤ 5/6 (f’c )1/2 bw d Y, considerando f = 0,75 debe ser: Vu ≤ f Vn = 0,625 (f’c )1/2 bw d El CIRSOC 201-2005 no dice cómo determinar Vc . Sin embargo, la bibliografía estima que puede ser bastante mayor que en vigas esbeltas.

Vc = [3,5 – 2,5 (Mu/Vu d)] [0,143 (f’c )1/2 + 17,2 rw Vu d /Mu ] bw d 2.1. DETERMINACION DE Vc en VGA La contribución del hormigón a la resistencia nominal al corte Vc, para vigas normales (esbeltas) se podía determinar mediante : Según la literatura (Navy, 2005), (Nilson, 2001) para VGA este valor se puede incrementar como: Vc = [3,5 – 2,5 (Mu/Vu d)] [0,143 (f’c )1/2 + 17,2 rw Vu d /Mu ] bw d Con tal de que el Vc así calculado cumpla: Vc <= 0,51 (f’c )1/2 bw d El factor 3,5 – 2,5 (Mu/Vu d) estará comprendido entre 1 y 2,5 y expresa la mayor posibilidad de contribución del hormigón al corte en VGA

2.2. DISEÑO AL CORTE. ARMADURA DE CORTE MÍNIMA. El área de la armadura de corte perpendicular a la luz del tramo, Av, debe ser igual o mayor que 0,0025 bw s, y el valor de s debe ser igual o menor que d/5, ó 300mm. El área de la armadura de corte paralela a la luz del tramo, Avh, debe ser igual o mayor que 0,0015 bw s2, y el valor de s2 debe ser igual o menor que d/5, ó 300mm. La separación máxima señalada obedece a la necesidad de limitar la abertura de las fisuras Según los Comentarios del CIRSOC 201-2005, “resultados de ensayos han demostrado que la armadura de corte vertical es más efectiva que la armadura de corte horizontal ”

Av: área total de la armadura vertical separada la distancia sv en 2.3. DETERMINACION DE VS en VGA Cuando el corte requerido Vu, supera a fVc se debe suministrar armadura tal que: Vs = Vu /f - Vc Para la que la bibliografía propone Vs se pueda calcular como:   Con: Av: área total de la armadura vertical separada la distancia sv en la dirección horizontal Ash: área total de la armadura horizontal separada la distancia sh en la dirección horizontal Que deben cumplir cuantías mínimas y separaciones máximas, como ya se ha indicado

2.3. DETERMINACION DE VS en VGA Coeficientes de efectividad de armadura vertical y horizontal de corte en VGA (Nilson) ln/d 1

En el gráfico anterior se aprecia que para VGA con valores pequeños de la relación ln/d, (por ej. cuando tiende a 1), la contribución de la armadura horizontal de corte es predominante. En esta zona, el agregado de armadura vertical en el alma tiene poco efecto en el aumento de la resistencia Vs Pero también se aprecia que cuando ln/d tiende a 5, crece la importancia relativa de la armadura vertical de corte. Por lo tanto, para VGA es comparativamente más efectivo colocar acero en el alma con barras horizontales. El partido de fisuración sugiere que la expresión de Vs contempla el modo de rotura de corte por fricción Se deben satisfacer siempre las cuantías mínimas para las barras verticales.

En todos los casos debe cumplirse x ≤ d 2.4. SECCIONES CRITICAS PARA DETERMINACION DE VU En vigas normales (esbeltas) el corte requerido se evalúa a una distancia d desde la cara del apoyo. En VGA el plano de corte tiene más pendiente y está más cercano al apoyo. Siguiendo a (Nawy, 2005), la distancia x a la que debe evaluarse el corte, desde la cara del apoyo será: Para carga uniforme: x = 0,15 ln Para carga concentrada: x = 0,50 a con a: luz de corte En todos los casos debe cumplirse x ≤ d

(a) Trayectoria de los esfuerzos 2.5. DISEÑO AL CORTE. METODO DE LAS BIELAS El Reglamento permite colocar armadura que verifique las especificaciones del Método de las Bielas (Anexo A), en lugar de colocar la armadura mínima horizontal y vertical especificada anteriormente. Sea la siguiente viga cargada en el centro: (b) Modelo de armadura (c) Modelo simplificado

Ejemplo 1: Viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme. Diseñar la armadura de corte y flexión aplicando conceptos de distribución no lineal de deformaciones.  1. DATOS Ln = 3,00m L = 3,50m qL = 1150 kN/m h = 1,80m bw = 0,50m H-27 ADN-420 2. DISEÑO A FLEXIÓN Determinación de la carga qU = 1,2 qD + 1,6 qL = = 1,2 ∙ 25kN/m3 ∙ 0,50m ∙ 1,80m + 1,6 ∙ 1150 kN/m = 1867 kN/m

Momento requerido: Mu = = 2100 kNm Determinación del brazo de palanca, z Se adopta d = 0,90 h = 0,90 ∙ 1,80m = 1,62m L/h = 3,50m / 1,80m = 1,94 < 2,00 Para 1,00 < L/h < 2,00 z = 0,2 (L + 2h) = 0,20 (3,50m + 2 1,80m) = 1,42m Determinación de la armadura principal de flexión = 39,13cm2 As = Se adopta 8 db 25mm (2 por capa) → 39,27cm2

Se adopta 30cm, desde el borde inferior Verificación de cuantía mínima de flexión = 0,0033 B.C. r = = 0,00485 > r min = = Disposición de la armadura: en la altura y, medida desde el fondo de la viga, tal que: y = 0,25 ∙ 1,80m – 0,05 ∙ 3,00m = 0,28m Se adopta 30cm, desde el borde inferior

3. DISEÑO AL CORTE El tratamiento del diseño al corte parte de considerar si efectivamente se trata de una VGA: Ln/d = 3,00m / 1,62m = 1,85 < 4 → Tratar como VGA Determinación de la sección crítica de corte: x= 0,15 Ln = 0,15 ∙ 3,00m = 0,45m Esfuerzo de corte y momento flector requeridos, Vu , Mu . Determinación en la sección crítica Vu = 1/2 ∙ 1867kN/m ∙3,00m - 1867kN/m ∙ 0,45m = 1960 kN Mu = 1/2 ∙ 1867 kN/m ∙ 3,00m ∙ 0,45m - 1867 kN/m = 1071 kNm

Verificación de tlim → tlim = 5/6 ∙ tu = = 2,42 MPa < 0,75 ∙5/6 =3,25MPa → OK Determinación de la contribución al corte del hormigón Vc: El cociente = 0,337, = conduce a evaluar el coeficiente de amplificación: 3,5 – 2,5 = 3,5 – 2,5 ∙ 0,337 = 2,66 > 2,50 → adoptamos 2,50 La cuantía de la armadura longitudinal, es r = 0,00485 Vc = ∙ bw ∙ d = Vc = ∙ 0,50m ∙ 1,62m = 2004 kN

rh = 2 ∙ 0,79 cm2 / 50cm ∙ 20cm = 0,0016 > rh min = 0,0015 OK Y debe verificar que Vc ≤ 0,51 bw d = 0,51 ∙ ∙ 0,50m ∙ 1,62m = 2147kN → OK Determinación de la armadura de corte. La contribución al corte con armadura resulta: Vs = Vu / f – Vc = = 610 kN Adoptando cuantías mínimas vertical y horizontal en el alma. db 12mm cada 17 cm (horizontal), sv = 0,17m: rv = 2 ∙ 1,13 cm2 / 50cm ∙ 17cm = 0,00266 > rv min = 0,0025 OK db 10mm cada 20 cm (vertical), svh = 0,20m rh = 2 ∙ 0,79 cm2 / 50cm ∙ 20cm = 0,0016 > rh min = 0,0015 OK la determinación de la contribución Vs adoptada se calcula con:

Vs = 420MPa ∙ 1,62m ∙103kN/MN ∙10-2cm/m Vs = 623kN   Vs = 420MPa ∙ 1,62m ∙103kN/MN ∙10-2cm/m Vs = 623kN Vs dispuesto = 623 kN > Vs requerido = 610kN → OK