Movimiento curvilíneo ITESCHAM

Cinemática rotacional Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos lo hacen en una trayectoria circular. El centro de estos círculos ha de estar en una trayectoria recta común denominada eje de rotación. El movimiento de la rueda es un ejemplo de rotación pura de un cuerpo rígido.

Desplazamiento angular ɸ= s/r Un ángulo de un radian (1 rad) es un ángulo central cuyo arco es igual en longitud al radio r Para calcular un ángulo en radianes, podemos emplear la siguiente fórmula Desplazamiento angular ɸ= s/r Por consiguiente una revolución completa es un ángulo de 2π rad De lo cual notamos que 1 rad = 360º/2π = 57.3º = 0.159 rev

Supongamos que el cuerpo de la figura gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el tiempo t1, la posición angular de la línea AP es ɸ1, y en el tiempo posterior t2 es ɸ2. El desplazamiento angular de P es ɸ1 - ɸ2 = ∆ɸ durante el intervalo temporal t2 – t1 = ∆t Definimos la velocidad angular promedio ωpro de la partícula P en este intervalo, como

La velocidad angular instantánea ω, es el límite al que tiende esta razón conforme ∆t se acerca a cero. O bien

Si la velocidad promedio de P no es constante, el punto tendrá aceleración angular. Supongamos que ω1 y ω2 son las velocidades angulares instantáneas en los tiempos t1 y t2, respectivamente; entonces la aceleración angular promedio αpro del punto P se define así

La aceleración angular instantánea, es el límite de esa razón a medida que ∆t tiende a cero. La aceleración angular puede ser positiva o negativa ya sea que la velocidad angular aumente o disminuya. Sus unidades son rad/s2 o rev/s2

PROBLEMA La hoja de un ventilador gira inicialmente con una rapidez angular de 48.6rpm. Posteriormente reduce su velocidad hasta que finalmente se detiene en un tiempo de 32s después de realizar 8.8rev Calcule a)la velocidad angular promedio b)la aceleración angular de la hoj Sol. a) 0.28rev/s b)-0.025rev/s2

PROBLEMA 2 Una rueda en un eje fijo gira de modo que la velocidad angular instantánea de una línea de referencia pintada sobre un radio está dada en función del tiempo por ω=At + Bt2, donde A=6.2rad/s2 y B=8.7rad/s3 a)si la línea de referencia está inicialmente en ɸ=0 cuando t=0, localice su posición angular cuando t=2.0s b)¿Cuál es la aceleración angular instantánea de la línea de referencia en t=0.50s? Sol. a)=35.6rad b)14.9rad/s2

Ejercicio 1 Demuestre que 1rev/min =0.105rad/s

Ejercicio 2 El ángulo que recorre el volante de un generador durante el intervalo t esta dado por ɸ=at + bt3 – ct4 Donde a, b y c son constantes. ¿cuál es la expresión de su velocidad angular y aceleración angular? Sol. a)a+3bt2-4ct3 b)6t(b-2ct)

Ejercicio 3

Magnitudes rotacionales como vectores Para representar como vector una magnitud física, no sólo ha de tener magnitud y dirección; debe obedecer además las leyes de la adición vectorial. Determinemos si las variables angulares las cubren o no. Desplazamiento angular (conmutatividad) ∆ɸ1 + ∆ ɸ 2 ≠∆ ɸ 2 + ∆ ɸ 1 Los desplazamientos angulares finitos no pueden representarse como magnitudes vectoriales

La situación cambia cuando hacemos más pequeños los desplazamientos. dɸ1 + dɸ 2 = dɸ 2 + dɸ 1 Las rotaciones angulares infinitesimales pueden representarse como vectores También pueden ser vectores, las magnitudes definidas a partir de los desplazamientos angulares infinitesimales. Por ejemplo, la velocidad angular es ϖ = dɸ̅/dt. Dado que dɸ̅ es un vector y dt es un escalar, el cociente ϖ será un vector. Por tanto la velocidad angular puede representarse como un vector.

También la aceleración angular es una magnitud vectorial También la aceleración angular es una magnitud vectorial. Esto se deduce de la definición α̅ =dϖ/dt Donde dϖ es un vector y dt un escalar.

Rotación con aceleración angular constante En el movimiento rotacional de una partícula o de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, el tipo más simple de movimiento es aquel en el que la velocidad angular (αz)es cero. El siguiente tipo más simple de movimiento es en el que la aceleración angular es constante (que no sea cero)

Rotación con aceleración angular constante Velocidad angular Desplazamiento angular