Estadística PLH 406 Medidas de tendencia central Francisco Henríquez Henriquez.fco@gmail.com www.freewebs.com/fcohenriquez/estadistica.htm

Notación de Sumatoria El símbolo del lado indica la suma de todos los Xi desde i=1 hasta i=N.

Notación de Sumatoria Es decir: Propiedades:

Notación de Sumatoria Propiedades:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media La Media Aritmética: la media de un conjunto N de números X1, X2,X3,…,XN se denota X (o “X barra”) y se define por:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media Ejemplo: Tenemos los siguientes números: 19, 80, 21, 74, 66 La media se calcula:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media Calcular la media para los siguientes números: 70, 98, 54, 97, 26 El resultado es

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media La Media Aritmética Ponderada: A veces se asocia a los números X1, X2,…, XN ciertos factores de peso (o pesos) w1, w2,…, wN, dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso,

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media Ejemplo: Calcule el promedio de las siguientes notas: 5,6 coef. 2; 3,5 coef. 1; 6,4 coef. 1 y 5,2 coef.2 Otra manera de resolver este problema es calculando un ponderador, que se define:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media En este caso, los ponderadores son: 2/6=0.333 1/6=0.167 entonces, se calcula

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones Cuando se trabaja con datos de carácter cualitativo, no se puede obtener media, sino que proporciones, lo cual indica la frecuencia relativa que posee un atributo en un conjunto de datos. Se obtiene así:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones El valor p está entre 0 y 1. Para una interpretación más sencilla se suele multiplicar por 100 y se obtiene el porcentaje de ocurrencia del fenómeno.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones Por ejemplo, se puede calcular la proporción de respuestas buenas que los alumnos tienen en un ítem. De hecho, esta es una medida de dificultad del ítem. Mientras más cercano a 1, más fácil es el item. Se calcula: Total de alumnos : 560 Alumnos que respondieron bien el ítem: 375

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones Sector frecuencia Alianza 278 Concertación de partidos por la democracia 468 Pacto juntos podemos (Partidos Comunista, Humanista y otros) 110 Otros 7 Ninguna de ellas 594 No sabe 24 No contesta Ejercicio: Calcular el porcentaje que representa cada uno de estos grupos: ¿Con cuál de las tendencias políticas Ud. se identifica o simpatiza más?... (Encuesta CEP dic. 2006)

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones Sector frecuencia % Alianza 278 18.5% Concertación de partidos por la democracia 468 31.1% Pacto juntos podemos (Partidos Comunista, Humanista y otros) 110 7.3% Otros 7 0.5% Ninguna de ellas 594 39.5% No sabe 24 1.6% No contesta Total 1505  

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana La Mediana: la mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es el valor central o la media de los dos valores centrales. Cuando hay un número impar de observaciones, es la observación (N+1)/2:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana Ejemplo: Si tenemos el siguiente conjunto de datos: 344, 190, 399, 473, 170, 363, 43, 671, 75, 421, 702, 846, 74, 652, 216, 304, 390, 457, 652, 700, 636, 934, 77, 444, 238, 78, 429,65, 927 para obtener la mediana, primero debemos ordenarlos: 43, 65, 74, 75, 77, 78, 170, 190, 216, 238, 304, 344, 363, 390, 399, 421, 429, 444, 457, 473, 636, 652, 652, 671, 700, 702, 846, 927, 934.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana una vez ordenados, se deben contar: 43, 65, 74, 75, 77, 78, 170, 190, 216, 238, 304, 344, 363, 390, 399, 421, 429, 444, 457, 473, 636, 652, 652, 671, 700, 702, 846, 927, 934. Son 29 observaciones. Entonces, la observación del medio es la número 15 (ya que (29+1)/2=15). Y esa observación es 399.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana Obtener la mediana para los siguientes datos: 0, 7, 15, 18, 24, 44, 45, 49, 50, 68, 70, 75, 86, 88, 93, 97, 99. el número de observaciones es 17, por lo que el valor mediano va a ser el noveno, es decir: Me=50.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana Cuando N es impar se calcula el promedio entre los dos valores del medio:

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana Ejemplo: 2, 4, 9, 16, 29, 45, 60, 65, 67, 68 Aquí hay 10 observaciones, luego, se debe obtener el promedio de las que están “en el medio”. Es decir las obs. 5 y la 6.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana Ejercicio: Obtener la mediana de: 3, 19, 33, 38, 40, 40, 45, 50, 55, 58, 74, 98 hay 12 obs., por lo que a mediana está entre los datos 6 y 7, es decir

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda La Moda: la moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el valor más frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única. La distribución con una sola moda se llama unimodal y con dos es bimodal.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda Ejemplo: determinar la moda de los siguientes datos: 10, 19, 21, 21, 32, 47, 47, 47, 71, 71, 73, 84, 89, 98 Dado que el valor que más se repite es el 47, Moda = 47

Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda Ejercicio, determinar la moda de los siguientes datos: 15, 23, 25, 30, 30, 41, 67, 78, 78, 79, 81, 84, 87, 89, 99. Moda = 30 y 78. 11, 14, 21, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 48, 51, 65, 72, 95 En este caso, la moda no existe.

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media Media aritmética para datos agrupados: Cuando se cuenta con datos agrupados en una distribución de frecuencia, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran igual a la marca de clase, o punto medio del intervalo.

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media Con Xj como marca de la clase j y fj como frecuencia de la misma, se tiene que: Nótese que se asume que hay M clases

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media Ejemplo: A partir de la siguiente tabla de distribución de frecuencia, encuentre la media. LI LS Marca fi fr 150 75 285 0.012 300 225 5850 0.244 450 375 4655 0.194 600 525 7382 0.308 750 675 856 0.036 900 825 4948 0.206 N 23976

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media Se puede hacer de dos maneras. Ambas provienen de la definición de promedio ponderado. La primera suma las frecuencias multiplicadas por su marca y se divide por N. La segunda simplemente suma la multiplicación de las marcas por las frecuencias relativas.

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media LI LS Marca fi fr M*fi 150 75 285 0.012 21375 300 225 5850 0.244 1316250 450 375 4655 0.194 1745625 600 525 7382 0.308 3875550 750 675 856 0.036 577800 900 825 4948 0.206 4082100 N 23976 11618700

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media LI LS Marca fi fr marca*fr 150 75 285 0.012 0.892 300 225 5850 0.244 54.899 450 375 4655 0.194 72.807 600 525 7382 0.308 161.643 750 675 856 0.036 24.099 900 825 4948 0.206 170.258 N 23976 484.60

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana La mediana se obtiene por interpolación y está dada por:

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Es una interpolación debido a que en esta fórmula está implícito el supuesto de que los datos se distribuyen de manera lineal en el intervalo.

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo LI LS Marca fi fa 150 75 285 300 225 5850 6135 450 375 4655 10790 600 525 7382 18172 750 675 856 19028 900 825 4948 23976 N

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Lo primero que se debe hacer es determinar la clase donde está la mediana. Lo anterior se realiza dividiendo N por 2, es decir: 23976/2=11988 A continuación se debe encontrar la clase mediana, la cual es la que tiene la frecuencia acumulada mayor a la observación mediana. En este caso:

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo LI LS Marca fi fa 150 75 285 300 225 5850 6135 450 375 4655 10790 600 525 7382 18172 750 675 856 19028 900 825 4948 23976 N

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Luego se debe aplicar la fórmula: Frecuencia acumulada anterior a la frec. mediana N Ancho del Intervalo Frecuencia Mediana Límite Inferior de la frecuencia mediana

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Moda La moda, para datos agrupados es simplemente la marca de la clase con mayor frecuencia. LI LS Marca fi 150 75 285 300 225 5850 450 375 4655 600 525 7382 750 675 856 900 825 4948 En este caso, la moda es: Moda = 525