MODELO DE SERIES DE TIEMPO LUIS MIGUEL GALINDO HORACIO CATALÁN FACULTAD DE ECONOMÍA

Captura las regularidades de las series económicas INTRODUCCIÓN: Captura las regularidades de las series económicas Principales características de las series económicas; Tendencia Ciclos Estacionalidad No linealidad Base para los modelos estructurales ARIMA: Modelos de pronóstico No se hacen supuestos de valoración entre variables Dr. Galindo

Utiliza series estacionarias con un ARMA Estimación INTRODUCCIÓN: Método de Box-Jenkins Utiliza series estacionarias con un ARMA Estimación Pruebas de diagnostico Dr. Galindo

Frequency domain: Analiza los movimientos cíclicos INTRODUCCIÓN: Análisis: Time domain: analiza las relaciones entre distintas observaciones en el tiempo Frequency domain: Analiza los movimientos cíclicos  Análisis complementarios Dr. Galindo

MARCO GENERAL: Una serie de tiempo consiste en un conjunto de observaciones de una variable (xt) con información a intervalos similares de tiempo Proceso estocástico (xt) es una secuencia (y1, y2,…, yt) de variables aleatorias Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: TENDENCIA Modelo de regresión simple: (1) Una tendencia se traduce en un crecimiento promedio importante que se puede ilustrar como: (2) Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Son modelos distintos: TSP DSP Pueden existir cambios en la tendencia: T, T2, no lineal, cambio estructural Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: ESTACIONALIDAD Una modificación de la ecuación (2) es: (3) El R2 de la regresión (3) indica el grado de estacionalidad Existen distintos patrones de estacionalidad Ojo: cuidado con la constante Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: OBSERVACIONES EXTREMAS Pueden existir cambios de régimen. Ver los datos en primeras diferencias: (4) Ver los datos con una recta de regresión. Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL Observaciones que se salen vienen en clusters (5)  ρ > 0 : varianzas tienen una correlación positiva Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: NO LINEALIDAD Causas: Existen asimetrías Existen cambios estructurales Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Una formalización de la asimetría: (6) Una variable indicador que permite que el valor absoluto de la tasa de cambio varié entre dos estados. Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: EXISTENCIA DE PATRONES REGULARES (7) Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Un proceso estocástico es estrictamente estacionario en el caso donde las propiedades de las series no son afectadas por la distancia al origen. En este caso, la probabilidad conjunta de distribución para cualquier conjunto de datos de la serie es similar a la de otro conjunto de datos de la misma serie. Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS:  Además con distribuciones similares se cumple que: (1.1) (1.2) (1.3) Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Una serie estacionaria débil o estacionaria de segundo orden o estacionaria de covarianzas es en el caso donde la media y la varianza son constantes. Un proceso estocástico estacionario es Gausssiano en el caso donde la distribución conjunta es normal. Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Ruido Blanco: es una serie estacionaria que no se encuentra autocorrelacionada a lo largo del tiempo y por tanto tiene covarianzas cero: Dr. Galindo

ANÁLISIS DE PATRONES REGULARES EN LAS VARIABLES ECONÓMICAS: Ruido Blanco independiente: indica que yt no esta autocorrelacionada y que es estadísticamente independiente: Ruido Blanco Gaussiano: indica que no sólo yt esta generado por una distribución normal: Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL RUIDO BLANCO: “El ruido blanco no tiene memoria” “el shock es uno y desaparece” Los shocks son temporales. Los shocks no afectan el valor de la media: La variable tiene reversión a la media. La línea central es un atractor. Un shock no altera los pronósticos. No existe información en el shock reciente que permite mejorar los pronósticos porque no existe autocorrelación Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL RUIDO BLANCO: La varianza del error de pronóstico esta acotada. Esto es, el error de pronóstico es la diferencia entre el valor real y el pronosticado: Con ruido blanco gaussiano existe un 95% de probabilidad de que yt cae dentro de dos desviaciones estandares de la media: Dr. Galindo

PROPIEDADES DEL RUIDO BLANCO: Una variable aleatoria independiente e idependiente distribuida (iid) es una secuencia de variables aleatorias con las siguientes propiedades: (constante no necesariamente igual a cero) la varianza de yt es constante e independiente del tiempo (γ2) yt es independiente de cualquier otro yt-j Nota: las dos primeras propiedades son similares al ruido blanco y la tercera enfatiza la independencia ya que no siempre correlaciones iguales a cero implica necesariamente independencia. Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: Objetico: Identificar las características de las series Ejemplo: Erogodicidad: Observaciones muy separadas no están autocorrelacionadas. Función de autocovarianzas: La función de autocovarianzas resume el patrón de dependencia temporal de un proceso estocástico (1) Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: La covarianza de una variable sobre si misma es su varianza (2) Nota: la autocovarianza cambia de escala. Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: La función de autocorrelación (ACF) o correlograma estima la magnitud de la relación o correlación entre distintos puntos de la variable. Estima la fuerza y el rezago de la memoria del proceso (3) El coeficiente de correlación se ubica entre -1 y 1 Supuesto de una varianza común (3.1) Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: La función muestral de autocorrelación (SACF): Resume la dependencia temporal del proceso estocástico pero considerando la información observada (4) La función de impulso respuesta es un shok impulso en еt que va a impactar a yt Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: Las correlaciones parciales muestales (PACF) son el coeficiente de la regresión estimada En lo general, una proporción de la correlación entre yt, yt-k se debe a la correlación con los términos intermedios. Entonces las autocorrelaciones parcial es eliminan ese efecto. Nota: Estos PACF pueden obtenerse de las ecuaciones de Yale-Walker Dr. Galindo

ESTADISTICOS DE DEPENDENCIA TEMPORAL: En el caso donde t → ∞ entonces γk se distribuye normal y la varianza de la distribución corresponde al reciproco del tamaño de la muestra: (5) Los intervalos de confianza que incluyen al 95 % de los casos son: (5.1) Dr. Galindo

ESTADISTICOS BASICOS: La distribución de la función muestral de autocorrelación es: (6) Intuición: Obteniendo una normalización y despejando: (6.1) La desviación estándar o varianza es igual por el 1 elevando al cuadrado en ambos de (6.1): (6.2) Dr. Galindo

PRUEBAS POR TMANTEN (Q): H0: Los coeficientes de correlación son iguales a cero Box Pierce (1970): El estadístico BP se distribuye como una λ2(m) (7.1) Dr. Galindo

PRUEBAS POR TMANTEN (Q): Ljung-Box (1978): El estadístico LB se distribuye como una λ2(m) Esta prueba tiene mejores propiedades muestrales Nota: al aumentar la muestra se cancela (T+2) con (T-k) y entonces LB equivale a BP Dr. Galindo

EL OPERADOR DE REZAGOS: (1) (1.1) (1.2) (1.3) Dr. Galindo

POLONOMIO DE REZAGOS: (2) (2.1) Dr. Galindo

La suma infinita converge: (3) POLONOMIO DE REZAGOS: Drymes, P. J. (1981); distributed lags: Problems of formation, Amsterdam: North Holland. La suma infinita converge: (3) Ello implica en el polinomio de rezagos que: (3.1) Dr. Galindo

Los coeficientes indican la forma en que yt depende del pasado. EJEMPLO ECONÓMICO: (4) Los coeficientes indican la forma en que yt depende del pasado. El pasado reciente importa más. Ejemplo AR(1) (5) (5.1) Dr. Galindo

EJEMPLO ECONÓMICO: Sustituyendo (5.1) en (5): (5.2) Despejando (5.3) Dr. Galindo

EJEMPLO ECONÓMICO: Sustituyendo (5.4) (5.5) (5.6)  Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD: Teorema de descomposición de Wold indica que cualquier serie estocástica estacionaria débil y no determínistica puede representarse como una combinación lineal o un filtro de una secuencia de varianles aleatorias no correlacionados(a) Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD : Las características de a son variables aleatorias no correlacionadas, conocidas como una secuencia de procesos de ruido blanco: Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD : El teorema de descomposición de Word indica que: Toda serie de covarianza estacionaria puede representarse como una combinación lineal de sus innovaciones (1) Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD : Las medias y varianzas no condicionales del proceso lineal son (Diebold, 133) (2.1) (2.2) Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD: Las medias y varianzas condicionales del proceso lineal : (2.3) Dr. Galindo

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE WOLD: (2.4) La varianza condicional e incondicional son una constante fija. ARCH: modelos que cambian la varianza condicional con el conjunto de información. Dr. Galindo

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARMA: ( Herson p.35) Ejemplo: media y varianza de un R. W: (1) Resolviendo “desde el principio”: (1.1) (1.2) (1.3) Dr. Galindo

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARMA: Nota: el drift domina la serie: Supuestos: Dr. Galindo

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ARMA: Ruido blanco coloreado: (2)  Dr. Galindo

RAÍCES UNITARIAS: (1) (2) (3) Se conoce como el polinomio característico. La solución al polinomio se obtiene obteniendo las raíces del polinomio característico: (4) Entonces  El valor que satisface la ecuación se conoce como la raíz de esta ecuación. Dr. Galindo

Para la ecuación tiene una raíz unitaria. RAÍCES UNITARIAS: Ejemplo: Para la ecuación tiene una raíz unitaria.  La serie en primeras diferencia es una serie estacionaria Dr. Galindo

Ejemplo: AR(2): (Herson, 221) (6) (7) Factorizando: (8) RAÍCES UNITARIAS: Ejemplo: AR(2): (Herson, 221) (6) (7) Factorizando: (8) Condición necesaria: que las raíces del polinomio son mayores que uno en valor absoluto Dr. Galindo

RAÍCES UNITARIAS: Ejemplo AR(3): (Brooks, pp 241) (1) (2) (3) La ecuación característica Dr. Galindo

RAÍCES UNITARIAS: Si existe una raíz unitaria entonces el polinomio característico se puede representar como: Dr. Galindo

Estabilidad  Estacionariedad (no necesariamente a la inversa). RAÍCES UNITARIAS: La condición necesaria y suficiente para la estabilidad es que las raíces del polinomio característico tengan modulo superior a uno. Estabilidad  Estacionariedad (no necesariamente a la inversa). Dr. Galindo

 Las raíces están fuera del círculo unitario. RAÍCES UNITARIAS: Una serie no tiene que diferenciarse en el caso donde la solución del polinomio característico es:  Las raíces están fuera del círculo unitario. Dr. Galindo

MEDIA Y VARIANZA DEL AR(1): (2) (3) Sustituyendo Y suponiendo que (4) (5) Dr. Galindo

MEDIA Y VARIANZA DEL AR(1): Remplazando (6) Multiplicando: (7) (8) (9)  La suma infinita de un número geométricamente declinando es Dr. Galindo

MEDIA Y VARIANZA DEL AR(1): Nota: la inclusión de la constante: Restando la media a ambos lados (1) despejando: (2) (3) Dr. Galindo

MEDIA Y VARIANZA DEL AR(1): entonces imponiendo imponer un RW Caso general: (4) (5) Dr. Galindo

por el teorema de descomposición de Wold (8) (9) VARIANZA: (6) supuesto (7) por el teorema de descomposición de Wold (8) (9) Dr. Galindo

la suma infinita dada que converge a: (12) VARIANZA: (10) El valor esperado de los términos cruzados es cero ya que los errores no están autocorrelacionados (11) la suma infinita dada que converge a: (12) Dr. Galindo

FORMA ALTERNATIVA DE OBTENER LA MEDIA Y LA VARIANZA: (1) (2) (3) (4) media: (5) Dr. Galindo

Con μ=0 (6) (7) varianza: (8) FORMA ALTERNATIVA DE OBTENER LA MEDIA Y LA VARIANZA: Con μ=0 (6) (7) varianza: (8) Dr. Galindo

La media y varianza condicional del AR(1): (1) FORMA ALTERNATIVA DE OBTENER LA MEDIA Y LA VARIANZA: La media y varianza condicional del AR(1): (1) (2) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): supuesto entonces: (2) substituyendo por su representación como descomposición de Wold. Nota: los cuadrados del phi vienen porque es la substitución del AR(1): (3) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Haciendo la multiplicación de (3): (4) ello implica que: (5) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): factorizando: (6) por convergencia: (7) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Para la covarianza con dos rezagos: (8) sustituyendo (9) Haciendo la multiplicación: (10) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Substituyendo por la varianza: (11) Factorizando: (12) (13) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Así, la covarianza para el tercer rezago: (14) Para k rezagos: (15) Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Así, la ACF: El coeficiente de correlación es el coeficiente parcial elevado al exponente respectivo. El uso de las ecuaciones Yule-Walker. Dr. Galindo

LA COVARIANZA DE UN AR(1): Como entonces: ejemplo de correlaciones teóricos: Dr. Galindo

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL: (PACF): Este estadístico mide la correlación entre la observación actual y aquella k periodos anteriores, después de controlar por las observaciones intermedias.  un AR(ρ), sólo tiene coeficientes de correlación parciales distintos de cero hasta el rezago ρ. Dr. Galindo

LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL: (1) puede obtenerse de las ecuaciones de Yule-Walker. Las autocorrelaciones parciales se distribuyen, para grandes muestras, con media cero y varianza ; entonces: Dr. Galindo

Un MA es una combinación de ruidos blancos: (1) (2) (3) PROCESOS MA : Un MA es una combinación de ruidos blancos: (1) (2) (3) Dr. Galindo

PROCESOS MA : Dr. Galindo MA(1): (1) Media: (2) Varianza: (3) Covarianza: (4) Dr. Galindo

PROCESOS MA : MA(2) (1) Media: (2) Varianza: (3) Dr. Galindo

Substituyendo por el MA(2) (4) (5) (6) PROCESOS MA : Substituyendo por el MA(2) (4) (5) (6) Dr. Galindo

PROCESOS MA : Dr. Galindo La covarianza del MA(2): (7) (8) Sustituyendo: (9) Multiplicando: (10) (11) Dr. Galindo

PROCESOS MA : La covarianza con 2 rezagos es: (12) (13) Sustituyendo: (14) Entonces: (15) Dr. Galindo

PROCESOS MA : La covarianza en el rezago 3: (16) (17) Sustituyendo: (18) Entonces (19)  Dr. Galindo

PROCESOS MA : La ACF del MA(2): Para ρ1: (20) Para ρ2: (21) Para ρ3 Dr. Galindo

CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD DEL MA: Un MA se puede transformar en un AR Ejemplo: (1) (2) Rezagando un periodo: (3) Dr. Galindo

CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD DEL MA: Sustituyendo (3) en (1): (4) Despejando: (5) Sustituyendo recursivamente , se genera un AR infinito. El término converge a cero con con MA es invertible. Dr. Galindo

CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD DEL MA: (1) Entonces: El polinomio característico es: Dr. Galindo

CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD: El MA(q) requiere para ser invertible que las raíces de la ecuación característica deben ser mayores que uno en valor absoluto. La condición de invertibilidad es matemáticamente igual que la condición de estacionariedad. Esta condición permite que la serie converja. Dr. Galindo

PROPIEDADES DE INVERTIBILIDAD DEL AR(ρ): Ejemplo: (1) (2) Sustituyendo: (3) Dr. Galindo

PROPIEDADES DE INVERTIBILIDAD DEL AR(ρ): Multiplicando: (4) Substitución infinita: (5) Dr. Galindo

Un AR(2): Dr. Galindo (1) Media: (2) Un AR(2) es estacionario si los parámetros cumplen con: 1. 2. 3. (Mills pp16, financial series) Dr. Galindo

Explicación intuitiva: (10.1) Ecuación diferencial homogénea: (10.2) Un AR(2): Explicación intuitiva: (10.1) Ecuación diferencial homogénea: (10.2) Dr. Galindo

La ecuación cuadrática se satisface con las siguientes raíces: Un AR(2): La solución de (10.2) depende de las raíces de la ecuación característica: (10.3) La ecuación cuadrática se satisface con las siguientes raíces: Dr. Galindo

Explicación intuitiva AR: (1) Con: La relación de los parámetros: Un AR(2): Explicación intuitiva AR: (1) Con: La relación de los parámetros: La ecuación característica es: Dr. Galindo

PROCESO ARMA: (1) AR puro: (2) MA para: (3) Dr. Galindo

PROCESO ARMA: Las características de un proceso ARMA combinan las características de un AR y un MA. Las principales características de estos procesos son: AR(ρ): Un ACF que se extiende infinitamente pero que derive geométricamente Un PACF que es cero para valores superiores a ρ. MA(q): Un ACF que se corta después del rezago q. Una caída geométrica del PACF que se extiende infinitamente. Dr. Galindo

La ACF de un AR tiene la forma del PACF del MA. PROCESO ARMA: La ACF de un AR tiene la forma del PACF del MA. La ACF del MA tiene la forma del PACF del AR. ARMA: Un ACF que decae geométricamente. Un PACF que decae geométricamente. Dr. Galindo

Para valores mayores a q ka ACF se comportará como el AR(ρ) PROCESO ARMA: Media del ARMA: Para valores mayores a q ka ACF se comportará como el AR(ρ) domina en el largo plazo el AR(ρ). Dr. Galindo

PROPIEDADES DE UN ARMA (1,1): (Griffiths, Hiil y Judge, pp 663) (1) Entonces la varianza es una desviación sobre la media: (2) Dr. Galindo

PROPIEDADES DE UN ARMA (1,1): Como: (3) Entonces con (4) (5) Dr. Galindo

PROPIEDADES DE UN ARMA (1,1): De donde: Entonces la función de autocorrelación es: (6) (7)  La función de autocorrelación tiene las características de ambos procesos AR y MA. Dr. Galindo

FACTORES COMUNES EN UN MODELO ARMA (Harre pp29) ARMA (2,1): (1) Factorizando AR: Entonces: (2)  AR(1): Dr. Galindo

RESUMEN: AR(1) MA(1) Dr. Galindo

RESUMEN: MA(2): MA(q): Dr. Galindo

PRONOSTICOS CON UN ARMA (Brooks, pp282): El pronóstico con un ARMA es un ejercicio de estimar la esperanza condicional: (1) Dr. Galindo

PRONOSTICOS CON UN ARMA (Brooks, pp282): Ejemplo de un MA(3): (2) Pronósticos: (3.1) (3.2) (3.3) Dr. Galindo

PRONOSTICOS CON UN ARMA (Brooks, pp282): Se utilizan los valores condicionales no las medias sin condicionar que es cero. En (3.3) se desconoce y en el cuarto momento El Ma(3) tiene memoria para tres periodos y por tanto pronósticos mayores a 4 colapsan al intercepto. Dr. Galindo

PRONÓSTICOS DE UN AR(ρ): Ejemplo AR(2): (1) (1.1) (1.2) (1.3) El pronóstico de un periodo adelante lo da la constante más los coeficientes de los calores rezagados. Dr. Galindo

EJEMPLO DE PROÓSTICOS: (Griffiths, Cartei y Hill, pp 675) (1) (2) (3) (4) Dr. Galindo

MODELO DE SERIES DE TIEMPO LUIS MIGUEL GALINDO HORACIO CATALÁN FACULTAD DE ECONOMÍA