Estadística Descriptiva TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

X : x1 , … , xi , … , xk k modalidades distintas 5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA n individuos X : x1 , … , xi , … , xk k modalidades distintas Y : y1 , … , yi , … , yp p modalidades distintas

5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA Frecuencia Absoluta Conjunta La Frecuencia absoluta conjunta de X = xi , Y = yj ; se define como el número de individuos que presenta simultáneamente X = xiy Y = yj Frecuencia Relativa Conjunta La Frecuencia relativa conjunta de (xi , yi) se define como la proporción de individuos que presenta simultáneamente X = xi Y = yj nij Propiedades (1) (2)

5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA Frecuencia Absoluta Marginal de X = xi La Frecuencia absoluta marginal se define como el número de individuos que presentan la modalidad xi de X. ni. = Frecuencia Absoluta Marginal de Y = yj La Frecuencia absoluta marginal se define como el número de individuos que presentan la modalidad yj de Y. n.j =

5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA Frecuencia Relativa Marginal de X = xi La Frecuencia relativa marginal se define como la proporción de individuos que presentan la modalidad xi de X. fi. = Frecuencia Relativa Marginal de Y = yj La Frecuencia relativa marginal se define como la proporción de individuos que presentan la modalidad yj de Y. f.j = Propiedades (3) (4)

5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA Distribuciones Condicionales Distribución de X condicionada a Y = yj (X|y = yj) = frecuencia absoluta de xi condicionada a Y = yj = número de individuos que presentan X = xi de las que tienen Y = yj = frecuencia relativa de xi condicionada a Y = yj = proporción de individuos que presentan X = xi de las que tienen Y = yj Propiedades (5) (6)

5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA Distribución de Y condicionada a X = xi (Y|x = xi) = frecuencia absoluta de yj condicionada a X = xi = número de individuos que presentan Y = yj de las que tienen X = xi = frecuencia relativa de xi condicionada a Y = yj = proporción de individuos que presentan X = xi de las que tienen Y = yj Propiedades (5) (6)

5.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA FUNCIONAL Se dice que X es independiente de Y si las distribuciones relativas condicionadas de X|y = yj son idénticas entre si, es decir: Se dice que Y es independiente de X si las distribuciones relativas condicionadas de Y|x = xi son idénticas entre si, es decir: Propiedades (1) X es independiente de Y si y solo si las distribuciones relativas de X|y = yj coinciden con la distribución relativa de X. (2) X es independiente de Y si y solo si las columnas de la tabla de frecuencias absolutas conjunta son proporcionales entre si, incluida la columna de la marginal de X. (3) X es independiente de Y si y solo si Y es independiente de X. La Independencia es recíproca. (4) X e Y son independientes si y solo si fij = fi. * f.j

5.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA FUNCIONAL Dependencia Funcional Se dice que X depende funcionalmente de Y si a cada valor yj de y le corresponde un único valor de X. Se dice que Y depende funcionalmente de X si a cada valor xj de x le corresponde un único valor de Y.

5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES Diagrama de Barras Apiladas 1) Por cada distribución condicionada Y|ni levantamos un rectángulo de base proporcional a ni, y altura 1 ó 100. 2) Dentro de cada rectángulo (asociado a Y|ni) pintamos tantos subrectángulos como modalidades de y. Así, para la modalidad yi , un subrectángulo con la misma base y altura El gráfico nos muestra: - Las frecuencias absolutas marginales ni (base del rectángulo). - Las frecuencias absolutas conjuntas nij (área del subrectángulo). - Las frecuencias condicionadas (altura del subrectángulo).

5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES Diagrama de Sectores 1) Se divide el círculo en 2 semicírculos, uno para X|y1 y otro para X|y2, pero el radio de cada uno será proporcional a la raíz cuadrada de las frecuencias absolutas marginales correspondientes. 2) En cada semicírculo se dibujarán tantos sectores como modalidades de X. Así, para la modalidad xi el ángulo del sector será proporcional a la frecuencia relativa condicionada. El gráfico nos muestra: -Las frecuencias absolutas marginales ( en el radio del semicírculo). -Las frecuencias absolutas conjuntas(las áreas de los sectores serán proporcionales a nij). -Las frecuencias relativas condicionadas ( ángulo de los sectores).

5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES Nubes de Puntos Si X e Y son discretas, cada pareja (xi , yi) se representa por un círculo con centro en (xi , yi) cuya superficie es proporcional a nij , radio proporcional a (nij)1/2 Cuando ambas variables son continuas, la representación de las observaciones recogidas: (x1 , y1) , (x2 , y2) , (xn , yn) sobre unos ejes coordenadas se denomina nube de puntos. Si X y/o Y son variables agrupadas en intervalos, se puede construir la nube de puntos gordos, considerando las marcas de clase.

5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES Estereograma Si X e Y son continuas se puede representar la distribución conjunta mediante un Estereograma ( posee tres dimensiones). Información conjunta : mayor volumen : mayor frecuencia Serie de paralelepídedos rectangulares.

5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL Distribuciones Marginales Lo mismo para Y Distribuciones Condicionadas

5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL Covarianza La Covarianza de X e Y se define como:

5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL Momento El Momento de orden r y s respecto a a y b de X e Y se define como: Momento no central de orden r y s: Momento central de orden r y s: Propiedades (1) (2) (3)

FIN José Antonio Cortegana Camúñez 2001-2002