Modelo de Probabilidades Capítulo 3 Modelo de Probabilidades II-2001

Lecturas: Recomendadas 1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter: “Los chilenos no saben lo que leen” Revista 230. CEP. www.cep.cl Lectura obligatoria 2.- A Philosophical Essay in Probabilities. Marquis de Laplace. Pierre Simon Dover publications, Inc 1951 (Grupo 1): General principles of the calculus of Probability + Concerning Probability ( Grupo2 ): General principles of the calculus of Probability + Concerning Hope Entregar por escrito un resumen incluyendo análisis critico y discusión Viernes 31 de agosto de 2001 a las 17:00 ( Quiz 3)

Conceptos Básicos Experimento aleatorio :  Espacio Muestral :  Espacio Muestral : Discreto , Continuo Evento o Suceso Sucesos elementales, seguros e imposibles Probabilidad : grado de certidumbre Probabilidad y Juegos de Azar Probabilidad y Frecuencia relativa Probabilidad Subjetiva (Personal)

Conceptos Básicos Experimento Aleatorio: Proceso en observación Evento Elemental: -“Resultado” de un experimento indivisible -“Mutualmente Excluyentes”: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro - “Equiprobable” : Cada evento simple tiene identica probabilidad Espacio Muestral El conjunto de todas las observaciones elementales Evento “A” - El conjunto de todos los eventos elementales observaciones posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”

Conjuntos y Eventos :Familia de todos los eventos posibles de S (S): Espacio Muestral: Todos los posibles resultados elementales s  S, resultado elemental :Familia de todos los eventos posibles de S  Á , luego  es un Evento s  , luego  evento imposible S  Á , luego S es el Evento Seguro A y B  Á, luego son eventos AB  Á; AB  Á; Ac  Á, son eventos W (S) B A E s  W

Conjuntos vs. Eventos Á Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades S W Universo Espacio Muestral Á Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos A  Á A subconjunto de S A es un Evento s  A s es elemento de A Ocurre el evento A  Conjunto vacío Evento Imposible S Universo Evento Seguro AB A unión B Evento A o Evento B AB A intersección B Evento A y Evento B Ac Complemento de A Evento no-A A  B A es subconjunto de B A implica B AB=  A y B son disjuntos A y B mutuamente excluyentes

Experimento Aleatorio II 1 2 3 Se toma al azar una esfera de la urna I Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

Espacio Muestral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir 2 1 3 II Traspasar Roja # 1 3 2 1 3 I II 1 Traspasar Verde # 1 2 Estas 12 formas en que puede ocurrir el experimento – cada una con identica posibiloidad - es lo que llamamos el Espacio Muestral. ¿Cuál es la probabilidad que la esfera sacada de la urna II sea verde? A :={la esfera sacada de la urna dos es de color verde} Existen cinco (5) resultados favorables al evento, cada uno con una probabilidad de ocurrur 1/12. Casos: 4, 7, 8, 11 y 12 Luego A = { 4, 7, 8, 11, 12} Entonces p(4)=p(7) =.....= p(12) = 1/12 P(A) = p(4)+ p(7)+ p(8) + p(11)+ p(12) = 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12 = 4/ 12 Número de casos favorables al evento Número total de eventos posibles 2 2 3 II Traspasar Verde # 2 3 2 P(A) =

Nociones de Probabilidad Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimación de la probabilidad) Teórica - “A Priori” Pr (Ai) = n / N n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado N = número total de resultados posibles Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori” Pr (Ai) = n/N n = número de veces que ocurrio “Ai” N = número total de observaciones Subjetiva La “Opinión de un Experto”

Modelo Probabilístico Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de  un valor entre 0 y 1. Sea  2 colección de eventos razonables de  (-álgebra) P: [0;1] Modelo de Probabilidad= (, , P)

Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Noción intuitiva: P(A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles Noción frecuentista: Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento NA: N° total de veces que ocurre A P(A) =

Sea N el número de objetos. Observación En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos Sea N el número de objetos. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra r-tupla.

Probabilidad Axiomática Axioma 1: P(A)  0 Axioma 2: P() = 1 Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes Axioma 3: P(Ai) = P(Ai)

Propiedades 1. P() = 0 2. P(A)  1 3. P(AC) = 1 - P(A) 4. Si A  B  P(A)  P(B) 5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(Ai)   P(Ai) Si A  B  P(B-A) = P(B) - P(AB)

Espacio Muestral Finito Sea S = {s1, s2, s3, ...., sN } Espacio Muestral Finito Ei = {si} i =1,..N Evento Elemental  Ei = S Mutuamente excluyentes de a pares Aplicando los axiomas se tiene P(Ei) = fi > 0 i =1, 2, 3, .. , N; P( Ei) = 1  S fi = 1 Como Ei  Ej = 0  i  j  P(Ei  Ej)=P(Ei) + P(Ej) N i N i

Probabilidad Condicional Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0. La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) : P(A/B) = P(AB) P(B) Propiedades: 1. P(A/B)  0 2. P( /B) = 1 3. P(Ai/B) =  P(Ai/B) con Ai Aj =  ,  i, j : i j

Probabilidad Condicional Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B W A B Sea un Call Center de una gran organización. Supongamos que se ha declarado que un tiempo de respuesta satisfactorio debe ser entre 10 y 30 segundos Sea A = {tiempo respuesta es mayor de 20 segundos} B = {tiempo de respuesta es menor de 25 segundos} Calcular la probabilidad que el tiempo de respuesta para una llamada dada sea menor de 25 segundos, dado que la llamada lleva más de 20 segundos: P(B | A) Podemos apreciar que el tiempo de respuesta es mayor de 20 segundos el 50% de las veces y que el tiempo de respuesta entre 20 y 25 segundos A ^ B ocurre el 25% de las veces. Luego P(B | A ) = .25 / .50 = .50 B 10 15 20 25 30 A

Probabilidad Condicional También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie. Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie. 100% piezas Manufacturadas Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una falla visible en la superficie} P( A dado B) = P(A | B) ?

Casos Probabilidad Condicional Si A  B =   P(A | B) = = = 0 P(A  B ) P(B) P() A B Si A  B = A  P(A | B) = =  P(A) P(A  B ) P(B) P(A) A B Si A  B = B  P(A | B) = = = 1 P(A  B ) P(B) A B Si A  B    P(A | B) = = P(A  B ) P(B)

Probabilidad Total Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes : P( ) = 1 Entonces P(A) = Consecuencia (Regla de Bayes): P(Bi/A) = P(A/Bi) P(Bi) P(A)

Equipo Manufacturado en Planta B2 Probabilidad Total B1 B2 B5 A Equipo Fallado AB1 AB2 AB4 AB3 Equipo Manufacturado en Planta B2 B4 B3 Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes P( Bi ) = 1 Entonces P(A) = P(A | Bi) P(Bi) n  i 1 = n å i = 1

Regla de Bayes Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ? Se pide P(B3 | A); pero sólo se conoce P(A  Bi), i = 1, 2, 3, .. , k Sabemos que P(A  Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A) P (Bi) P (A | Bi ) P (Bi | A ) = BiBj = ; i  j  Bi = S å P (Bi) P (A | Bi )  j  j

Probabilidad Multiplicativa Ley Multiplicativa: siempre que:

Regla de la Multiplicación El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimo conjunto que tiene nk elemetos, en DONDE EL ORDEN COMO SE SELECCIONA ES IMPORTANTE n1* n2* ......* nk n2 n1

P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC) Ejemplo 3.1 1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (, , P) tales que: P(B)=0,4 P(AB)=0,7 P(A/B)=0,75 Determinar: P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)

Solución P(AC) = 1 - P(A) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3 P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6 P(AC) = 0,4 P(A-B) = P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0,6 - 0,3 = 0,3 P(ACBC) = P(AC) + P(BC) - P(ACBC) P(ACBC) = P(BC) - P(ABC) = 0,6 - 0,3 = 0,3 Luego P(ACBC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7 P(A/BC) = P(ABC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4

Ejemplo 3.2 Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25. Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes: i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas. ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

Solución i) P(C) = = 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25 = 0,225. ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) P(C) = 0,4 * 0,25 = 0,444. 0,225

Independencia Probabilística Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico (, , P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi: P(AB) = P(A) P(B)  P(A | B) = P(A) P(B | A) = P(B) Sean Ai: i  I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (, , P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi: P(  Ai ) = P(Ai)   J  I = 1,2,3,......,k jÎJ Õ

- AC, BC son independientes Observaciones Independencia probabilística Conjunta  Independencia de a pares 2. Independencia probabilística de a pares  Independencia probabilística Conjunta 3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente. Entonces se tiene - A, BC son independientes. - AC, BC son independientes - AC, B son independientes 4. Sea (, 2, P) modelo de probabilidad. Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Independencia Probabilística Ejemplo 3.3: Sea (, 2, P) modelo de probabilidad.  =  (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)  P(wi ) = 1/4  i = 1, 4 Sean A1, A2, A3 eventos de (, 2, P) : A1: 1era coord. es 1 A2: 2da coord. es 1 A3: 3era coord. es 1 Estudiar independencia conjunta y de a pares. 1. Independencia Conjunta  Independencia de a pares Independencia de a pares  Independencia Conjunta 2. Si A, B son independientes. Entonces A, BC también son independientes.

Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilística 1 2 3 4 Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B A B 1 2 3 4 5

Variaciones Def: Sea A un conjunto : , se llama variación simple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados A={x1,x2,.......xn } V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)... V(n,k)= n(n-1)(n-2)......(n-k+1) Obs: Si las variaciones son con repetición V1(n,k) = nk

Permutaciones Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n  CUANDO EL ORDEN IMPORTA : Nota: Estudiar permutaciones con repetición P r n = - ! ( ) n objetos - - - - - 1 2 3 4 r

Combinaciones n r = - ! r!( ) Combinaciones( sin repetición): C(n,r) Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n  CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA Nota : Estudiar combinaciones con repetición C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

Construcción Modelos de Probabilidad Sea  una medida en el Espacio Muestral tal que  () <  : Longitud ; Superficie Volumen. etc. Entonces existe un función definida en IR P : IR IR : es una medida de Probabilidad (A ) P(A ) = (W )

Ejemplo 3.5: Problema del encuentro: Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes. ¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ? Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1 Y(t) : Llegada del estudiante 2 [X(t);Y(t)]  [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]= A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10} P(A)= = 11/ 36