   Conjuntos

Conjuntos Contenidos del tema: Definición de conjunto Notaciones Relaciones elemento- conjunto y Conjunto- conjunto Conjuntos especiales: . U, N, Z, Q, R Diagramas de Venn – Euler Operaciones con conjuntos     

Definición de conjunto Un conjunto es una colección de elementos bien determinada. colección :sinónimo de famila, clase, etc elemento:Sinónimo de objeto, miembro, etc bien determinada: significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto

Notación Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,.... A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....

Relación Elemento- Conjunto: Pertenencia La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia Escribimos y decimos: a A (el elemento a pertenece al conjunto A) ……y en caso de que no pertenezca escribimos: a  A ( a no pertenece a A)

Representación con Diagramas de Venn- Euler B A b. a

¿Son conjuntos o no? Los mejores cantantes del mundo Los hombres altos Las chicas simpáticas Los perros dálmatas Los ganadores del premio Oscar

¿Cómo se definen los conjuntos? Por descripción verbal Por extensión o listado Cuando se listan o especifican sus elementos Por comprensión Cuando se da la propiedad que verifican sus elementos.  Predicados

Ejemplos Descripción verbal: Listado: Comprensión: El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría Listado: A ={Luis, María, Pedro, Iván, José} Comprensión: A ={x / x es uno de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría} A ={x / P(x)}

Ejemplos Dados los siguientes conjuntos: Diremos : B = {Luisa, Ana, Pedro} Diremos : 2  A Luisa  B 10  A Pedro  A

Representación con Diagramas de Venn- Euler B A Luisa Ana Pedro 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8

Subconjuntos Relación Conjunto- Conjunto Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B. Esto lo escribimos como: A  B  x : x  A  x  B A B

Ejemplos Dados los siguientes conjuntos: Diremos : B = {2,4,6,8} C = {1,3,5,7} Diremos : B  A ( B subconjunto de A) C  A ( C subconjunto de A) C  B ( C no es subconjunto de B)

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si: A  B y B  A Es decir : A = B   x : (x  A  x  B y x  B  x  A)

Ejemplo Sean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; C = { {a,b },{c} }. Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas. { c}  B o { c}  A { c}  B y { c}  A  c  A { c, d, a }  B { c}  C {a,b,c}  B {{a,b }}  C V F F F V F V

Conjunto vacío El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos. A este conjunto lo denotamos por  o por { } No confundir con {  }. Este sería un conjunto que tiene un elemento. ¿Cuál?

Complemento de un conjunto Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A A ‘ = { x / x  A }

 ’ = U Conjunto Universal El conjunto Universal es el complemento del   ’ = U U

Conjuntos numéricos Naturales : N = {1, 2, 3, 4, 5, …………………..} Enteros: Z = {……., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ……} Racionales: Q = { p/q , p y q enteros y q  0} Irracionales: I = Q ’

Reales Q I Z N

Operaciones con conjuntos La Unión Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos. A  B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo A = { a,b,c } B = { d, e } A  B = { a,b,c,d,e } A  B A B

Operaciones con conjuntos La Intersección Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. A  B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo A = { a,b,c, d, e } B = { d, e , f } A  B = {d, e } A  B A B

Operaciones con conjuntos Diferencia Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B A -B = { x / x  A  x  B }

Ejemplo A = { a,b,c, d, e } B = { d, e , f } A - B = {a,b,c } A A B B

Algunas propiedades A  A   A (A ’) ’ = A (basta probar que x : x  A  x  A ) ¿Cuándo es este condicional verdadero?   A (basta probar que x : x   x  A ) ¿Cómo es el antecedente? (A ’) ’ = A (Ver que esto es equivalente a probar ~ ~ P(x)  P(x) , siendo P(x) : x  A

Algunas propiedades Conmutativa : Asociativa: Neutro para la Unión: A  B = B  A y A  B = B  A Asociativa: A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Neutro para la Unión: A   = A

Algunas propiedades Neutro para la intersección Distributiva De Morgan A  U = A Distributiva A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) De Morgan (A  B) ’ = A ’  B ’ (A  B) ’ = A ’  B ’

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn ABC

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn A- B U A B C

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn AB - AB

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn C - AB

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U - AC U A C

Utilizando los conjuntos definidos en el ejercicio anterior Encuentre: A continuación se dan una serie de conjuntos definidos por comprensión. Se pide definirlos por extensión .(Z es el conjunto de números enteros) A = { x  Z / 3 < x  10} B = { x  Z / x  1  x  5 } C= { x  Z / x < 12  x  8 } Utilizando los conjuntos definidos en el ejercicio anterior Encuentre: a.A  C b. A  C c. B  C d. A  B

¿Verdadero o falso? ….Justificar la respuesta { -2,0,2 } { -2,-1,1,2 } {2,5 }  { 0,1,2,3,4,5} Para cualquier conjunto A se verifica: A  A    { -7,4,9 } { x / x es un número impar}

EJERCICIOS